普通矩阵特征值的QR算法
普通矩阵特征值的QR 算法
摘 要
求矩阵的特征值有多种不同的办法，本文主要介绍用QR 法求矩阵的特征
值，QR 法是目前求中等大小矩阵全部特征值的最有效方法之一，使用于求实矩阵或复矩阵的特征值，它和雅可比法类似，也是一种变换迭代法。
关键词：QR 分解 迭代序列 特征值 Matlab
一 、QR 方法的理论：
对任意一个非奇异矩阵（可逆矩阵）A ，可以把它分解成一个正交阵Q 和一个上三角阵的乘积，称为对矩阵A 的QR 分解，即A=QR 。如果规定R 的对角元取正实数，这种分解是唯一的。若A 是奇异的，则A 有零特征值。任取一个不等于A 的特征值的实数μ，则A-μI 是非奇异的。只要求出A-μI 的特征值和特征向量就容易求出矩阵A 的特征值和特征向量，所以假设A 是非奇异的，不是一般性。
设A=A 1 ，对A 1 作QR 分解，得A 1 = Q 1R 1，，交换该乘积的次序，得A 2 = R 1Q 1=，由于Q 1正交矩阵，A 1到A 2的变换为正交相似变换，于是A 1和A 2就有相同的特征值。一般的令A 1=A ，对k=1，2，3，…..
??
?==+)
()(1迭代定义分解k
k k k
k k Q R A QR R Q A
这样，可得到一个迭代序列{A k }，这就是QR 方法的基本过程。
二、QR 方法的实际计算步骤
H ouseholder A H essenberg B -----→=用阵
作正交相似变换
上第阵一步......
...
...
*::::*
**?? ?
? ?* ?*
* ? ? ? ?*?
?
Householder 变换：如果 v 给出为单位向量而 I 是单位矩阵，则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 （v * 表示向量 v 的共轭转置）H=I -2VV*
1k k k
G iven k k k B Q R B B R Q +=?-------→→?=?用变换产生迭代序列第二步1
2
***n λ
λ
λ???
??????
??
?
H ouseholder A B -----→=用阵
作正交相似变换
（对称阵）三对角阵***
**?? ? ?
?*
?*
* ? ?* ? ?*?
?
三、化一般矩阵为Hessenberg 阵
称形如
11
1211121
2221232
3331
n n n n
n nn nn h h h h h h h h h h h H h h ---??
?????
?=???????
?
的矩阵为上海森堡（Hessenberg ）阵。 如果此对角线元 (i=2,3,….n)全不为
零，则该矩阵为不可约的上Hessenberg 矩阵。
用Householder 变换将一般矩阵A 相似变换为 Hessenberg 矩阵。
首先，选取Householder 矩阵，使得经相似变换后的矩阵的第一列中有尽可能多的零元素。为此，应取为如下形式
11
10
000H H ??
????=???????
?
其中1H 为n-1阶Householder 矩阵。
于是有
1
11
21111
1221T
a a H H A H H a H A H ??
=?
?????
121311212131(,,,),(,,,),T T
n n a a a a a a a a == 22222
2
n n nn a a A a a ??
??=??????
只要取1H 使得111(,0,,0)T H a σ= ，就会使得变换后的矩阵11H A H 的第一列出现n-2个零元。
同理，可构造如下列形式Householder 矩阵
22
1000010
00
000
H H ????????=???????
?
使得2112
*********
***
**
H H A H H ??
?????
?=????????
如此进行n-2次，可以构造n-2个Householder 矩阵12,,,H H 2n H -，使得
221122 n n H H H A H H H H
--= 。其中H 为上Hessenberg 矩阵。特别地，当A
为实对称矩阵，则经过上述正交变换后，H 变为三对角阵。
用Householder 方法对矩阵A 作正交相似变换，使A 相似于上Hessenberg 阵，算法如下：
1,2,...,2k n =-
（1） 计算
(1)
(1)11
1
2
21
11
1111(1)
112,1
()
()(
()),
()(0,...,0,,,...,)
k k T
k k n k k k ik i k k k k k k k k k k k k nk H I U
U
sign a a a U
a a a ρσ
ρσσσ++++++=+++++++++=-
==+=+∑
，，，
（2）
计算1k H A A +→
(1)
1
1
(1)
,1,,11()21,,n
k j l lj l k k k ij ij j i
j k k n
t u a i k n
a a t u ρ+=+++=+==+=-∑ （）（）
（3） 计算
1k A H A +→
(1)
1
1
(1)
1,...,1
(1)(2)1,...,n
k i il l
l k k k ij ij i j
i n t a u j k n
a a t u ρ+=+++==
=+=-∑
四、上Hessenberg 阵的QR 分解
对上Hess enberg 阵只需要将其次对角线上的元素约化为零，用Given 变换比
用Householder 变换更节省计算量。
1、 平面旋转阵（Givens 变换阵）
定义 n 阶方阵
θ
θ
θ
θ
??????????
