选修1-1第三章 变化率与导数

第三章 变化率与导数

§3.1.1 变化的快慢与变化率

一、课前预习

学习目标

1.会列举与变化率有关的实际问题。理解变化率是很多实际问题中不可缺少的重要数据，从中感受变化率的意义。

2.能结合具体实例计算平均膨胀率、平均速度，理解函数的平均变化率的概率，会求已知函数的平均变化率。

要点梳理

1．函数平均变化率

函数y ＝f(x)在点x=x 0及其附近有定义，把自变量的变化x －x 0称作______改变量，记作____,函数值的变化f(x)－f(x 0)称作______的改变量，记作____,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即______________.

2．瞬时速度

对一般的函数g ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0， Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是 Δy Δx

＝f x 1

f x 0

x 1－x 0

.

而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 .

二、课内探究 ※ 新课探究：

1．函数的平均变化率及其求解步骤

已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，令Δx ＝x －x 0，Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，比值f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝Δy Δx

叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．

2．瞬时速度及其求解步骤

设物体的运动方程为s ＝s (t )，如果该物体在时刻t 0时的位移为s (t 0)，在时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移增量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．那么，位移增量Δs 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝

Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)

Δt

※ 典型例题:

例1：求函数y ＝f(x)＝32x ＋2在区间[x 0，x 0＋Δx]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．

例2：已知s (t )＝1

2gt 2，其中g ＝10 m/s 2.

(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度；

(2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度；

(3)求t 在t ＝3秒时的瞬时速度．

※ 变式训练:

在例1中，分别求函数在x ＝1,2,3附近Δx 取1

2

时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小．

三、当堂检测

1．已知函数y ＝f(x)＝2

x ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44

2．质点运动规律s ＝t 2

＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )

A ．6＋Δt

B ．6＋Δt ＋9

Δt

C ．3＋Δt

D ．9＋Δt

3．对于函数f(x)＝－2x ＋1，当x 从1变为2时函数值的增加量为________，函数值关于x 的平均变化率为______．

4．求函数y ＝1

x 当自变量x 从x 1变为x 2时的平均变化率．

§3.1.2 导数的概念与几何意义(两个课时）

一、课前预习

学习目标

1.知道瞬变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数。掌握函数在某一点处的导数定义，并会用导数定义求一些简单函数在某一点处的导数。

2.掌握函数在某一点处导数的几何意义，进一步理解导数定义。

3.理解导函数概念，弄清楚函数在一点处的导数与导函数的区别与联系。

要点梳理

1．导数的概念

(1)如果函数f(x)在点x0处有改变量(增量)Δx，那么f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率Δf Δx

＝，当Δx→0(但Δx≠0)时，如果Δf

Δx→常数，这个常数就叫做f(x)在x0处的．

(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为f(x)在x＝x0处的

记作或．

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．

3．导数的物理意义：如果把y＝f(x)看做是物体的运动路程，那么，导数f′(x0)表示________，这就是导数的物理意义。

二、课内探究

※新课探究：

1、函数在一点处的导数求解步骤

2、正确理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别和联系。

3、求曲线的切线方程。

※典型例题:

. ),

2(

2 )

(

.

3 )

(

)

:

(

)

:

(

13

并解释它的实际意义

处的导数在

求函数的函数

单位时间

单位、一条水管中流过的

例

f

x

x

f

y

x

x

f

y

s

x

m

y

'

=

=

=

=

.

,5.3

)3(

4

)1(

:

3

1

)

(

).

(

)

:

(

)

:

(

,

2

的实际意义

试解释它们

和

的导数分别为

处

和

在

假设函数

的函数

单位

是其工作时间

单位

生产的食品数

上班后开始连续工作

、一名食品加工厂的人

例

=

'

=

'

=

=

=

=

f

f

x

x

x

f

y

x

f

y

h

x

kg

y

.

)4,2

(

2

,

2

2

)2(

.

))

(

,

(

.

]

,

[

2

5.0,1,2

)1(

.2

,2

)

(

3

处的切线

在点

并画出曲线

处的导数

在

求函数

的相应割线

并画出过点

的平均变化率

在区间

求

分别对

、已知函数

例

-

=

-

=

=

?

