范德蒙行列式的推广及其应用论文——陈仁俊

分类号：__________ 学校代码：11059

学号：0907021021

Hefei University

本科毕业论文BACH ELOR DISSERTATI ON

论文题目：范德蒙行列式的推广及其应用

学位类别：理学学士

学科专业：数学与应用数学

作者姓名：陈仁俊

导师姓名：王敏秋

完成时间： 2013-04-12

范德蒙行列式的推广及其应用

摘要行列式是线性代数的主要内容之一，它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，有着很重要的作用。而n阶范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在多项式理论中、线性变换理论以及微积分中的应用。

关键词：行列式；范德蒙行列式；多项式理论；线性变换理论；微积分

V ANDERMONDE DETERMINANT OF APPLICATIONS

ABSTRACT The determinant is one of the main contents of linear algebra, which is the follow-up course of linear equations, matrixes, vector spaces and linear transformation of the base, has a very important role. The n-order Vander monde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vander monde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations, describes how to construct a Vander monde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vander monde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.

Key words: linear algebra，Vander monde determinant，theory of vector spaces，linear transformation theory，infinitesimal calculus.

目录

摘要及关键词 (2)

一绪论 (5)

1.1范德蒙行列式定义 (5)

1.2范德蒙行列式的证明 (5)

1.2.1用定理证明范德蒙德行列式 (5)

1.2.2 新的证明方法：数学归纳法 (7)

1.3 范德蒙行列式的性质 (8)

二范德蒙行列式推广的应用 (9)

三范德蒙行列式的应用 (13)

1.范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (13)

2.范德蒙行列式在微积分中的应用 (18)

3.范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (23)

四、结束语…………………………………………………………（）

五、参考文献 (23)

第一章：绪论

1.1引言

我们称形如行列式

1

2

2

2212

1

1

112111n

n n

n n n n

x x x D x x x x x x ---= (1)

称为n 阶的范德蒙（Vander monde ）行列式.

我们来证明，对任意的()2,n n n ≥=x ij ij D X 阶范德蒙行列式等于

123,x ,x ,,x n x

这n 个数的所有可能的差-x i j x （1≤j ＜i ≤n ）的乘积.

1.2 范德蒙德行列式的证明

1.2.1

用定理证明范德蒙德行列式

已知在n

级行列式

11

111

1

=j n i ij in n nj

nn

x x x x x x D x x x

中，第i 行（或第j 列）的元素ij x 除外都是零，那么这个行列式等于ij x 与它的代数余子式ij A 的乘

积=x ij ij D X ，在

1

2

2

2212

1

1

112111n

n n

n n n n

x x x D x x x x x x ---=

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1x 倍得

2131122133112

222213*********

()

()

()

0()()

()

n n n n n n n n n x x

x x x x D

x x x x x x x x x x x x a a a a a a ------=------

根据上述定理

21

31122131121311()()()

()

()

()

n n n n x x x

x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ------=

---

提出每一列的公因子后得

223

213112

2

2

3

1

11()()()n n

n n n n n x x x D x x x x x x x x x ---=---=

最后一个因子是1n -阶范德蒙行列式，用1n D -表示，则有

21311()()

()n n D x x x x x x =---1n D -

同样可得

132422()()()n n D x x x x x x -=---2n D -

此处2n D -是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得

2131132211()()()()()()()

n n n n n i j j i n

D x x x x x x a a x x x x x x -≤<≤=------=

-∏

1.2.2 新的证明方法： 数学归纳法

我们对n 作归纳法. （1）当2n =时，

211

2

11x x x x =- 结果是对的.

