计算方法_习题第一、二章答案
第一章 误差
1 问3.142，3.141，7
22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？
分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65…
记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7
22.
由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知
34111
10||1022
x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知
223102
1||1021--?≤-
因而x 2具有3位有效数字。
由π-7
22=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知
23102
1|722|1021--?≤-
因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。 分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101101|
*||)(|1211*=?≤?≤-=+-+-n r
x x x ε
3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？
分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。 解 a 1是1到9间的数字。
1112*10110113%3.0)(--?≤?=<
=x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。 分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411
*10%01.01021|*||
*||)(-+-=≤?≤-=
n r a x x x x ε
解不等式411
101021-+-≤?n a 知取n=4即可满足要求。
5 计算760
17591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
解
=-760
175910.131 8×10-2-0.131 6×10-2=0.2×10-5 结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：
56101734.010
5768.01760759176017591-?=?=?=- 就得到4位有效数字的结果。
此例说明，在数值计算中，要特别注意两相近数作减法运算时，有效数字常会严重损失，遇到这种情况，一般采取两种办法：第一，应多留几位有效数字；第二，将算式恒等变形，然后再进行计算。例如，当x 接近于0，计算x
x sin cos 1-时，应先把算式变形为
x
x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 1sin cos 12+=+-=-
再计算。又例如，当x 充分大时，应作变换
x
x x x ++=
-+111
)
1(1111+=+-x x x x 6 计算6)12(-=a ，取4.12≈，采用下列算式计算： （1）
6
)12(1+； （2）27099-； （3）3)223(-； （4）
3
)223(1+. 问哪一个得到的结果最好？
解 显然
6
66
66
)12(1)12()12()12()12(+=++-=-=a []27099)223()12()12(33
26-=-=-=-
[]3
266)223(1)12(1)12(1)12(+=+=+=
- 所以（1）≡（2）≡（3）≡（4），这4个算式是恒等的，但当取4.12≈计算时，因为（2），
（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字损失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好，事实上，当取4.12≈时，有|△x|<0.015，再由)(x f 的误差
|||)4.1(||)()(x f x f x x f ?'≈-?+也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最
小。
具体计算可行： （1）
36102.5)
12(1-?≈+； （2）0.127099≈- （3）33100.8)223(-?≈-； （4）
33101.5)
223(1-?≈+. 比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于a 。
7 求二次方程x 2-(109+1)x+109=0的根。
解 由于x 2-(109+1)x+109=（x-109）(x-1)，所以方程的两个根分别为 x 1=109，x 2=1
但如果应用一般二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式：
a
ac
b b x 2422,1-±-=
由于当遇到b 2>>4|ac|的情形时，有ac b b 4||2-≈，则用上述公式求出的两个根中，总有一个因用了两个相近的近似数相减而严重不可靠，如本例若在能将规格化的数表示到小数点后8位的计算机上进行计算，则-b=109+1=0.1×1010+0.000 000 0001×1010，由于第二项最后两位数“01”在机器上表示不出来，故它在上式的计算中不起作用，即在计算机运算时，-b=109.
通过类似的分析可得
9210||4=≈-b ac b
所以，求得的两个根分别为
99
921102101024=+≈-+-=a ac b b x
02
1010249
922=+≈---=a ac b b x
显然，根x 2是严重失真的。
为了求得可靠的结果，可以利用根与系数的关系式：a
c x x =21，在计算机上采用如下
公式：
a
ac
b b b x 24)sgn(21---=
1
2c x =
其中，sgn （b ）是b 的符号函数，当b ≥0时sgn （b ）=1；当b<0时，sgn （b ）=-1。显然，上述求根公式避免了相近数相减的可能性。
8 当N 充分大时，如何计算
?
++=1
11N N
dx x
I 分析 函数
2
11x +的原函数已知，我们自然考虑用Newton-Leibniz 公式求这个定积分
的值。由于N 很大，这样会遇到两个相近的数相减，因此，应采用一些变换公式来避免这种情况。
解 若用定积分的Newton-Leibniz 公式计算此题，有
?