+

=

=

?

-

=

=

=

x

y

x

x

y

x

f

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

f

y

处的切线方程

在

、求函数

例1

2

)

(

43=

=

=x

x

x

f

y

※变式训练:

1、求函数y＝22x＋4x在x＝3处的导数．

2、过曲线y＝f(x)＝3x上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的

斜率．

三、当堂检测

1．函数y＝2x在x＝1处的导数。

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是

§3.2.1 常用函数的导数

一、课前预习

学习目标

1.会用导数定义求四个常见函数的导数，能作为公式记住并且会用于求函数的导数。

2.记住基本初等函数的求导数公式，并能应用导数公式求一些简单函数的导数。

要点梳理 1．导函数

一般地，如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的 处都有导数，导数值记为f ′(x )： f ′(x )＝x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim 0

，则 是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导

数．

2. 几个常见函数的导数

f(x)＝c f ′(x)＝ . f(x)＝x f ′(x)＝ . f(x)＝2

x f ′(x)＝ . f(x)＝x

1

f ′(x)＝ .

二、课内探究 ※ 新课探究：

1、几种常用函数的导数公式推导 （1）函数y=f(x)＝c 的导数

（2）函数y=f(x)＝x 的导数

（3）函数y=f(x)＝2

x 的导数

（4）函数y=f(x)＝x

1

的导数

※ 典型例题:

.

),5(,2)():():(12

并解释它的实际意义

求的函数单位是时间单位路程、一个运动物体走过的

例f t t f s s t m s '==

.)3(;2)2(;1)1(:

2

)(20

x x x x x x

x f y =-==+=

=在下列各点的导数、求函数例

).0(),2(),1()(),(3)(32

f f f x f x f x x x f y '-''''-==求并利用导数的导函数、求例

§3.2.2 基本初等函数的导数公式

一、课前预习

学习目标

1.掌握基本初等函数的导数公式，弄清楚公式的基本结构和变化规律，能够简单应用。

2.理解导数的意义，会求曲线的切线方程。 要点梳理

1、基本初等函数的导数公式

2、曲线切线的方程

例1.已知曲线 f(x)＝x

1

在点（1,1）处切线的斜率和切线方程.

※ 典型例题:

例1.求下列函数的导数 (1) y ＝sin 3π

4

；(2) y ＝log 27。

例2.求曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程。

例3.曲线y ＝e －

2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积

※ 变式训练: 1.求导数

(1)y ＝sin 3π

4

；(2) y ＝log 27

2.求曲线y ＝sin ????π2－x 在点A ???

?－π3，1

2处的切线方程

三、当堂检测 1.求导数

(1) y ＝x 10；(2 y ＝1

x

2.

2. 求曲线f(x)＝2x 在点(0,1)处的切线方程

f (x )＝c

f ′(x )＝ .f (x )＝n

x (n ≠0，n 为有理数) f ′(x )＝ . f (x )＝sin x f ′(x )＝ . f (x )＝cos x

f ′(x )＝ . f (x )＝x

a (a>0且不等于1）

f ′(x )＝ . f (x )＝x

e

f ′(x )＝ .

f(x)＝x a log (a>0且不等

于1,x>0）

f ′(x )＝ .

f (x )＝lnx f ′(x )＝ . f (x )＝tanx

f ′(x )＝ .

§3.2.3 导数的四则运算法则

一、课前预习

学习目标

1.记住两个函数的和、差的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导转化为两个或多个简单函数的求导数问题。

2.会运用导数运算法则和求导公式求一些函数的导数。

3.能通过运算法则求出导数后解决有关的实际问题。

要点梳理

（预习教材P68~ P69 ，完成下面的空格，并找出疑惑之处） 导数的加减法法则

:

),()()()(,我们有和是的导数分别和若两个函数一般地x g x f x g x f ''

[][]_

__________)()(___________)()(='

-='+x g x f x g x f

[]

___________________)()(______

__________)()(='

???