--??????
=??
????
---??????????
>?
?,11
cos sin 1
1
sin cos 1
1()
i j
i R j j i 称为平面旋转阵，或称为Givens 变换阵。 平面旋转阵R i ,j 的性质：
（1） -==1,,,,,T T i j i j i j i j R R I R R 平面旋转阵是非对称的正交阵。 （2） ,T i j R 也是平面旋转阵。 （3） ,i j R det()=1 平面旋转阵R i ,j 的作用：
（1） 将向量(),,...,x x x x T
12n =的第j 个分量约化为零。
,i j R 左乘向量(),,...,x x x x T
12n =只改变X 的第i 个分量和第j 个分量。
若令=,i j y R x ，有
θθθθ
=+??
=-+??==≠?cos sin sin cos 1,...,;,i i j j i j k
k y x x y x x y x k n k i j
, 调整θ，可将j y 约化为零。 令=0j y ，得θ=
tan j i
x x
所以，取2
2cos i
i i j
x x C r
x x
θ===
+，22sin j j i
j
x x S r
x x
θ==
=
+
于是2
2
,0
i i j i j j y C x Sx r x x y =+==
+= ()
,,...,,,,...,,0,,...,i j R x x x r x x x x T
1i-1i+1j-1j+1n =
（2） 将向量(),,...,x x x x T
12n =的第i +1个分量到第n 个分量约化为零。
()++=
+22
,11,...,,,0,,...,,i i i i R x x x r x x r x x T
1i-1i+2n =
()++++=
++,2,12221
2
,...,,,0,0,,...,,
i i i i i
i i R R x x x r x x r x x
x
T
1i-1i+3n =
()++=
++,,2,122,...,,,0, 0
i n i i i i i
n
R R R x x x r r x x
T
1i-1=
（3） 用,i j R 对矩阵A 作变换得到的结论
,i j R 左乘A 只改变A 的第i ，j 行。 ,i j R T
右乘A 只改变A 的第i ，j 列。
,,i j i j R AR T
只改变A 的第i ，j 行和第i ，j 列。
2、用Givens 变换对上Hessenberg 阵作QR 分解
对上Hessenberg
阵(1)(1)(1)
1112
1(1)(1)
(1)2122
2(1)
(1)1
n n nn nn b b b b b b B b b -??????=???????
?
通常用n-1个Givens 变换阵可将它化成上三角矩阵，从而得到B 的QR 分解式。
具体步骤为：
设(1)
210b ≠（否则进行下一步）
取旋转矩阵1
111
cos sin 00sin cos 00(1,2)0
1
1R ???????
?-?
???=????????
则(2)(2)(2)
1
12
13
1(2)(2)(2)22232(2)
(2)
(2)
1232
33
3(2)
(2)1
(1,2)
n n n nn nn r b b b b b b R B B b b b b b -?????
??
?==???????
?
其中，(1)
(1)
(1)(1)
11211111121
1
1
cos , sin , b b r b b r r ??=
=
=+
设232
0（）
b ≠（否则进行下一步），再取旋转矩阵 222
2
1
0cos sin sin cos (3,2)1
1－R ???????????
?=?
????????
?
则(3)
(3)(3)
(3)
11213
111(3)(3)
(3)2
23212(3)(3)(3)33
31323(3)
(3)(3)43
41
4(3)(3)1
(3,2)n n n n n n n n nn nn r b b b b r b b b b b b R B B b b b b b -----???????
?
==?
?????????
?
?
其中(2)
(2)
(2)2(2)2
322222222322
2
cos , sin , ()()
b b r b b r r ??=
=
=+。
假设上述过程已进行了k-1步，有
1
(1,)k k B R k k B -=+()
()
()
()111
1111()
()
()1
111
1()
()()
1()
()()111
1()()1
k k k k k k
n n k k k k k k k n k n k k k kk
kn kn k k k k k
k n k n k k nn nn r b b b b r b b b b h h b b b b b --------++-+-??
??????
??=????
???????
?
设()10k k k b +≠，取
11
(1,)cos sin sin cos 1
k k k
k
R k k ?????????????
?+=?
???-???????
?