（2）假设对于1n -级的范德蒙行列式结论成立，现在来看n 级的情况.在

1

2

3

2

22212

3

-1

-1-1

-11231111n

n n

n n n n n

x x x x D x x x x x x x x =

中，第n 行减去第1n -行的1x 倍，第1n -行减去第2n -行的1x 倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的1x 倍，有

21

31122212

313

112

12

12

2123131111100

0n n n

n n n n n n n n

x x x x x x d x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=------

21

31122212

3

13

11212

12

2123131n n n

n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------=

---

2232131122

2

3111()()()

n n

n n n n x x x x x x x x x x x x ---=---

后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差i j x x -（2

≤j ＜i ≤n ）；而包含i x 的差全在前面出现了.因之，结论对n 级范德蒙德行列式也成立.根据数

学归纳法，完成了证明. ?

用连乘号，这个结果可以简写为

2

3

2222

3

111

112111()

n

n i j j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=

-∏

由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是

123,,,,n x x x x

这n 个数中至少有两个相等.

1.3 范德蒙行列式的性质

利用行列式的性质容易推得：

1、 若将范德蒙行列式n D 逆时针旋转90可得

11(1)

11

2

1

1

11

1(1)

1

n n n

n n n n D n n n x x x x x x ------=-

2、 若将范德蒙行列n D 顺时针旋转90，可得

1111(1)

2

22

111(1)

1

n n n n n D n b

n x x x x x

x ----=-

3、 若将范德蒙行列式n D 旋转180可得

1111

1111

1

1n n n n

n n

n n x x x D x x x -----=

第二章：范德蒙行列式的推广

12

123

(,,)i i n V x x x x =

111

12

12

2

212

12

21

21

11

1122312111111111000000

n

n

i n i i n i n i n i n i n i n n i n i n i x x x A x x x A x A x x

x A x A x A x +--+-+-+-+-+-+-+-+-

221112

22

2

112

23

1212

12

000

00

i n i i n i n i n i n i n i A A x A A x A x A x +--+-+-+-+-+-

其中12i i i =+,0(1,2)j i j <=;121,,

(1,2

)j j j

r r

r

n j j j A A A r i +-=分别表示关于j x

(1,2)j =所在的列元素求j r 各阶导数的系数。

定理

1

2

1

2

12

1121

123

12

1212121123(,,)(,)!!()()()i i i i n n i i i n n p p j j p p V x x x x V x x x j j x x x x x x +====??

??=---??????

??

∏∏∏∏

证明

（一）将12123

(,,)i

i

n V x x x x 的第11,2n n n i +++列

分别提取11!,2!,3!!i 及11121,2,

n i n i n i i ++++++分别提取21!,2!,3!!i 得行列式记为m V ，并记

n i m +=,即：12

1

2121

2

3

121

1

(,,)!!i i i i n m j j V x x x x j j V ===∏∏其中

11221

22

2

2

11

1221

22

1

1

1111223

1223

121111111212

12

1110000001

001

001

1

n m n i m i i m i m m m m m m m n m m m m m m x x x V x x x C x C x x x x C x C x C x C x C x C x -----------------=（二）

将m V 的第1,22,1m m --行各乘以1,x -然后分别加到第,1m m -

3,2行，并按第一列展开得到一个1m -阶行列式，记为1m V -即：

213111

122133112112

22

112

222213311321321

2

22112223

2213311121121

1

0()

()

()

()1()

()

()

()()()()()()()n n n m n n m m m m m n n m m m m x x x x x x x x x x x x x x x C C x V x x x x x x x x x C C x C C x x x x x x x x x x C C x C C x ----------------=----------

1112221

122111121

32212

32

2

1

11

2

1

13224

121122212212

12212

01

0000

00

()0

()()()()m i i m i i i n i m m m m m m m m m m C x C x C x C x x C x C x V C C x C x C x C x C x x C x C x x ---+------------------（三）将

1m V -的第1，2，

1n -列分别提取21311(),()