+-+=+1
2
arctan )1arctan(11N N
N N x ，则当N 充分大时，因为arctan （N+1）和arctanN 非常接近，两者相减会使有效数字严重损失，从而影响计算结果的精度，这在数值计算中是要尽量避免的，但是通过变换计算公式，例如：令tan θ1=N+1, tan θ2=N ，则由
N
N N N N N )1(11)1(11tan tan 1tan tan )tan(212121++=
++-+=+-=-θθθθθθ,得 N
N N N )1(11a r c t a n
a r c t a n )1a r c t a n (21++=-+=-θθ
就可以避免两相近数相减引起的有效数字损失，从而得到较精确的结果。所以，当N 充分大时，用
?
+++=+1
2
211arctan 11N N
N N x 计算积分的值较好。 9 计算积分?==
-1
1
,2,1( n dx e
x I x n n .
分析 数值计算中应采用数值稳定的算法，因此在建立算法时，应首先考虑它的稳定性。
解 利用分部积分法，有
?
???--------=-==1
1
1110
1110
110
111|dx e x n dx nx e e x de x dx e x x n n x x n x n x n
得递推公式：
1(1,2,)n n I I nI n -=-= （1）
?-==
-1
1
0011e
dx e
x I x
利用公式（1）计算I n ，由于初值I 0有误差，不妨设求I 0的近似值*0
I 时有大小为ε的误差，即
ε+=*00
I I 则由递推公式（1）得
εε-=--=-=**100
1I I I I I I εε!22222112+=+-=-=**I I I I I I εε!3!23333223+=?--=-=**I I I I I I εε!4!3444433
4+=?+-=-=**I I I I I I ┊
ε!)1(n I I n n n
-+=* 显然初始数据的误差ε是按n!的倍数增长的，误差传播得快，例如当n=10时，10！≈3.629
×106,ε!10||1010=-*I I ，这表明I 10时已把初始误差ε扩大了很多倍，从而*10I 的误差已把I 10
的真值淹没掉了，计算结果完全失真。
但如果递推公式（1）改成
)2,3,1,()(11 -=-=-k k n I I n
I n n
于是，在从后往前计算时，I n 的误差减少为原来的n
1，所以，若取n 足够大，误并逐步减小，
显然，计算的结果是可靠的。所以，在构造或选择一种算法时，必须考虑到它的数值稳定性问题，数值不稳定的算法是不能使用的。
10 为了使计算
3
2)1(6)1(41310---+-+
=x x x y 的乘除法运算次数尽量地少，应将表达式改写为怎样的形式？
解 设.))64(3(10,1
1t t t y x t -++=-=
在数值计算中，应注意简化运算步骤，减少运算次数，使计算量尽可能小。 11若x*=3587.64是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。 12为使70的近似值的相对误差小于0.1，问查开方表时，要取几位有效数字？ 13利用四位数学用表求x=1-cos2°的近似值，采用下面等式计算： （1）1-cos2° （2）2sin 21° 问哪一个结果较好？
14求方程x 2-56x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（已知982.27783≈）。 15数列0}{=∞n x 满足递推公式
),2,1(1101 =-=-n x x n n
若取41.120≈x (三位有效数字)，问按上述递推公式，从x 0计算到x 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
16如果近似值m n n a a a a x 10)101010(123121??++?+?+±=+---* 的相对误差限小于
1110)
1(21+-?+n a ，证明：这个数具有n 位有效数字。
第二章 插值法与数值微分
1 已知12144,11121,10100===，试利用插值法近似计算115。 分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange 插值，也可利用三点二次Newton 插值，它们所得结果相同。
解 利用三点二次Lagrange 插值。 记12,11,10,144,121,100,)(210210=======
y y y x x x x x f ，则)(x f 的二次
Lagrange 插值多项式为
))(()
)(())(())(()(2101201
2010210
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----= )
)(()
)((1202102x x x x x x x x y ----+
)
144121)(100121()
144)(100(11)144100)(121100()144)(121(10----?
