青云学府2013年高二数学第二学期期中考试

数学试题

一、选择题

1、如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为（）。 A ．－2

B ．1

C ．2

D ．1或－2

2、如果物体做2)1(2)(t t S -=的直线运动，则其在s t 4=时的瞬时速度为： A ． 12 B 。 12- C. 4 D. 4-

3、6

221??? ??

+x x 的二项展开式中的常数项为

（）

A ．

15 B ．

3 C ．2

15 D ．

415

4、将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于

A ．

9160 B ．21 C ．185 D ．216

91 5、2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2

Ｂ．1-

Ｃ．2-

Ｄ． 1

６、从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，

则所有不同的三位数的个数是（） A 36 B 48 C 52 D 54

７、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >，你认为这个推理 A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的

8、函数))

,0(

cos

sin

)

f在点

=处的切线方程为A．0

-y

x B．0

-y

x C．0

x D．0

9、若

ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是 ( )

A．－2 B. 2

2 C. 34 D. 2

11、

()32

f x x x

=-+在区间[11]

-，上的最大值是（）A．2

-B．0 C．2 D．4

12、若

ln3

a=，

ln5

b=，

ln6

c=，则（）A．a b c

<< B．c b a

<< D．b a c

二、填空题

14、下面几种推理是合情推理的是＿＿＿＿＿＿（填写序号）

①由圆的性质类比得出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内

角和都是180 ；

③四边形内角和是360 ，五边形内角和是540 ，由此得出凸多边形内角和是

(2)180

．

16、2

π20

cos sin 22x x dx ??-=

????

—————————。

三、解答题

17、已知在33

3()n x x

-的展开式中，第6项为常数项(1) 求n 的值；(2) 求含2

x 项的项．

18、用0，1，2，3，4

这五个数字组成无重复的自然数，

19、在数列{}n a 中，11

a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍()n +∈N ．

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．

2０．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；

（2）求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

21. 袋中装有8只红球 , 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球; (2)取出的两只球都是黑球; (3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球; (4)第二次取出的是红球.

2２.（本小题满分14分）

已知函数()()()2 310f x x x a a ,x R =-+>∈. （I ）求函数()y f x =的极值；

（II ）函数()y f x =在(0，2)上单调递减，求实数a 的取值范围；

（III ）若在区间(0，＋∞)上存在实数0x ，使得不等式()3040f x a -≤能成立，求实数a 的取值范围.

高二模块考试数学试题(理科)答案

一、选择题

1.A

2.A

3.A

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.D 10.A 11.C 12.B 二、填空题

13.0 14.①②③ 15.6 16 12

- 三、解答题

17、解：（１）由()()55

533

C 33n n n

x x x

---

--１０５

６ｎＴ＝

＝C t t 为常数项，可得ｎ＝１０。（２）

由通项公式()1023

r C x

-=-r+1

Ｔ可得

102 2 23

r -=∴= 所以，含ｘ２项为2

223109405T C x x ==

19：解：（1）由已知11

3a =

，123n a a a a n

++++ (21)n n a =-，分别取2345n =，

，，，得

2111153515a a ===?，312111()145735a a a =+==?，4123111()277963

a a a a =++==?，

51234111()4491199

a a a a a =

+++==?；所以数列的前5项是：113a =，215a =，3135a =，4163a =，5199

a =；

（2）由（1）中的分析可以猜想1

(21)(21)

n a n n =-+．下面用数学归纳法证明：

①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1

(21)(21)

k a k k =

-+．

那么由已知，得

1231

1(21)1

k k k a a a a a k a k +++++++=++ ，

即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+ ．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即21(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11

(21)(23)(21)(21)

k k k a k k +-=+-+，

所以11

(21)(23)

k a k k +=

++，即当1n k =+时，公式也成立．

当①和②知，对一切n +∈N ，都有1

(21)(21)

n a n n =

-+成立．

2０、解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，

则()2f x ax b '=+．又()22f x x '=+，所以12a b ==，．

2()2f x x x c ∴=++．又方程()0f x =有两个相等实根，即220x x c ++=有两个相等实根，所以440c ?=-=，即1c =．故2()21f x x x =++；

（2）依题意，所求面积为023201111(21)|33S x x dx x x x --??=++=++= ???

?． 21解.设事件A 1表示“第一次取到的是红球”,

设事件A2表示“第二次取到的是红球”.

(1)要求的是事件A1A2的概率.

根据题意 P(A1)=4/5,

P(A

|A1)=7/9,

∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.

(2)要求的是事件的概率.

根据题意: ,

∴.

(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.

∴.

(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率. 由概率公式 :

=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.

2２.（本小题满分12分）

解：f ＇(x )＝3x (x －2a )，令f ＇(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .

f (0)＝1，f (2a )＝34a -＋1 .

（I ）当a ＞0时，2a ＞0，当x 变化时，f ＇(x )，f (x )的变化情况如下表：

x (－∞，0)

0 (0，2a )

2a (2a ，＋∞)

f ＇(x ) ＋ 0 － 0

＋ f (x )

↗

↘

34a -＋1

↗

∴ 当a ＞0时，在x ＝0处，函数f (x )有极大值f (0)＝1；在x ＝2a 处，函数f (x )有极小值f (2a )＝341a -+.

（II ）在(0，2)上单调递减，∴ 2 2 1a a ≥≥即.

（III ）依题意得34a ≥()min f x ?34a ≥34a -＋1?38a ≥1?1

a ≥.