数论综合
数论综合
例题
⒈一个六位数3434ab能同时被8和9整除，已知a+b=c，求c的值。
⒉将自然数1、2、3……依次写下去形成一个多位数123456789101112……，当写到
某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除。请问：N是多少？
⒊下面这个199位整数：1001
被13除，余数是多少？
1001001001
⒋一批书大约300本到400本，包装成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；
每包15本，就有7包每包各多2本。这批书有多少本？
⒌一个三位数是9的倍数，并且除以8余1，除以7余2，这个三位数最小是多少？
⒍在一根木棍上，有2种刻度线，第1种刻度线将木棍分成10等份；第2种将木棍
分成12等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
做一做
⒈已知一个四十一位数55……55□99……99（其中5和9各20个）能被7整除，那
么中间方格内的数字是多少？
⒉一个数除以5余2，除以6余4，除以7余6，这个数最小是多少？
课后练习
⒈ 要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？
⒉ n个2008
200820082008能被11整除，那么，n 的最小值为多少？
⒊ 一个六位数，能够被9和11整除。去掉这个6位数的首、尾两个数字，中间的4
个数字是1997，那么这个6位数是多少？
⒋ 排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方
形，最少需要多少人参加团体操的排练。
⒌1到500之间被3、4、5除余1的数共有多少个？
⒍六年级的人数在80—110之间，若8人组成一级，则有1个小组多5人，若12人
组成一组，则3个小组各少1人，六年级共有学生多少人？
⒎一个数是7的倍数，并且除以5余2，除以3余1，这个数最小是多少？
⒏在一根木棍上，有2种刻度线，第1种刻度线将木棍分成6等份；第2种将木棍
分成9等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版(附答案)
小升初重点中学真题之数论篇 数论篇一 1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？ 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____. 2 （三帆中学考题） 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 . 3 （人大附中考题）
(完整版)小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常
出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划
数论综合(四)
整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k ＋1（k 为整数）表示。 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????L ，其中k p p p ，?,,21为质数，k a a a ，?,,21为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式。 奇数与偶数有如下的运算性质： (1)偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数； (2)偶数±奇数＝奇数； (3)偶数个奇数相加得偶数； (4)奇数个奇数相加得奇数； (5)偶数×奇数＝偶数， 奇数×奇数＝奇数。 质因数： 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数及约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论类题目的突破口，它可以帮助我们分析数字的特征。 例1 有苹果、橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果平均分给小朋友，已知苹果分到最后还剩2个，橘子分到最后还剩7个，那么最多有多少个小朋友？ 分析与解：从240个苹果中去掉2个，即将238个苹果平均分给这些小朋友，没有剩余；从313个橘子中去掉7个，即将306个橘子平均分给这些小朋友，也没有剩余。那么238和306都是这些小朋友人数的倍数，这些小朋友的人数是238和306的公约数。求最多有多少个小朋友，实际上就是在求238与306的最大公约数。 (238，306)＝34，所以最多有34个小朋友。 答：最多有34个小朋友。
学而思 小升初专项训练__数论篇(1) 教师版
名校真题 测试卷10 （数论篇一） 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （05年人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （05年101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。 3 （05年首师附中考题） 211+2121202+21212121 13131313212121505 =＿＿。 4 （04年人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 5 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A 、125 B 、126 C 、127 D 、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+21 13=1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。
第十讲 小升初专项训练 数论篇（一） 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、2007年考点预测 2007年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。 三、基本公式 1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c 。 [讲解练习]：若3a75b 能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题） 2）已知c|ab ，(b,c)=1,则c|a 。 3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a × p22a ×...×p k ak （#) 其中p1 浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷） （2004——2005学年第一学期） 考试类别使用学生数学专业**本科 考试时间120分钟表出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空（30分） 1、d（1000）= 。φ（1000）= 。()=______ 。 2、ax+bY=c有解的充要条件是。 3、被3除后余数为。 4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为。 5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）=。 6、高斯互反律是。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是。 8、带余除法定理是。 答案 1、16．2340，1 2、（a，b）|c 3、1 4、3，4，5，6，7，8，9，10，11 5、 6、，p，q为奇素数 7、2，29 8、a，b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q，r使得 二、解同余方程组（12分） 答案 解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解 原方程等价于方程 即 由孙子定理得 三、A、叙述威尔逊定理。 B．证明若，则m为素数（10分） 答案 A．(威尔逊定理)整数是素数，则 证：若m不是素数，则m=ab，，则，则有 不可能，所以m是素数。 四．解方程≡0（mod２７）（10分） 答案 解：由≡0（mod3）得得x=1+3t代入 ≡0 （mod9）有有代入x=1+3t得 代入≡0 （mod27）有代入有 ， 即 设2Ｐ+1为素数,试证（10分） 答案 证：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理即有 即证 六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数不是素数。