+----?=x x x x )121144)(100144()
121)(100(12----?+x x
)115(115)115(2L f ≈=
)144121)(100121()
144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10----?
+----?
= 756722.10)
121144)(100144()
121115)(100115(12≈----?
+
因为5
3
1
8
3)(,41)(,21)(-
--='''-=''='x x f x x f x x f ，
)()()(22x L x f x R -=
)144,100(),
)()()((!
31210∈---'''=ξξx x x x x x f
所以
|)115()115(||)115(|22L f R -=
|)144115)(121115)(100115(8361|25
---??=-
ξ
≤22510125163.029*******
361--
?=?????
2 已知)(x f y =的函数表
求函数)(x f 在[0,2]之间的零点的近似值。
分析 一般情况下，先求出)(x f 在[0，2]上的插值函数)(x P ，然后求)(x P 的零点，把
此零点作为)(x f 的近似零点。特别地，若)(x f 的反函数存在，记为)(y x ?=，那么求)(x f 的零点问题就变成求函数值)0(?的问题了，利用插值法构造出)(y ?的插值函数，从而求出
)(x f 的零点)0(?的近似值，这类问题称为反插值问题，利用反插值时，必须注意反插值条
件，即函数)(x f y =必须有反函数，也即要求)(x f y =单调。本题i y 是严格单调下降排列，可利用反插值法。
利用三点二次Lagrange 插值，由上反函数表构造)(x f y =的反函数)(y x ?=的二次Lagrange
插值多项式。
令2,1,0,18,5.7,8210210===-=-==x x x y y y ，则)(y x ?=的二次Lagrange 插值多项式为
))(()
)(())(())(()(2101201
1210210
2y y y y y y y y x y y y y y y y y x y L ----+----= )
)(()
)((1202102
y y y y y y y y x ----+
函数)(x f y =的近似零点为
)185.7)(85.7()
180)(80(1)188)(5.78()180(50.70(0)0(2+---+-?
+++++?
=L )
5.718)(818()
5.70)(80(2+---+-?
+
232445.0≈
3 设4)(x x f =，试用Lagrange 插值余项定理写出以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。
解 设)(x f 以-1，0。1，2为插值节点的三次Lagrange 插值多项式为)(3x L ，由Lagrange 插值余项定理有
)2)(1)(0)(1(!
4)()()()()4(33---+=-=x x x x f x L x f x R ξ
)2)(1)(0)(1(---+=x x x x 因而
)2)(1)(0)(1()()(3---+-=x x x x x f x L
x x x x x x x x 22)2)(1)(1(234-+=--+-=
4 设)(,),(),(10x l x l x l n 是以n x x x ,,,10 为节点的Largange 插值基函数，试证：
（1）
∑==n
k k x l 0
1)(.
（2）∑===n k j
k
j
k n j x x l x 0
),,1()( .
（3）∑===-n k k
j
k
n j x l x x 0
),,1(0)()( .
（4）∑==n
k j
k
k x
l 0
)0(
分析 本题是关于Lagrange 插值基函数),,1,0)((n k x l k =的性质问题，观察要证明的结论，应考虑对常数1和j x 进行插值入手，通过插值余项为0得到结论。
证 （1）设1)(=x f ,则)(x f 以n x x x ,,,10 为插值节点的n 次Lagrange 插值多项式为 ∑∑====n k n
k k
k
k
n x l x l x f x L 0
)()()()(
由插值余项定理知
0)()!
1()()()(11=+=-++x n f x L x f n n n ωξ
从而
)()(x f x L n = 即
∑==n
k k x l 0
1)(
（2）设),,1()(n j x x f j ==则)(x f 以n x x x ,,,10 为插值节的n 次Lagrange 插值多项
式为
∑∑====
n
k n
k k
k
k
n x l x l x f x L 0
)()()()(
由插值余项定理知
0)()!