其中()
()
1cos , sin k k kk k k k k k
k
b b r r ??+=
=
，()2()21 ()().k k k kk
k k r b b +=+ 于是(1)
(1)
(1)
1
111
1(1)
(1)1
(1)
(1)
(1)
111111(1)
(1)
(1)21
21
2(1)(1)1
(1,)k k k k
k n
k k k kk kn k k k k k k k k n k n k k k k k k n k n k k nn nn r b b b r b b R k k B B b h b b h h b b ++++++++++++++-+++++++-+++-????????
?
?+==?
???
???????
?
因此，最多做n-1次旋转变换，即得
()
(,1)(2,1)(1,2)n H
R n n R n n R B =--- ()
()()112131()
()2
23
2()
3
3n n n n n n n n n n r b b b r b b R
r b r ?????
??
?==???????
?
因为(,1),(2,3,,)R i i i n -= 均为正交矩阵，故21
321T T T
nn H R R R R Q R -== 其中21
321T T T
nn Q R R R -= 仍为正交矩阵。可算出完成这一过程的运算量约为4,比一般矩阵的QR 分解的运算量3()O n 少一个数量级。
可证明仍是上Hessenberg 阵，于是可按上述步骤一直迭代下去，这样的得到的QR 方法的运算量比基本QR 方法大为减少。
具体实例
现在我们就用上述所说的QR
方法求解矩阵5
326
444
4
5A -??
??=-????-??
的全部特征值。
第一步：
将A 化成上Hessenberg 阵，取
22(6,4)64(1,0)(652,4)T
T
T
u =+
+=+
10 2
1T
T
uu
I u u ??-=-????
0.9160250.2773500.832050
0.55470020.2773500.08397470.554700
0.832050--????
=?
??
?-????
于是11
00
0.8320500.55470000.554700
0.832050 H ??
??
=--????-?? 115 1.386750 3.3282007.211102
1.2307688.15384000.153846
2.230767 H H A H ?
?
?
?
==---????-?
?
H 即为与A 相似的上Hessenberg 阵。将H 进行QR 分解，记
2
2
11, 5(7.21102)8.774964B H r ==
+-=
111cos 50.56980. sin 0.821781
r ??===-
取0.569803
0.8217810(2,1)0.821781
0.569803
000
1R -??
??=?????
?
于是18.774964
1.8015968.597089(2,1)0
0.438310 1.91103000.153846
2.230767R B ??
??
=-????-?
?
再取
于是
1
(
3,
2)
(2,1
R R B 18.774964
1.8015968.59708900.464526
2.54198200
1.471953R ??
??
=-=?????
?
10.569803
0.7754030.272165(2,1)(3,2)0.821781
0.5376430.18871200.331189
0.943564T T
Q R R ??
??
==-????-?
?
第一次迭代得211 3.519482
4.92549110.8401170.381739
1.091627
2.31065300.487495
1.388883B R Q ??
??
==--????-?
?
重复上述过程，迭代11次得12
2.992032
1.00038531
2.0133920.007496 2.004695 1.94197100.000325
0.999895B -??
?
?
=-????-?
?
1232.992032, 2.004695,0.999895λλλ≈≈≈ 3,2,1精确值
从得出的结果我们可以看出其结果还是很接近精确值的，其实我们完全
可用Matlab 实现上述计算。
用海森伯格QR 基本算法求矩阵全部特征值Matlab
得到运算结果为：
源程序如下：
function l = hessqrtz(A,M)
%海森伯格QR 基本算法求矩阵全部特征值
2
2
22222(0.438310)(0.153846)0.464526,
cos 0.4383100.943564, sin 0.1538460.3311891
00
(3,2)0
0.9435640.331189
0.331189
0.943564r r r R ??=
+-====-=-??
?
?
=-??
????