（10分） 答案 证：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余，即 所以梅森数不是素数。 七、证无正整数解。（8分） 答案 证：假设有解，设（x，y，z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设x=3x1,又得到y为3的倍数，设,又有，则有解且z>z1 这样可以一直进行下去，z>z1>z2> z3>z4>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾 八、设n是大于2的整数，证明为偶数（10分） 答案 证：因为（-1，n）=1，由欧拉定理有 ，因为n大于2，只有为偶数。 小升初数论问题 概念：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 从分解质因数中我们可以发现：两个数（或多个数）的公倍数必须具备： ①公倍数必须包含这几个数中所有的质因数，而根据这几个数质因数的关系，我们将这些质因数分为三类，一类是公有的质因数，一类是独有的质因数，一类是大家都没有的(如果大家都没有的个数为0，那么这时的公倍数就是最小公倍数)。 ②而最小公倍数又必须同时满足：每组公有的质因数只取一个，这几个数独有的质因数要全部取完，除此之外，不得含有其它的质因数，将这些取出的质因数全部乘起来所得的积就是这几个数的最小公倍数。 精典例题 例1：三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于多少？（1998年小学数学奥林匹克初赛试题） 思路点拨：想一想：三个数的最小公倍数与这三个数有什么关系？友情提示：从分解质因数的角度来思考！ 模仿练习：三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于多少？(1998年小学数学奥林匹克初赛试题) 例2：有一个数在700到800之间，用15、18和24去除，都不能整除。如果在 这个数上加1，就能同时被15、18和24整除，这个数是多多少？ 思路点拨：想一想：如果在这个数加1，就能被15、18、24整除说明这个数加1所得到的数一定是这三个数的…… 模仿练习：一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，只知道十位上数字是1，个位上数字是2.如果这个数减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除，那么这个四位数是多少？(北京市第二届“迎春杯”刊赛试题) 例3：甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是多少？ 思路点拨：想一想：两个数的最大公约数与它们的最小公倍数以及这两个数之间有什么关系？ 模仿练习：甲数是60，甲乙两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，乙数应该是多少？ 数论综合 A卷 1.两个连续奇数的和乘它们的差，积是304，这两个奇数分别是（）和（）。 2.一个数分别与相邻的两个奇数相乘，得到的两个乘积相差40，这个数是（）。 3.有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数的积是（）。 4.如果P,P+10，P+20是质数，那么P+2011=（）。 5.在89,121,135,480,483中，是3的倍数的有（）个。 6.若1a219b7是99的倍数，则a+b的值为（）。 7.把91,85,77,65,51,33这六个数分为两组，每组三个数，使两组的积相等，则两组之差为（）。 8.已知三个连续偶数的和比其中最大的一个偶数的2倍还多2，这三个偶数分别是（）（）（）。 9.小明在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是7,8,9,10中的一个数，并将这4个数都能取到，猜猜看，小明在这4张纸片上写的数分别是（）。 10.一个三位数，各位数字分别为A,B,C,它们互不相等，且都不为0，用A,B,C排得6个不同的三位数，若这6个三位数之和是2664，则这6个三位数中最大的可能是（）。 11.已知在一个除法算式中，被除数能被除数整除，除数与商都是质数，被除数，除数和商的积为441.则被除数为（）。 12.1到1000的自然数中，不能被3也不能被5整除的数共有（）个。 13.一个三位数，既能被8整除，又能被9整除，且5是它的因数，则这个三位数最小是（）。 14.一个三位小数四舍五入到百分位约是2.96，这个三位小数最大是（）。 15.1008乘一个正整数a，积是一个完全平方数，则a的最小值为（）。 16.能被3整除的最小的四位数是（）。 17.三个质数的和为140，则这三个质数乘积的最大值是（）。 B卷 1.在10以内任意选两个不同的质数，就可以写一个分数，其中最小的是（），能化成有限小数的最简真分数是（）。 2.任意两个连续的自然数中，两个数都是质数的有（）组。 3.两个质数的倒数相加的和的分子是31，和的分母是（）。 4.三个质数的倒数之和为，这三个质数的和是（）。 5.在1~~2015这2015个数中，与21互质的数共有（）个。 6.12345678987654321除本身之外的最大因数是（）。 7.已知A=2×3×3×3×3×5×5×7，在A的两位数的因数中，最大的是（）。 第十一讲 数论综合（二） 教学目标： 1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一 质数合数 【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31． 【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨 记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11． 【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那 么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数． 【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位 数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18． 板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、 商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除 数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968． 初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 数的整除 知识框架 一、整除的定义： 当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b 不整除a，记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整 除； 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」 第20讲数论综合二 兴趣篇 1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，请问：这4个数应该分别是多少？ 答案：1、7、13、19 解析：“任意2个数的和都是2的倍数”说明四个数奇偶性相同，“任意3个数的和都是3的倍数”说明四个数除以3的余数相同．若这四个数为奇数，第一个数为1，依次加6可得四个数为1、7、13、19.若这四个数为偶数，第一个数为2，依次加6可得四个数为2、8、14、20.显然第一组更小． 2．已知算式（1+2+3+…+n）+ 2007的结果可表示为n（n>l）个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？ 答案：5个 解析：1+2+3+…+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007。其中1舍去，有5个满足要求的自然数。 3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种，请问：所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？ 答案：11 解析：因为有四种表示方法，至少涉及四个质数，最小的四个质数是2、3、5、7，最小的四个合数是4、6、8、9，恰好有11=7+4=5+6=3+8= 2+9.因此满足条件最小的数是11. 