()n x x x x x x ---等因子，又因为第1n -列到第

11n i +-列中11

1

1l

l q

q q C C

C

----=（其中

,q l 为2，

3

,1m -），则1112

()n

m p m

p V x x V --='=-∏ 其中 112

3

12

2

221123

121

11

2

222

1323121

21

1111001

00

n

m

n

i m i m m m m m n m m x x x x V x x x x C x x x x x C x C x -----------'=

22221122111122

32212

3221

1

2

12132324

122212212

12212

1

001

0()0

i n i i n i m m m m m m m m m m C x C x C x C x x C x C x C x C x C x C x x C x C x x +-+-----------------

1m

V -'的第1n i +列减去第一列并提取因子21()x x -，得第1n i +列为： 1

132222

21(0,1,,

)(()m T

m C x C x x x ---作为公因子提到行列式外） 再把该列乘以-1加到第11n i ++列上去，得到第11n i ++列为：

212

2132432221122212

24212

212

(0,0,(),

())(0,0,,

())

m m T

m m m m T

m C C x C x C C x C x x x x C

x x x

-----------=--

=242122

()(0,0,1

)m T m x x C x --- 再将第11n i ++列乘以-1加到第12n i ++列，得第12n i ++列为

3243521122212

(0,0,0,,

())m m T

m m m x x C C x C x x -------- =352122

()(0,0,0,1

,)m T

m x x C x --- 这样一直进行到第1211n i i m ++-=-列（共2i 次）。同时还将第n 列依次与第2,1,

2,1n n --列互换，则此时

21

11212

(1)

()()n

i n m p

p V x

x x x --==---∏?

112212

22

2

111

12

21

22

11

1

2

2213241324

122121212222

22

1110000001

001

001

1

n

n

i m i i m i m m m m m m m n m m m m m m x x x x x x C x C x x x x C x C x C x C x C x C x ----+------------- =212

11

12111232

(1)

()()(,,)n

i i i n p m n p x x x x V x x x x ---=---∏

=

21211

2111232

()()(,,,

)n

i i i p

m n p x x

x x V x x x x --=--∏ ()*

(四)反复利用()*式得

2

212

211211

2121232

2

()()

()()(,,,

)n

n

i i i i m p p

m n p p V x x x x x x

x x V x x x x ---===----∏∏

=22122

212121232()()(,,,)n i i i

p m n p x x x x V x x x x --=??--????

∏=

=

1

122

11211232()()(,,,)i n i i i p m i n p x x x x V x x x x -=??--????

∏

(五)仿照前面（二）m V 的变换，将1m i V -的第111,2,2,1m i m i ----行乘以2x -，然后分别加

到第11,1,

3,2m i m i ---行，并按第2列展开得到一个11m i --阶行列式11m i V --，此时11

m i V --的第一列含公因子（12x x -），而第2列至第n 列分别含公因子（2p x x -）（其中3,4,

p n =）

，而展开时11m i V --前面已含有一个负号，故可将该负号乘进第一列使其含21()x x -这个公因子，此时只要仿照前面（三）的变换，

2

2112

21

12

32211233

2211233(,,,

)()()(,,,

)

()()(,,,)

n

i i m i n p m i n p i n

i p n n p V x x x x x x x x V x x x x x x x x V x x x x ---===--??

=

=--????

∏∏

故

1

1

2

12

1212312121112(,,,

)(,,

)!!()i i i n i i n n p j j p V x x x x V x x x j j x x ===??

=-?????

∏∏∏

2

11

2113()()i n i p p x x x x +=??--????

∏

同理可证明其推论

312

123(,,,

)n

i i i i n V x x x x =

1111

1

2

11222111

2

21

22

1

1

111212

121111

12

1110

00

00

n

n

i n i i n i n i n i n i n i n n i n i n i x x x A A x x x A x A x x x x A x A x A x +--+-+-+-+-+-+-+-+

-

221

112

1

1

12

12

1100

0000

n n n

i n i i i n i i n i n i n i n

n i n

A A x A x A x A x +--+--+-+-+-+-

=12

1

2

1121

1212121211123(,,

)!

!!()()()n

n i i i i i n n i n n p p j j j p p V x x x j j j x x x x x x +=====????---????