1()
()()(11=+=-++x n f x L x f n n n ωξ
从而
)()(x f x L n =
即
∑==n
k k
x l 0
1)(
（2）设),,1()(n j x x f j
==，则)(x f 以n x x x ,,,10 为插值节点的n 次Lagrange 插值
多项式为
∑∑====
n k n
k k
j k k
k
n x l x x l x f x L 0
)()()()(
,0n
j ,,2,1 =1
,)1(10+=-n j x x x n n
由插值余项定理
0)()!
1()
()()(1)1(=+=-++x n f x L x f n n n ωξ
从而
)()(x f x L n = 即
∑===n
k j
k j k n j x
x l x 0
),,1()(
（3）将j k x x )(-按二项式展开，得
∑=--=
-j
i i i j k
i j j
j
k x x
C x x 0
)1()(
代入左端，得
∑∑∑===--=-n
k n
k h
i k i i j k i j i k j
k
x l x x C x l x x
00)(])1([)()(
∑∑==--=
j
i n
k k i
j k
i i j
i
x l x
x C 0
)()1(
利用（2）的结论，有
∑∑=-==-=-=-j
i j i j i i j i n
k k j
k
x x x x C x l x x
0)()1()()(
（4）当n j ,,2,1 =时，由（2）的结论知
0|)0(00
====∑x n
k j j
k
k x x
l
当1+=n j 时，令1)(+=n x x f ，有)!1()()1(+=+n x f n
)(x f 以n x x x ,,,10 为插值节点的n 次Lagrange 插值多项式为
∑=+=n
k k n k
n x l x
x L 0
1
)()(
由插值余项定理知
)()()!
1()
()()(11)1(x x n f x L x f n n n n +++=+=
-ωωξ
从而
)()()(1x x f x L n n +-=ω
即
∑=++----=n
k n n k n k
x x x x x x x x l x
)1011
())(()(
令0=x ，有
∑=+-=n
k n n k n k
x x x l x
101)1()0(
5 设],[)(2b a C x f ∈，且0)()(==b f a f ，求证
|)(|max 8)(|)(|max 2x f b
x a a b x f b x a ''≤≤-≤≤≤
分析 本章内容是代数插值，而题设0)()(==b f a f ，易知若用线性插值，线性插值函数只能为0，且误差为))()((!
21b x a x f --''ξ，
这样利用余项估计式可直接把)(x f 与)(x f ''联系起来。
证 以a,b 为插值节点进行线性插值，其线性插值多项式为 0)()()(1=--+--=b f a
b a x a f b a b x x L
线性插值余项为
),())((!
2)
()()(1b a b x a x f x L x f ∈--''=-ξξ 从而
))((!
2)
()(b x a x f x f --''=
ξ 由于|))((|b x a x --在)(2
1b a x +=处取最大值，故
|))((|max |)(|max 1|)(|max b x a x b x a x f b x a x f b x a --≤≤?''≤≤≤≤≤ |)(|max )(8
12x f b x a a b ''≤≤-= 6 证明：由下列插值条件
所确定的Lagrange 插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题？
分析 本题是关于Lagrange 插值问题，由已知数据表构造Lagrange 插值多项式便可得出结论。
解 令5.2,2,5.1,1,5.0,
0543210======x x x x x x
25.5,3,25.1,0,75.0,1543210====-=-=y y y y y y 以420,,x x x 为插值节点作)(x f 的二次插值多项式)(2x L ，则 )
)(()
)(())((())(()(4202402
4020420
2x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----= )
)(()
)((2404204
x x x x x x x x y ----+
)
21)(01()
2)(0(0)20)(10()2)(1()1(----?