%已知矩阵:A
%迭代步数:M
%求得的矩阵特征值:l
A=[5 -3 2;6 -4 4;4 -4 5];
M=11;
A = hess(A);
for(i=1:M)
[q,r]=qr(A);
A = r*q;
l = diag(A);
End
而用QR基本算法求矩阵全部特征值的运行结果如下：
其Matlab源程序如下：
function l = qrtz(A,M)
%QR基本算法求矩阵全部特征值
%已知矩阵:A
%迭代步数:M
%求得的矩阵特征值:l
A=[5 -3 2;6 -4 4;4 -4 5];
M=11;
for(i=1:M) %M为迭代步数
[q,r]=qr(A);
A = r*q;
l = diag(A);
end
由以上两种运算结果的对比可以看出结果基本一致，而且和精确值相当接近，由此可以得出
两种方法均可行。
参考文献
[1] 袁慰平、孙志忠、吴洪伟、闻震出.计算方法与实习.东南大学出版社，2005
[2] 李海涛、邓樱等．MATLAB程序设计教程[M]．北京：高等教育出版社，2004
特征值分解与奇异值分解
特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。 奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记 (A) 为σ i 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧：
用QR算法求矩阵的特征值
一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容：给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求： （1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10 5 -）。 （2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)
plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果： >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1
雅克比法求矩阵特征值特征向量
C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。
限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献
1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include
一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用 作者：高英 学号： 2010012491 所属学院：金融与数学书院 专业班级：应数1002班 指导教师：赵建中职称：院长 完成时间： 2014 年 4月 10日 皖西学院教务处制
独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学生签名：日期：年月日 论文版权使用授权书 本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学生签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月
目录 摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。 1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。 1.2 研究现状 (1) 1.3研究方法 (2) 1.4研究内容 (2) 第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。 2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。 2.2 幂零矩阵 (2) 2.3 对称矩阵 (3) 2.4 三对角矩阵 (4) 第3章矩阵特征值的求法与应用 (4) 3.1 一般矩阵的求法与应用 (4) 3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7) 结语 (20) 致谢 (20) 参考文献 (21)
幂法求矩阵最大特征值
幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代
POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得
求矩阵特征值算法及程序
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 （1）输入矩阵A 、初始向量)0(μ ，误差eps ； （2）1?k ； （3）计算)1()(-?k k A V μ； （4）)max (,) max ()1(1)(--??k k k k V m V m ； （5）k k k m V /)()(?μ； （6）如果eps m m k k <--1,则显示特征值1λ和对应的特征向量)1(x ),终止； （7）1+?k k ,转（3） 注：如上算法中的符号)max(V 表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input["系数矩阵A="]; u=Input["初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input["误差精度eps ="]; nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k m0=m1; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; Print["k=",k," 特征值=",N[m1,10]," 误差=",N[t,10]]; Print[" 特征向量=",N[u,10]]]; If[k ≥nmax,Print["迭代超限"]] 说明：本程序用于求矩阵A 按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵A 、迭代初值向量)0(μ、精度控制eps 和迭代允许最大次数max n ，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出max n 次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。 程序中变量说明 a:存放矩阵A ； u:初始向量)0(μ和迭代过程中的向量)(k μ及所求特征向量； v:存放迭代过程中的向量)(k V ； m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值； nmax:存放迭代允许的最大次数； eps:存放误差精度； fmax[x]: 给出向量x 中绝对值最大的分量； k:记录迭代次数； t1:临时变量； 注：迭代最大次数可以修改为其他数字。 3、例题与实验 例1. 用幂法求矩阵???? ? ??---=9068846544 1356133A 的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差410- 特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用 摘要：目前，随着科学技术的高速发展，现实生活中有大量的信息用数字进行存储、处理和传送。