????

∏∏∏∏∏

3

1211

313234()()()i n i i p p x x x x x x ++=??---??

??

∏{}

11211

1

121()

()

()

n

n i i i i n

n n n x

x x x x x -+++----

其中12n i i i i =++，0(1,2,)j i j n <=的整数；121,,

(1,2,)j j j

r

r

r

n i j j A A A r i +-=

分别代表关于j x 所在列元素求j r 各阶导数的系数。当12,,n x x x 互异时，12

12(,,

)0n

i i i n V x x x ≠；

否则为零。

第三章：范德蒙行列式的相关应用

（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用

范德蒙行列式的标准规范形式是：

1

2

2

2

212

1

1

1

112111()n

n n i j n i j n n n n

x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==

-∏

根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种： 1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式。 例1 计算

2

22111222333n

n n n

D n n n =

解 n D 中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但不是从0变到n r -。而是由1递升至n 。如提取各行的公因数，则方幂次数便从0变到1n -.

[]

21

212

1

1

111

1

222!!(21)(31)(1)(32)

(2)

(1)1

3331

n n n n D n n n n n n n

n n ---==-------!(1)!(2)!2!1!n n n =--

例2 计算

11

1

1(1)()(1)()11

1

1

n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=

-

-

解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使1n D +中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第1n +列依次与上行交换直至第1行，第n 行依次与上行交换直至第2行

第2行依次与上行交换直至第n 行，于是共经过

(1)

(1)(2)212

n n n n n ++-+-+

++=

次行的交换得到1n +阶范德蒙行列式：

[]

[](1)2

1111

(1)2

1

1

111

(1)

(1)()(1)

()(1)

(1)(2)

()2(1)((1))!

n n n n n n n

n

n n n

k a

a a n D a a a n a a a n a a a a a n a a a a n a n k ++---+=--=-----=--------------=∏

若n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且n D 中含有由n 个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以-1加到第1i +行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例3 计算

1234222211

22

33

44

232323231122

3344

1

1111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D +Φ+Φ+Φ+Φ=

Φ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ

解 将D 的第一行乘以-1加到第二行得：

1

2

3

4

2

2

2

2

11

22

3344

2323232311223344

1111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ΦΦΦΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+Φ

再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：

1234222214

1234

33341

2

3

41

111sin sin sin sin (sin sin )sin sin sin sin sin sin sin sin i j j i D ≤<≤ΦΦΦΦ=

=

Φ-ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ∏

例4 计算

2

1112

22

2

2

111111111n

n

n

n n n

x x x x x x D x x x ++++++=

+++ （1）

解 先加边，那么

2

2

1111112

222

222

22

21000111111111

1

1111

1

1111

n

n

n

n n

n n n n

n

n n

x x x x x x D x x x x x x x x x x x x ---+

++=+++=+

++

再把第1行拆成两项之和，

2

2

1111112211112000111

1

n

n

n n n

n

n

n

n

n

x x x x x x D x x x x x x =

-

111

111

1

2()(1)

()

()[2(1)]

n

n

k j i k j j k n

i j k n

n

n

k j i i j k n

i i x

x x x x x x x x x x ≤<≤=≤<≤≤<≤===----=

---∏∏∏

∏∏∏

2.加行加列法

各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可用此方法： 例5 计算

2

22123

3312

12

11

1

3n

n n

n n n

x x x D x x x x x x =

解 作1n +阶行列式：

12

22221213

33312

121111n

n n n

n

n

n n n

z

x x x z x x x D z x x x z x x x +=

=

1

()()n

i

j k i l k j n

x z x x =≤<≤--∏∏

由所作行列式可知z 的系数为D -，而由上式可知z 的系数为：

21

1211

(1)