+----?-=x x x x 12-=x
易验证)5,,1,0()(2 ==i y x L i i ，因而满足插值条件 )5,,1,0()( ==i y x L i
i （1）
的Lagrange 插值多项式为1)(2-=x x P 。
由插值多项式的存在惟一定理知满足条件（1）的5次插值多项式是存在且惟一的，但该5次多项式并不一定是真正的5次多项式，而是次数≤5的多项式。
7 对于任意实数0≠λ以及任意正整数s r ,，多项式 )()()()()()()(01
01101010x f x x x x x f x x x x x x x x x q s r --+--+--=λ
是s r +次多项式，且满足)()(),()(1100x f x q x f x q ==。本题说明了什么问题？
解 本题说明由两个插值条件)()(),()(1100x f x q x f x q ==构造大一1次的插值多项式，答案是不惟一的，类似地，由n+1插值条件构造大于n 次的插值多项式，答案也是不惟一的。
8 我们用sin30°=0.5,sin45°=0.7071,sin60°=0.8660，作Lagrange 二次插值，并用来求sin40°的近似值，最后根据插值余项定理估计此误差。
分析 本题显然是利用Lagrange 插值余项定理 解 设
x x f x x f x x f x x f cos )(,sin )(,cos )(,sin )(-='''-=''='= 令
6981.040,0472.160,7854.045,5236.030210======== x x x x 其插值余项为
))()(()
()(210)3(2x x x x x x f x R ---=ξ
从而
)6981.0(|)40(22R R =
)0472.16981.0)(7854.06981.0)(5236.06981.0(!
3)
cos(----=
ξ ≤886000.03491.00873.01754.06
1≈???
9 已知5,3,2,0=x 对应的函数值为5,2,3,1=y ，作三次Newton 插值多项式，如再增加6=x 时的函数值6，作四次Newton 插值多项式。
分析 本题是一道常规计算题 解 首先构造差商表
三次Newton 插值多项式为
)3)(2(3)2(21)(3--+--+=x x x x x x x N
增加6)(,644==x f x 作差商表
四次Newton 插值多项式为
)3)(2(10
3)2(321)(4--+--+=x x x x x x x N
)5)(3)(2(120
11----x x x x 10 已知13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f
分析 本题)(x f 是一个多项式，故应利用差商的性质。
解 由差商与导数之间的关系)(!
1],,[)(0ξn n f n x x f = 及!7)()7(=x f ，0)()8(=x f 知
1!7!
7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f
0!
80
!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f
11 若0111)(a x a x a x a x f n n n ++++=-- π有n 个相异的实根1x ，n x x ,,2 ，则有 20,0-≤≤n k
分析 )(x f 有n 个相异实根，故)(x f 可表示成
∏=-n
i i
x x 1
)(，考察本题要证明的结论和
)(x f
的特点，应考虑利用差商可表示为函数值的线性组合这一性质。 证 由于n x x x ,,,21 是)(x f 的n 个互异的零点，所以 121
()()()()()n
n n n
i
i f x a x x x x x x a x x ==---=-∏
1()()n
j n j
i i i j
f x a x
x =≠'=-∏
1
1
1
1
11
()()
()
k k k n
n n
j
j
j
n n
j j j j n
n j i j
i i i i j
i j
x x x f x a a x x x
x =====≠≠=='--∑
∑∑
∏∏ （1）
记则,)(k k x x g =
200-≤≤n k
（2）
11-=n k a n
由（1），（2）得
121
1
1()
11
[,,,]()()
k n
n
j
k j n n
j j j n
n
j
i i i j
x g x gk x x x f x a a x
x ===≠==
'-∑
∑
∏
200
-≤≤n k
11
-=n k a n
12 设x
a x f -=
1)(，且n x x x x a ,,,,,210 互不相同，证明 ),,2,1()
())((1],,,[1010n k x a x a x a x x x f k k =---=
∑==
'n
j j
k
j
x f x
1
)(1
,1-=n k a n
=-)()
1(x g n k (1)()1(1)!n k
n g
a n ξ-=
=
-
并写出)(x f 的n 次Newton 插值多项式。
分析 利用差商的定义可证得 证 用数学归纳法证明 当1=k 时
]11[1)