???='

x g x f x g x f

[]______)(:,)(,='

=x kf k x g 有时当特别地

二、课内探究 ※ 新课探究：

1、两个函数和差的求导法则的推导。 利用导数的定义推导。

2、两个函数和差的求导法则的推广。

推广到三个或者三个以上函数的和差的求导。

※ 典型例题:

例1.求下列函数的导数

;

2)1(2+=x y x x y ln 2-=）（

(2)x x y 22+=； (3)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6

过点的切线方程

、求曲线例x

x y 123

-=

.

ln )3(;sin )2(;)1(:

32x x y x x y e x y x ===、求下面函数的导数例

.

sin 3,ln )2(,sin )1(:

432x x y x x y x x y ===）（、求下列函数的导数例

.cos )2();sin (ln )1(:52

2x

x x y x x x y -=

+=、求下列函数的导数例

§3.3.1 导数与函数的单调性

一、课前预习

学习目标

1.结合实例，借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系，并能获取一般结论。

2.能利用导数研究函数的单调性，会根据导数值的变化规律说出函数值变化快慢的规律。

3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

要点梳理

（预习教材P79~ P81 ，完成下面的空格，并找出疑惑之处）

函数的单调性与其导数正负的关系

。

在这个区间内是常函数

，则函数

有区间内单调递减；若恒

在这个

那么函数如果在这个区间内是递增的那么函数）内，如果在某个区间（

)(______)(__,__________;

)(________,

,x f x f y x f y b a ==

二、课内探究 ※ 新课探究：

1.求函数单调区间的步骤。

2.求函数f(x)的单调区间就是解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0，将解集与定义域求交集． 若函数f(x)在区间(a ，b)内单调，解f ′(x)≥0或f ′(x)≤0恒成立．

的递增区间与递减区间

、求函数例163632)(123+--=x x x x f

例2.求函数ax x y +=3

的单调区间．

3.已经函数的单调性，求参数的取值范围。

例3.已知a ＞0，函数ax x y -=3

在[1，＋∞)上是单调增函数，求a 的取值范围．

三、当堂检测

1．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间是( )

A.????15，＋∞

B.????－∞，15

C.???

?－1

5，＋∞

D.?

???－∞，－1

5

2．函数y ＝x ＋lnx 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1)，(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－1,1)

3. 求下列函数的单调性：

(1)x x y +=3； (2) 4522+-=x x y 。

4.已知函数x ln a x y +=在[1，3]上是单调增函数，求a 的取值范围

§3.3.2 函数的极值

一、课前预习

学习目标

1.结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

2.理解函数极值的概率，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系。会求函数的极值，并能确定是极大值还是极小值。

3.增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。

要点梳理

（预习教材P81~ P84 ，完成下面的空格，并找出疑惑之处） 1．函数的极大值与极小值

(1)已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间的所有点x ，如果都有_______________,则称函数f(x)在点x0处取极大值，记住_______________。

(2)已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间的所有点x ，如果都有_______________,则称函数f(x)在点x0处取极大值,记住________________。____________统称为极值点。

二、课内探究

※ 学生汇报自学成果，提出自学中遇到的问题。

※ 新课探究： 1．极值点的意义

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 2．几点说明

(1)极值是一个局部概念． (2)函数的极值不是唯一的．

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 3．导数与极值的关系

对于函数f(x)的导数f ′(x)，令f ′(x)＝0，得值x0.

(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 4．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x)；

(3)求方程f ′(x)＝0的全部实根；

(4)检查f ′(x)在f ′(x)＝0的根左、右两侧值的符号，如果左正右负(或左负右正)，那么f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)．

※ 典型例题:

的极值点

、求函数例53632)(12

3

+--=x x x x f

的极值

、求函数例133)(23

+-=x x x f

例3、设函数cx bx ax x f ++=23)(在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a 、b 、c ，并求其极值．

三、当堂检测

1．函数73)(23+-=x x x f 的极大值是( )

A ．－7

B ．7

C ．3

D ．－3

2．函数bx ax x f +=3)(在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1, 3 C ．－1,3 D ．－1，－3