4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.请问：满足上述条件的自然数有几组？ 答案：4组 解析：由题目条件得，甲×甲-甲×乙=甲×（甲-乙）2008，将2008写成两个 数乘积的形式，有如下几种：2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8．因此满足条件的甲、乙数为(2008，2007)、(1004，1102)、(502，498)、(251，243)，共有4组． 5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，请问：它们的和最大可能是多少？ 答案：170 解析(1)两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为81+64=145.(2)两个数均不是平方数，则这两个数为a×m2，a×n2(其中m不等于n).对可能的情况进行讨论：当a=2时，这两个数最大是2×72、2×62，和为98+72=170.当a=3时，这两个数最大是3×25、3×16，和为75+48=123.当a=5时，这两个数最大是5×16、5×9，和为80+45=125.当a=6时，这两个数最大是6×16、6×9，和为96+54=150．……经讨论，和最大为170． 6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？ 答案：502 解析：由于2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8，如果这挖个数的和为2008，平均数为1，那么n为2008.如果这n个数的和为1004，平均数为2，那么n为502.知果这n个数的和为502，平均数为4，那么这不可能，如果这n 个数的和为251，平均数为8，那么这不可能，因此n最小是502. 7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52-32，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？ 答案：2680 解析：通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为3，5，7，9， 2021年{某某}小学 小 学 数 学 学 习 资 料 教师： 年级： 日期： 第二十一讲数论综合 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 基本公式 1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。 2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。 3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×p k k a（#) 其中p1 6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。 7.平方数的总结： ①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。 ④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。 8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9.周期性数字：abab=ab×101 1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。 2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。 例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。 答案：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4； 因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。 这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。 例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？ 答案：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手。 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。 数论考试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132 ≡-+x x 。 三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-?? ???, 91563?? ??? 五、计算下列勒让德符号的值：)593438( ，)1847 365 ( 六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人； 成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。求兵数。 七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by + 是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 p a +2（a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 九、证明: 若方程 1 1...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此 解必为整数. 十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或 十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。 十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ??? ? ??≡-p n n p 2 1 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ?的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有 )(d ? 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ??个原根。 十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ?的最小非负完全剩余系, 则g γ 通过模m 的一个缩系。 第六讲初等数论 初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支，是数学中最古老的分支之一.近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域得到广泛应用.同时，初等数论在各类数学竞赛中占有重要地位，以国际数学奥林匹克为例，约有四分之一的题目是主要用初等数论知识来解的. 一、基础知识 1.整除理论 性质1：如果a\b t b\c t那么d|c； 性质2：若a\c t则对于任意整数x、y都有a\bx+cy 2.质数与合数 性质1：设n为大于1的正整数，p是n的大于1的约数中最小的正整数，则p为质数； 性质2：如果对任意1到亦之间的质数p,都有p不整除n,那么n为质数，这里n为大于1的正整 数； 性质3：质数有无穷多个； 性质4：质数中只有一个数是偶数，即2； 3.同余 定义：如果a、b除以m (正整数)所得得余数相同，那么称a、b对模m同余，记作 a=b (mod in) 性质X如果a三b (mod 则m\a-bt 性质2：若a = b (mod m) f c = d (mod 加)贝i]a + c = b + d (mod nt) a-c 三b-d (mod /H),ac = bd (mod ni) 性质3：a = b (mod m), n 为正整数，则a n = b" (mod m) 4.费尔马小定理 Fermat小定理：设p为质数，a为整数，则/三?(mod “).特别地，如果a不能被p整除，则三l(mod p) 二、例题部分 例1 (2006年希望杯初二培训题)已知一个五位数用4, 5, 6, 7, 8五个数码各一次组成，如64875 等，在这样的五位数中，能被55整除的有几个，它们分别是多少？ 