()(],[1010101010x a x a x x x x x f x f x x f ----=--=
)
)((110x a x a --=
假设当m k =时，结论成立，即有
,1
],,,[,)
(1
],,,[1
1210
10∏∏=+=-=
-=
i i
m i i
m x
a x x x f x a x x x f
那么
1
011010110]
,,,[],,,[],,,,[+++--=
m m m m m x x x x x f x x x f x x x x f
])
(1
)(1
[11
1
0 ==+--
--=
i i
i i
m x a x a x x
011
0)
()()(1=++-----=
i i m m x a x a x a x x 0
)
(1
=-=
i i
x a
即当1+=m k 时，结论成立。
由数学归纳法知对任意k ，结论是成立的。
)(x f 以n x x x ,,,10 为插值节点的n 次Newton 插值多项式为
)
())(()())(())(()(1)(101101000n n n x a x a x a x x x x x x x a x a x x x a x N ------+
+---+-=
- 13 设),(],,[)(01b a x b a C x f ∈∈定义
],[lim ],[0000x x f x x x x f →=
证明：)(],[000x f x x f '
=。 分析 本题应利用差商的概念和微分中值定理将差商与导数联系起来。 证 由微分中值定理有 10)),(()
()(],[000
000<<-+'=--=θθx x x f x x x f x f x x f
所以
)())((lim ],[lim ],[00000000x f x x x f x x x x f x x x x f '=-+'
→=→=θ
14 设011)(a x a x a x a x f n n ++++=- ππ，且0≠n a ，试证 n n n h a n x f !)(=? 其中h 为等距节点步长。
分析 由于)(x f 是多项式，因此应考虑用差商的性质和差商与差分的联系来证明。 证 记
),,2,1,0(n i ih
x x i =+=
n n
n n n n a n a n n f x x x f h n x f ====?!
!!)(],,,[!)(()(10ξ
所以
n n n h a n x f !)(=?
15 已知函数)(x f y =的函数表
试列出相应的向前差分表，并写出Newton 向前插值公式。
分析 这是常规计算题，按照公式计算即可。 解 构造向前差分表
)(x f 的Newton 向前插值公式为
)1.00.0()(55t N x N +=
2
000!
2)1(!
1f t t f t f ?-+?+=
]1,0[,
00.130.002.02∈++=t
t t
16 给出nx x f 1)(=的数据表
（1）用线性插值及二次插值计算1n0.54的近似值。
（2）用Newton 向后插值公式求1n0.78的近似值，并估计误差。 分析 本题属于常规计算题，按照公式计算即可。 解 （1）线性插值，取6.0,5.010==x x ，则
5
.06.05.054.0)826510.0(6.05.06.054.0)147693.0(54.01--?-+--?-≈n
=-0.620 219
二次插值，取7.0,6.0,5.0210===x x x ，则 )7.05.0)(6.05.0()
7.054.0)(6.054.0()147693.0(54.01----?-≈n
)
7.06.0)(5.06.0()
7.054.0)(5.054.0()826510.0(-----+
)
6.07.0)(5.07.0()
6.054.0)(5.054.0()675356.0(----+
=-0.616 838 2
也可取6.0,5.0,4.0210===x x x 进行二次插值得 1n0.54≈0.615 319 8
（2）记9.0,8.0,7.0,6.0,5.0,4.0543210======x x x x x x ，构造向后差分表
由Newton 向后插值公式
)()(th x N x N n n x +=
n n n n n f n t t t n f t t f t f ?-+++?++?+=)1()1(!
1|)1(!212
由于th x x n +=，当2.01.0/)8.078.0(,4,78.0-=-===t n x 时，故
)78.0(78.014N n ≈
=-0.223 144+0.133 531×(-0.2) )620020.0)(12.0)(2.0(!
21-+--+
)550007.0)(22.0)(12.0)(2.0(1+-+--+
)103005.0)(32.0)(22.0)(12.0)(2.0(!
41+-+-+--+
≈0.248 453 由插值余项
5)(44)4()1(!
5)
()()()(h t t t f x N x f x R s ++=-= ξ
知
|)(|],[m a x |)4()1(|!
5|)78.0(|)5(405
4x f x x x t t t h R ∈++≤ ≤|)42.0)(32.0)(22.0)(12.0)(2.0(|!
51.05
+-+-+-+--?
4510985.54
.0!4-?=?