而传输带宽、速度和存储器容量等往往有限制，因此数据压缩就显得十分必要。数据压缩技术已经是多媒体发展的关键和核心技术。图像文件的容量一般都比较大，所以它的存储、处理和传送会受到较大限制，图像压缩就显得极其重要。当前对图像压缩的算法有很多，特点各异，类似JPEG 等许多标准都已经得到了广泛的应用。本文在简单阐述了矩阵特征值的数值求解理论之后，介绍了几种常用的求解矩阵特征值的方法，并最终将特征值计算应用到图像压缩中。以及奇异值分解(Singular Value Decomposition ，SVD) 。奇异值分解是一种基于特征向量的矩阵变换方法，在信号处理、模式识别、数字水印技术等方面都得到了应用。由于图像具有矩阵结构，有文献提出将奇异值分解应用于图像压缩[2]，并取得了成功，被视为一种有效的图像压缩方法。本文在奇异值分解的基础上进行图像压缩。 关键词：特征值数值算法；奇异值分解；矩阵压缩；图像处理 引言 矩阵的特征值计算虽然有比较可靠的理论方法，但是，理论方法只适合于矩阵规模很小或者只是在理论证明中起作用，而实际问题的数据规模都比较大，不太可能采用常规的理论解法。计算机擅长处理大量的数值计算，所以通过适当的数值计算理论，写成程序，让计算机处理，是一种处理大规模矩阵的方法，而且是一种好的方法。常用的特征值数值方法包括幂法、反幂法、雅克比方法、QR 分解法等。其中，幂法适用于求解矩阵绝对值最大的特征值，反幂法适合求解矩阵的逆矩阵的特征值，雅克比方法适合求解对称矩阵的特征值，QR分解法主要使用于求中小型矩阵以及对称矩阵的全部特征值。矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果当然与方阵的构造有密切关系。图像压缩处理就是通过矩阵理论减少表示数字图像时需要的数据量，从而达到有效压缩。数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化的取样数和灰度级。取样和量化的结果是一个实际的矩阵。图像压缩是数据压缩技术在数字图像上的应用，它的目的是减少图像数据中的冗余信息从而用更加高效的格式存储和传输数据。图像数据之所以能被压缩，就是因为数据中存在着冗余。图像数据的冗余主要表现为：图像中相邻像素间的相关性引起的空冗余；图像序列中不同帧之间存在相关性引起的时间冗 中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用 摘要 本文针对偶数阶中心对称矩阵，引入偶数阶置换矩阵，探索了矩阵特征分解的新方法。该方法是通过对矩阵的分块，将复杂大型矩阵特征值问题，转化为几个小矩阵特征值求解，使得问题计算的复杂度大大缩减。 关键词：中心对称矩阵 置换矩阵 特征分解 定义1：如果n m ?矩阵P=（ij p ）满足 1,1+-+-=j n i m ij p p 其中n j m i ≤≤≤≤1,1 则P 是中心对称矩阵[1] 形如???? ??a b b a ，???? ? ??a b c d e d c b a 都是中心对称矩阵。 定义2：如果?????? ? ??==?111)( n n ij n J J ，则n J 为n 阶置换矩阵 设n J 为n 阶置换矩阵，则用n J 左乘（或右乘）矩阵P ，可以将其行（或列）按反序重新排列。 定理1：n m ?矩阵P 是中心对称矩阵当且仅当 n m PJ P J = 证明：若n m PJ P J =，因为E J n =2，则n m PJ J P =，且 [][]1,1,1+-+-+-===j n i m j i m n ij n m ij p PJ PJ J p 其中n j m i ≤≤≤≤1,1 因此P 是中心对称矩阵。 反之，若P 是中心对称矩阵，则显然有n m PJ P J =. 定理2：设P 和Q 都是n 阶中心对称矩阵，则P+Q ，PQ 和cP （c 为任意实数）仍是中心对称矩阵 证明：设P 和Q 都是n 阶中心对称矩阵，则由定理1， Q P QJ J PJ J J Q P J n n n n n n +=+=+)(， PQ QJ J PJ J J PQ J n n n n n n ==))(()(， cP PJ J c J cP J n n n n ==)()(. 因此，P+Q ，PQ 和cP 仍是中心对称矩阵。 引理1：对于偶数阶（n=2s ）置换矩阵J ，存在变换矩阵Q ，使得Q T J n Q 为E s 0-E s ?è ????÷÷ 证明：设T u )0,,0,1(1 =，则T n u J )1,,0,0(1 =，T n u J )0,,0,1(12 =，故0112=-u u J n 即0))(()(112=-+=-u E J E J u E J n n n ，所以 T n u E J )1,,0,1()(1 =+,T n u E J )1,,0,1()(1 -=-分别是n J 的属于特征值1，-1的 特征向量。同样，设T u )0,,1,0(2 =，有0222=-u u J n ，所以T )0,1,0,,0,1,0( 和 T )0,1,0,,0,1,0( -分别是属于特征值1，-1的特征向量。当P 为偶数阶（n=2s ）时，继续做下去，可得n=2s 个相互正交的特征向量，将它们排列为变换矩阵Q 的列向量，得 ??? ? ??-=????????????? ??---=s s s s E J J E Q 2111111111111121 ， 毕业论文（设计）题目：矩阵特征值和特征向量的求法与应用 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 指导教师签名：日期： 使用授权说明 本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 作者签名：日期： 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月日 摘要：首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵合同、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词：矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵 Abstract：Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix 目录 1 前言 (4) 2 矩阵的特征值和特征向量的求法 (4) 2.1 矩阵的初等变换法 (4) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 (6) 3 矩阵特征值的一些性质及应用 (7) 3.1 矩阵之间的关系 (7) 3.1.1 矩阵的相似 (7) 3.1.2 矩阵的合同 (7) 3.2 逆矩阵的求解 (8) 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 (8) 3.4 矩阵的求解 (9) 3.5 矩阵特征值的简单应用 (10) 结论 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)特征值分解及奇异值分解在数字图像中的应用
中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用
矩阵特征值和特征向量的求法与应用(参考模板)
矩阵的特征值与特征向量的求法