小世界效应专题

小世界效应

许多真实网络都具有小世界效应，有的甚至具有所谓的超小世界效应，小世界网络模型正是模拟了真实网络的这一特点。1998年Watts 和Strogatz提出了一种小世界网络模型（WS)的构造方法：对规则网络中每一个节点的所有连边，以一定的概率P断开一个端点，然后重新连接到其他任意一节点上，如图2．1。当重连概率P=0时，网络是一个规则网络；P=1时形成的网络为完全随机网络；当0

WS小世界网络的构造，P=0时，是一规则网络，P=1时是完全随机网络，0

随着对网络研究的深入，人们发现真实网络在许多性质上与随机网络

仍然有比较大的差别。在现实世界中很多网络并不能抽象成为规则网络，也不能抽象成为随机网络，而是一种介于规则网络和随机网络之间的一种网络。这些网络存在我们称之为“小世界效应”的特性。对于“小世界效应’’的研究可以追溯到1967年。在那一年，著名的心理学家Mil掣锄在HaⅣard大学做过一个简单的实验。这个实验的过程可以进行如下简述：Mil孕锄随机的将一些信件分发给内布拉斯加少}I(Nebraska)的一些实验参与者，这些信件的送往的目的地是马萨诸塞州(Massachusetts)的首府波士顿(Boston)(之所以这么选择，是因为Mil留am认为这两个地方相距甚远)。参与者在拿到信件之后，他们将这些信件通过熟人的方式传送到指定的收信人手中。虽然在传递的过程中有些信件丢失了，但是有相当一部分的信件都送到了指定的人的手中。Mil口锄发现这些信件平均只需要通过六个人便可以送到指定的人的手中。因此，Mil掣锄断定任何两个人平均只需要通过六个熟人便可以与对方联系起来。这个结论被称为“六度分隔"(siX degrces ofs印aration)。后来在更为精确的实验下，研究者得出随机选出的两个人只需要通过较少的熟人便可以联系起来，这个结论现在被称为“小世界效应’’。1998年，Watts和Strogatz将上述现象与社会网络联系起来，开创性的提出了小世界网络的wS模型。Watts 和S仃09atz构造了一个网络模型，这个模型构造方式可以通过如

下方式来描述：首先给定一个节点总数为N的环状网络，在网络中每个节点的度数是K。接着以概率P随机的改写现有的连线，将所选择的连线的一端固定，另一端随机的放在一个新的位置上。通过随机改写

现有的连线引入远距离的连线。在P=0的时候，生成的网络仍然是规则网络，而在P=l的时候，生成的网络是随机网络。这个网络模型现在通常称为WS模型。小世界网络的一个显著的特性便是它拥有较短的平均路径和较大的集群系数。除此之外，它的度数分布满足指数型分布。为了便于研究和分析，人们又提出了许多改进的小世界模型。Monasson，Newman和Watts提出了一种改进的小世界网络模型，这种模型现在被称为Nw模型。在这种改进的模型中，旧的连线将不被改写，取而代之的是在规则网络中随机的添加新的连线。这种新的模型一个显著的优点便是网络中不会出现孤立的节点。除了NW模型外，近年来人们又对原有的小世界网络进行了改进并提出了许多新的小世界网

络模型。例如，S卸tos等人提出了一种所谓的“同质小世界网络”。这个网络模型构造方法如下： (1)随机的选取网络中的两条边，要求这两条边没有在步骤(2)中使用过； (2)将两条选取连线之间的端点进行互换，在互换的过程中保证不出现重复的连线。经过这种方法生成的小世界网络消除了异构网络的特性，从而使我们可以仅仅关注网络中的小世界效应，而不用再考虑其他因素。

继小世界网络后，复杂网络研究的另一个高潮出现在无标度网络的提出。在

1999年，Barab缸i和Alben通过对万维网(WWW)、合作网络和电力网络的研究

发现，这些网络的度数分布满足幂率分布，即某个节点度数是k的概率可以用如

下公式表示：

p(尼)～七。，公式(1．2)

在这里P(k)表示某个节点度数为k的概率，而^r为某个常数。在演员合作网络中

7=2．3±O．1，在万维网中厂=2．1±0．1，而在电力网络中厂≈4。基于以上事实，

Barabasi和Alben提出了著名的BA模型。BA模型的构造主要有两个机制，分别

是增长和择优选择。模型的具体构造方法如下：(1)网络初始有nlo 个节点；(2)

在每个时间步，网络增加一个新节点和m(m

择优概率兀(尼，)=t／Σ后／与旧的节点i连线，这里ki表示旧节点i 的度数。通过

j

仿真实验和理论推导，Barab缸i和A1ben得到BA模型经过演化可以进入无标度的状

态，并且在网络节点总数趋于无穷的情况下网络的度数分布满足幂率分布。

’

在建立起小世界网络和无标度网络的网络模型之后，很多与复杂网络相关的

问题都被广泛而深入的研究。很多研究者对小世界网络和无标度网络的统计特性

进行了定量和定性的分析，如计算网络节点度数分布(degree dist

曲ution)、群聚

系数(cluste打ng coe伍cient)、网络的平均最短路径长度(average shortest path 1ength)

等等。此外，网络的社区结构(community stmctllre)、网络基元(motif)、网络的图谱(伊aph Spectra)问题也被广泛的研究。另一方面，很多研究工作对原有的网络模型进行了改进并加入了新的拓扑结构，如层次网络的出现、加权网络的研究、网络节点度相关性的研究。以上研究领域的详细介绍可以参见参考文献。除了网络的拓扑结构和统计特性外，另一个十分重要的研究课题便是网络上的动力学。网络的同步问题、网络上的传播行为和网络上博弈问题等都是被广泛研究的动力学行为。在这其中，网络上的传播行为更是网络动力学研究领域中一个十分重要而且热门的研究领域。

1．3小世界网络概述

在1-1中已经对小世界网络进行了初步的介绍，由于本文研究的网络模型是小世界网络，所以这里在对小世界网络和其网络拓扑结构和统计特性再进行详细的讨论。小世界现象的提出已经有很长的时间，但是真正的将小世界现象与网络拓扑结构联系起来则是最近的工作。在这方面划时代的工作可以说是由Watts和Strogatz在1998年完成的。在1998年，wa仕s和S仃09atz提出一种小世界网络模型，这个模型现

在被称为wS模型。wS网络是一种不同于规则网络和随机网络的网络，它的构造算法可以进行如下描述： (1)起始网络为规则网络：在初始阶段有一个一维的环状网络，它的节点总数为N，并且每个节点与它最临近的K个节点相连。(2)随机的改写旧有的连线：以概率P改写每条旧的连线，在改写的过程中不允许出现自身到自身和重复的连线。图1．1展示了概率P取不同的值的情况下所生成的网络。图1．1最左边的网络是在P=0的情况下生成的网络，这种网络可以看成是规则网络；图1．1中间的网络是在旧<1的情况下生成的网络，这时的WS模型具有明显的小世界效应；图1．1最右边的网络是在P=1的情况下生成的网络，这时的网络可以看成是随机网络，虽然它与ER网络在度数分布上可能存在差异。