17 已知sin30°=0.5，sin45°=0.7071，sin ˊ(30°)=cos30°=0.8660，sin ˊ(45°)=cos45°=0.7071，求sin40°。
分析 本题不仅给出两点上的函数值，而且还给出了导出数值，因此应利用两点三次Hermite 插值。
解 利用两点三次Hermite 插值 )9
2()40(40sin 33πH H =≈
5.0)4
/6/4/9/2)(6/4/6/9/221(2?----?+=ππππππππ
7071.0)6
/4/6/9/2)(4/6/4/9/221(2?----++ππππππππ
8660.0)4/6/4/9/2)(692(2?---+ππππππ
7071.0)6
/4/6/9/2)(49
2(2?---+ππππππ
=0.6428
|)2()2()(sin |)2(|2
2)4(ππππξπ--=R ≤01001.0)36
()18(24122≤-
ππ
18 已知自然对数1nx 和它的导数1/x 的数表
（1）利用Lagrange 插值公式，求1n0.60。 （2）利用Hermite 插值公式，求1n0.60。 分析 本题属常规计算题，按有关公式计算即可。
解 记80.0,70.0,50.0,40.03210====x x x x 。首先列表计算
（1）利用Lagrange 插值公式，有 ∑==
≈3
3)()6.0()60.0(60.01i i
i
x f l L n
=-0.166 667×(-0.916 291)+0.666 667×(-0.693 147) +0.666 667×(-0.356 675)+(-0.166 667)×(-0.223 144) =-0.509 976
（2）利用Hermite 插值公式，有
∑='-+'--=3
227)}()()()()())]()(21{[)(i i i i i i i i i x f x l x x x f x l x l x x x H
从而=≈)60.0()60.0(17H n -0.510 889。
注：本题的真值=60.01n -0.510 825 623…，可以看出Hermite 插值所得结果要比Lagrange 插值结精确得多。
19 设已知],[,,210b a x x x 是上三个互异的节点，函数],[)(b a x f 在上具有连续的四阶导数，而)(3x H 是满足下列条件的三次多项式：
)2,1,0()
()(==i x f x H i i
)()(11x f x H '
=' （1）写出)(3x H 的表达式。
（2）证明：),()
())((!
4)()()(2210)4(3b a x x x x x x f x H x f ∈---=-ξξ
分析 这是带导数的插值问题，但又不是Hermite 插值问题，要求我们灵活运用插值方
法，解决这类问题的方法较多，常用的有以下两种解法。
（1）解法一 用插值法加待定系数法来做。
设)(2x N 为满足插值条件)2,1,0)(()(2==i x f x N i i 的二次式，由插值条件可设)(3x H 的形式为
))()(()()(21023x x x x x x A x N x H ---+=
],,[))((],[)(][210101000x x x f x x x x x x f x x x f --+-+=
))()((210x x x x x x A ---+ （1） 其中A 为待定系数，显然由（1）确定的)(3x H 满足)2,1,0)(()(3==i x f x H i i ，待定系数A
可由插值条件)()(113x f x H '='来确定，为此对（1）式两边求导数 ],,[)(],,[)(],[)(21002101103
x x x f x x x x x f x x x x f x H -+-+=' )])(())(())([(102021x x x x x x x x x x x x A --+--+--+
令1x x =，并利用插值条件)()(113x f x H '='有
))((],,[)(],[)(210121001101x x x x A x x x f x x x x f x f --+-+=' 于是
]
,,[)(],[)(210121001101x x x f x x x x f x f A ---'=
从而
],,[))((],[)(][)(2101010003x x x f x x x x x x f x x x f x H --+-+=
)
)((]
,,[)(],[)(210121001101x x x x x x x f x x x x f x f --'---'+
))()((210x x x x x x ---? 解法二 用插值基函数来构造。
首先构造四个三次插值基函数)(),(),(),(1210x h x h x h x h ，使其满足条件 0)(,0)(,0)(,1)(10
201000='===x h x h x h x h 0)(,0)(,1)(,0)(11
211101='===x h x h x h x h 0)(,1)(,0)(,0)(12
221202='===x h x h x h x h 1)(,
0)(,
0)(,
0)(11211101='===x h x h x h x h
由)(0x h 所满足的条件，可设)()()(2210x x x x A x h --=，其中A 为待定系数。由1)(00=x h ，
得)
()(120210x x x x A --=
，故有
)
()()
()()(202102210x x x x x x x x x h ----=
同理可得
)
()()
()()(022120212x x x x x x x x x h ----=
由)(1x h 满足的条件，可设))()(()(2101x x x x x x C x h ---=，其中C 为待定系数，由1)(11='x h ，得)
)((12101x x x x C --=
，故有
)
)(()
)()(()(21012101x x x x x x x x x x x h -----=
下面求)(),(11x h x h 由满足条件，设)
)(()
)(()()(2101201x x x x x x x x b ax x h ----?