《数理天地》2005增刊P22, 80 例2 (★★, 86年全国)设a、b. c是三个互不相等的正整数，求证：在—b'c — bF, c3a-ca3三个数中，至少有一个数能被10整除； 第三讲数论专题 重点知识点： 一、整除性质 ①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数) ②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。 ③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。 ④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。 二、整除特征 1．末位系列 (2，5)末位 (4，25)末两位 (8，125)末三位 2．数段和系列 3、9 各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法) 33，99 两位截断法——偶数位任意分段原则 3．数段差系列 11 整除判断：奇和与偶和之差 余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止) 7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔： 整除判断：奇段和与偶段和之差 余数判断：奇段和－偶段和(不够减则补，直到够减)三、整除技巧： 1．除数分拆：(互质分拆，要有特征) 2．除数合并：(结合试除，或有特征) 3．试除技巧：(末尾未知，除数较大) 4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹) 5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍) 四、约数三定律 约数个数定律：(指数＋1)再连乘 约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n(n＝约数个数÷2) 例题： 【例1】2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。 【巩固】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到____人。 【例2】若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？ 【巩固】两个两位数，它们的最大公约数是9，最小公倍数是360，这两个两位数分别是_______。【例3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为_____。 数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下： 我们用),...,,(21n a a a 表示n 个整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数。用[1a ,2a ,…,n a ]表示 1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数。对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，用{x }=x -[x ] 表示x 的小数部分。对于整数b a ,,若)(|b a m -，,1≥m 则称b a ,关于模m 同余，记为 )(mod m b a ≡。对于正整数m ，用)(m ?表示{1，2，…，m }中与m 互质的整数的个数， 并称)(m ?为欧拉函数。对于正整数m ，若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余，则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质，且其中任何两个数关于模m 不同余，则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系。 定理1 设b a ,的最大公约数为d ，则存在整数y x ,，使得 yb xa d +=. 定理2 （1）若)(mod m b a i i ≡，1=i ，2，…，n ，)(mod 21m x x =，则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； （2）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，m d |，则 )(mod d m d b d a ≡； （3）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，且1),(=m d ，则)(mod m d b d a ≡； （4）若b a ≡（i m mod ），n i ,...,2,1=，M=[n m m m ,...,,21]，则b a ≡（M mod ）. 定理3 （1）1][][1+<≤<-x x x x ； （2）][][][y x y x +≥+； （3）设p 为素数，则在!n 质因数分解中，p 的指数为 ∑ ≥1 k k p n . 第22讲数论综合三 典型问题 ◇◇兴趣篇◇◇ 1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。 （2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。 【分析】（1）设这个三位数为abc 根据题意有240abc n =，即240000abc n +=，22200(200)(200)abc n n n =-=+-当201n =时，401abc =，五位数是220140401 =当202n =时，804abc =，五位数是220240804 =当203n =时，abc 不是三位数（舍去） 所以满足条件的三位数是401，804 （2）当这个自然数是一位数时，有280a n =，229841=，228784=，因此一位数不 存在，同理两位数不存在当这个自然数是三位数时，有280abc n =，280000abc n =-，228480656=，所以最小自然数是656 2.已知!n 3 是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。（n n !123 ） 【分析】当6n ≥时，!()n m 3331 ，不可能是完全平方数，因此n 只能取1到5间的数， 经试验1n =或3 3.一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。求原来的四位数。 【分析】根据题意有2abcd m =，2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=，因此223333n m -=，即 ()()311101n m n m +-=??，且,n m 都是两位数，因此()()33101n m n m +-=?，所 完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题 模块一、因数与倍数的综合问题 例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程： [,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ?++=???-=??>??? ① ②③。 解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ， 则5570 ab ap bp abp p ++=??-=?，由p ×(ab ?1)=70，所以p |70，70=2×5×7， 若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去； 若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去； 若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5， 所以原方程的解是2515 m n =??=?。 例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。 解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n ?4，2n +5)=(n ?4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13. 例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n ?1=M n 。 解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n ?1=M n 。 因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a 数论题目
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