()()n

n n j k i n j k l

i x x x x x x -=≥>≥--∑∏

通过比较系数得：

12

11

()()n

n j k i n j k l

i D x x x x x x =≥>≥=-∑∏

3.拉普拉斯展开法

运用公式D =1122n n M A M A M A ++来计算行列式的值：

例6 计算

111

111

122

122

111000

010

1

000

1

00

1000

1

n n n n n n n

n n

n

x x y y x x D y y x x y y ------=

解 取第1，3，

21n -行，第1，3，21n -列展开得：

11

111111

2222

11

11

11

1

1

n n n n n n n

n n

n

x x y y x x y y D x x y y ------=

=

()()j i j i n j i l

x x y y ≥>≥--∏

4.乘积变换法 例7 设1

2

1

(0,1,

22)n

k k k k k n

i i s

x x x x k n ==++

+==-∑，计算行列式 0

11121

22

n n n n

n s s s s s s D s s s ---=

解

11121

1

1

12221

1

1n

n

n i

i

i i n

n

n n i

i

i

i i i n

n

n

n n n i

i

i i i n

x

x

x

x

x D x

x

x

-=====--====

∑∑∑∑∑∑∑

∑

2

1

11112212

2

2

22

2

12

211112

2

111

1

11()n n

n n

n n n n n

n

n

n

j i l i j n

x x x x x x x x x x x x x x

x

x x x x x -----≤<≤==

-∏

例

8 计算行列式

000101011101()()()()()()()()()n

n n n n n n n n

n

n

n n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=

+++

解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和。根据行列式的

乘法规则，12D D D =，其中

01000

11

1

101n n

n

n n n n n

n n n n

n n n n n

C C a C a C C a C a

D C C a C a =

011110121

1

1

n n n n n n n n

b b b b b b D ---=

对2D 进行例2中的行的变换，就得到范德蒙行列式，于是

00

1

211121

11

n n

n n

n

n

n n

n

a a a a D D D C C

C

a a ==(1)2

(1)

n n +-0101111n n

n

n

n b b b b b b

=(1)122

00()(1)

()n n n n n

n

i j i j j i n

j i n

C C

C

a a

b b +≤<≤≤<≤---∏

∏

=1

2

0()()n n n

n

i j i j j i n

C C C a a b b ≤<≤--∏

5.升阶法

例9 计算行列式

2

2

11112222

2

2

221111221111

n n

n n n n n n n n n n n

n

n

n

x x x x x x x x D x x x x x x x x --------=

解 将D 升阶为下面的1n +阶行列式

2

2

1

1111122122

2

2

2

1

221111112212

2

1

11

111

n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

x x x x x x x x x x x x

x x x

x x

x x x

x

x

x

x

x

----+-----------=

即插入一行与一列，使

1n +是关于1

2,,,n x x x x 的1n +阶范德蒙行列式，此处x 是变数，于是

1

121()()()

()n n i j j i n

x x x x x x x x +≤<≤=----∏

故

1n +是一个关于

x 的n 次多项式，它可以写成

{}11

121()(1)()n n n i j n j i n

x x x x x x x -+≤<≤=

-+-++++

∏

另一方面，将

1n +按其第

1n +行展开，即得

2111

1()(1)n n n n i j j i n

x x x Dx +-+≤<≤=

-+-+

∏

比较

1n +中关于1

n x

-的系数，即得

121()

()n i j j i n

D x x x x x ≤<≤=++

+-∏

(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用

范德蒙行列式不仅在行列式计算中应用广泛，而且在微积分中也有广泛应用，我们知道形如

1

2

2

2212

11

1

112111()n

n j i i j n

n n n n

x x x V x x x x x x x x ≤<≤---==

-∏

的行列式为范德蒙行列式，下面将通过若干实例说明这个行列式在微积分中的应用。 例1

[2]

确定常数,,,,a b c d 使得()cos cos 2cos3cos 4f x a x b x c x d x =+++当0x →时为最

高阶的无穷小，并给出其等价表达式。 解 对()f x 的各项利用泰勒公式，