+==，其中
b a ,为待定系数，利用0)(,1)(11
11='=x h x h 得 11=+b ax 01)(1)(2
11011=-++-++x x b ax x x b ax a 由此得
2)(21011
20x x x a -+=
)
)((]2)[(121011
120x x x x x x x x b ---+-=
所以
2
2120120210111201)()()
)()}()()(](2){[()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x h --------+=
易验证
)()()()()()()()()(112211003x h x f x h x f x h x f x h x f x H '+++=
（2）证 当x 为插值节点210,,x x x 中任一点时，结论显然成立，下面设x 异于210,,x x x 。 由于)()()(33x H x f x R -=满足
0)(,0)(,0)(,0)(13
231303='===x R x R x R x R 故可设)())(()(22103x x x x x x K x R ---=，其中K 为依赖于x 的待定系数。
固定x ，作辅助函数
)())(()()()(22103x t x t x t K t H t f t G -----= 显然],[)(b a t G 在上有四个零点210,,,x x x x ，其中1x 为二重零点。
利用Rolle 定理，知)(t G '在x x x x ,,,210组成的三个小区间内至少各有一个零点，记为
321,,ηηη，加上],[)(,1b a t G x 在'],[b a 上至少有4个零点，反复利用Rolly 定理：
],[)(b a t G 在''内至少有3个零点。 ],[)()3(b a t G 在内至少有2个零点。
],[)()4(b a t G 在内至少有1个零点，即存在一点ξ，使0)()4(=ξG 。
由于K t f t G !4)()()
4()4(-=，从而求得!
4)()4(ξf K =，所以
)())((!
4)
()()()(2210)4(33x x x x x x f x H x f x R ---=
-=ξ 20 对于给定插值条件，试分别求出满足下列边界条件的三次样条函数)(x S ： （1）2)3(.1)0(='='S S （2）2)3(.1)0(=''=''S S
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
计算方法练习题与答案
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()
4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写 为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限 为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差 为； 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿 迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明： （1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2） 取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数） 则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x
数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
(完整word版)计算方法习题集及答案.doc
习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
现代设计方法复习题集含答案
《现代设计方法》课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《现代设计方法》（编号为09021）共有单选题,计算题,简答题, 填空题等多种试题类型，其中，本习题集中有[ 填空题,单选题]等试题类型未进入。 一、计算题 1. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 342)(m in 2+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取1.0=ε。 2. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次） 32)(m in 2+=x x f ，给定[][],1,2a b =-，取1.0=ε 3. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次） 432+=x )x (f min ，给定[][]40,b ,a =，取10.=ε。 4. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 12)(m in 3+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取5.0=ε 5. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 107)(m in 2+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取1.0=ε 6. 用梯度法求解无约束优化问题： 168)(m in 22221+-+=x x x X f ，取初始点[]T X 1,1)0(= ，计算精度1.0=ε。 7. 用梯度法求解96)(m in 12221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(= ，1.0=ε。 8. 用梯度法求解44)(m in 22221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(=，1.0=ε 。 9. 用梯度法求解无约束优化问题：1364)(m in 222 121+-+-=x x x x X f ，取初始点
计算方法模拟试题及答案
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。