3．函数x x x f 6)(3

-=的极大值为________，极小值为________．

4．求函数f (x )＝x ＋1

x ＋1的单调区间，并求其极大值和极小值．

四、课后巩固提高 ※ 本堂小结：

※完成学考 C 组“课后巩固练案”。

§3.3.3 函数的最大（小）值与导数

§3.4生活中的优化问题举例

一、课前预习

学习目标

1.结合生活中求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，对学生进行函数思想和方法的培养。

2.借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。

3.弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉f(x)必有最大值和最小值的充分条件。

4.掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小值的思想方法和步骤。

要点梳理

（预习教材P85~ P90 ，完成下面的空格，并找出疑惑之处） 1.最优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用来最省、效率最高等问题，有些问题通常称为_________. 2．函数f(x)在闭区间[a ，b]上的最值

如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得___________和___________,若函数在(a,b)是可导的，该函数的最值必在__________或________取得。

3．求函数y ＝f(x)在[a ，b]上最值的步骤

(1)求函数y ＝f(x)在开区间(a,b)内的所有____________;

(2)计算函数y ＝f(x)在_________和__________的函数值，其中__________的一个为最大值，____________的一个为最小值。

二、课内探究

※ 学生汇报自学成果，提出自学中遇到的问题。

※ 新课探究：

1、解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题，其思路如下：

2、求最优化问题的步骤

(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y ＝f(x)； (2)求出函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值、最小者为最小值．

※ 典型例题:

.

),2(),1()2(;

,,31)1(.

166)(:

,):():(,12

3

解释它们的实际意义

求它的实际意义并解释的平均变化率关于间时功时变到从求设这个函数可以表示为的函数单位间是时

单位他所做的功进、某人拉动一个物体前例W W t W s s t t t t t W W s t J W ''+-==

例2、

下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨的数据

时间(t)/min

10

20

30

40

50

60

降雨量(y)/mm 0 10 14 17 20 22 24

.)(,,表示用的函数是时间降雨量显然t f y t y =

.

)40(,10)()2(;,,,6050,100)1(并解释它们的实际意义

求的函数的近似表达式为关于时间假设得到降雨量并解释它们的实际意义比较它们的大小的平均变化率关于时间降雨量时变到从变到从分别计算当f t t f t y t y t '=

.

)100()2(.?,120100)1(.3.010

10)(,,32并解释它的实际意义求它代表什么实际意义变化率是多少的平均关于建筑面积建筑成本时变到从当设函数为数的函

是万元的房屋需要成本

、建造一幢面积为例f x y x x

x x f y x y y xm '++=

=

[].

2,252)(42

3

最大值与最小值上的在区间、求函数例-+-==x x x f y

?

?

,)2(?

,)1(.):():(.,,,48,53

最大容积是多少容器的容积最大为多少时截去的小正方形的边长是如何变化的容积的变化随着的函数单位的小正方形的边长是关于截去单位所得容器的容积长方本容器可以做成一个无盖然后折起一个大小相同的正方形四角各截去的正方形铁皮一边长为、如图所示例V x cm x cm V cm

三、当堂检测

1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)^2，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( ) A ．12 B ．－12

C ．4

D ．－4

2．从时间t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t^2＋3t 表示，则第5 s 时的电流强度为( ) A ．27 C/s B ．20 C/s C ．25 C/s D ．23 C/s

3．球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为______．

4.函数f ( x ) = ax 3 + ( a – 1 )x 2 + 48( b – 3 )x + b 的图象关于原点中心对称，则f ( x) ( ) A ．在[–43，43]上为增函数 B ．在[–43，43]上非单调

C ．在[43，+∞)上为增函数, 在 (– ∞, –43]为减函数

D ．在 (– ∞, –43]为增函数，在[43，+∞)上也为增函数,

5、函数y =x ln x 在区间（0，1）上是（ ） A.单调增函数

B. 在（0，

e 1）上是减函数，在（e

1

,1）上是增函数 C. 单调减函数 D.在（0,

e 1）上是增函数，在（e

1

,1)上是减函数

四、课后巩固提高

※ 本堂小结：

※完成学考 C 组“课后巩固练案”。