2019最新高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义作业2
3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义
[A.基础达标]
1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0
f （x 0＋h ）－f （x 0）
h
( )
A ．与x 0，h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．与x 0，h 都无关
解析：选B.f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，而与h 无关． 2．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3
解析：选A.因为lim Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）
Δx
＝lim Δx →0 a （1＋Δx ）＋4－a －4
Δx
＝a ，所以f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝2，所以a ＝2.
3．曲线f (x )＝x 2
＋3x 在点A (2，10)处的切线斜率k 等于( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
解析：选A.利用导数的定义及其几何意义直接求结果．k ＝f ′(2)＝7.
4．已知曲线y ＝ax 2
在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )
A ．1 B.1
2
C ．－12
D ．－1
解析：选A.令y ＝f (x )＝ax 2
，则曲线在点(1，a )处的切线斜率k ＝f ′(1)，即2＝k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）
Δx
＝2a ，故a ＝1. 5．曲线f (x )＝x 3
＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(1，0)或(－1，－4) C ．(2，8) D ．(2，8)或(－1，－4)
解析：选B.设P 0(x 0，y 0)，Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx
＝（x 0＋Δx ）3＋（x 0＋Δx ）－2－（x 3
0＋x 0－2）Δx
＝（3x 20＋1）Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）3
Δx
＝3x 20＋1＋3x 0Δx ＋(Δx )2
，
f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx
＝3x 2
0＋1， 所以3x 20＋1＝4，x 2
0＝1，x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝0， x 0＝－1时，y 0＝－4，所以P 0为(1，0)或(－1，－4)．
6．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－1
2
＋Δy )，当Δx ＝1时，割线
AB 的斜率为________．
解析：Δy ＝12＋Δx －1－(－12)＝－Δx 2（2＋Δx ），k AB ＝Δy Δx ＝－1
2（2＋Δx ）
，当Δx ＝1
时，k AB ＝－1
6.
答案：－1
6
7．函数f (x )＝x －1
x
在x ＝1处的导数为________．
解析：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －? ????1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx
， Δy Δx ＝Δx ＋
Δx
1＋Δx Δx ＝1＋1
1＋Δx
， 所以lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ? ????1＋11＋Δx ＝2，从而f ′(1)＝2.
答案：2
8．若曲线f (x )＝x 2
的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为________．
解析：设切点为(x 0，x 2
0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0 （x 0＋Δx ）2－x 2
0Δx ＝lim Δx →0
(2x 0＋Δx )＝2x 0， 由题意2x 0(－1
4
)＝－1，所以x 0＝2，y 0＝4.k l ＝4，
所以l 的方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 答案：4x －y －4＝0
9．利用导数的定义求函数f (x )＝1
2＋3x
在x ＝1处的导数．
解：因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）
Δx ＝
12＋3（1＋Δx ）－
12＋3×1Δx ＝－3Δx
5（5＋3Δx ）Δx ＝－3
5（5＋3Δx ）
，
所以f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －35（5＋3Δx ）＝－3
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. 10．求曲线f (x )＝1x －x 在点P ?
????4，－74处的切线方程． 解：f ′(4)＝lim Δx →0 f （4＋Δx ）－f （4）
Δx
＝lim Δx →0 ? ????14＋Δx －14－（4＋Δx －2）Δx
＝lim Δx →0 －Δx 4（4＋Δx ）－
Δx
4＋Δx ＋2
Δx
＝lim Δx →0 ??????－14（4＋Δx ）
－14＋Δx ＋2＝－516. 故所求切线的斜率为－516，所求切线方程为y ＋74＝－5
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(x －4)，即5x ＋16y ＋8＝0.
[B.能力提升]
1．已知函数y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A ．f ′(x A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．f ′(x A )与f ′(x B )无法比较大小 解析：选B.根据导数的几何意义，由题中图像可知，f ′(x A ) lim x →0 f （1－x ）－f （1）3x ＝( ) A ．3 B ．－1 3 C.13 D ．－32 解析：选B.f ′(1)＝1，lim x →0 f （1－x ）－f （1） 3x ＝lim x →0 ???? ??13·f （1－x ）－f （1）x ＝－13lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x ＝－13f ′(1)＝－13. 3．函数y ＝4－x 2 在x ＝1处的导数为________． 解析：作出函数y ＝4－x 2 的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数y ＝4－x 2 在x ＝1处的导数即为半圆在点P (1, 3)处的切线的斜率． 所以k l ＝ －1k OP ＝－13 ＝－3 3. 答案：－ 33 4．若抛物线y ＝x 2 －x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________． 解析：根据题意可知过点P 处切线的斜率为f ′(－2)＝－5，又直线OP 的斜率为－6＋c 2 ， 据题意有－6＋c 2 ＝－5?c ＝4. 答案：4 5．求过点(3，5)且与曲线f (x )＝x 2 相切的直线的方程． 解：因为当x ＝3时，f (3)＝32 ＝9， 所以点(3，5)不在曲线y ＝x 2 上， 设切点为A (x 0，y 0)，即A (x 0，x 2 0)， 则在点A 处的切线斜率k ＝f ′(x 0)． 因为lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx ＝lim Δx →0 （x 0＋Δx ）2－x 2 Δx ＝2x 0， 所以k ＝f ′(x 0)＝2x 0， 所以在点A 处的切线方程为y －x 2 0＝2x 0(x －x 0)， 即2x 0x －y －x 2 0＝0，又因为点(3，5)在切线上， 所以6x 0－5－x 20＝0，即x 2 0－6x 0＋5＝0， 所以x 0＝1或x 0＝5，所以切点为(1，1)或(5，25)， 所以切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. 6．(选做题)已知抛物线y ＝x 2 ，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短， 设切点坐标为(x 0，x 2 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0 （x 0＋Δx ）2－x 2 Δx ＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点坐标为(12，1 4)，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝|12－14－2|2＝ 72 8 ， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为72 8.