全国高中数学教师优秀教案-《三角函数模型的简单应用》(天津陈刚)
《三角函数模型的简单应用》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修4第一章1.6节）
授课教师：陈刚天津市经济技术开发区国际学校指导教师：傅剑天津市实验中学
沈婕天津市中小学教育教学研究室
赵杨天津市经济技术开发区国际学校
2010年10月
三角函数模型的简单应用
授课教师：天津经济技术开发区国际学校陈刚
一、内容和内容解析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简单应用”的第二课时．
“三角函数模型的简单应用”一节教材共设置了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用．教学共分两个课时：第一课时介绍前3个例题，分别是用已知的三角函数模型解决问题；将复杂的函数模型转化为sin
等基本初等函数模型；根据问题情
y x
境建立精确的三角函数模型解决问题．通过第一课时的学习，学生已经初步掌握了由函数图象建立解析式的方法，这为第二课时的学习做好了知识上的铺垫．第二课时介绍第4个例题，即给出潮起潮落的变化数据，通过作散点图，选择函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题．这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子，可以让学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程．教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系．以使学生体会三角函数的价值和作用，增强应用意识，同时还使学生加深对有关知识的理解．通过例4的教学，可以使学生经历用三角函数模型刻画周期现象的全过程，掌握从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期变化规律的重要模型．
三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想．首先，是函数建模思想．本节内容需要对给出的数据细心观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题.这体现了数学建模的思想．其次，是数形结合思想．在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图象的分析，采用数形结合的思想，使问题得以解决．三角函数模型其本身就是“数”与“形”的统一体．就本节所涉及的实际问题，根据所提供的数据很难一目了然地观察到其变化的规律，而画出它的散点图，可直观地反映出数据的周期性变化规律，这样将“数”与“形”结合，使得模型“形”的建立水到渠成．虽然“数形结合”的思想在之前学习分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型时，学生已经接触过，但结合本课内容，
高中数学试卷分析
高中数学试卷分析 高中数学试卷分析范文 **年普通高考山东数学卷，继承了以往山东试卷的特点。试题在具有了连续性和稳定性的基础上，更具有了山东特色，适合山东中 学教学实际，对山东省平稳推进素质教育起到很好的导向作用。不 仅如此，试卷还体现新课程改革中对情感、态度、价值观和探究能 力考查的理念，丰富了数学试卷的内涵品质，在有利于高校选拔人 才的同时，具备了一定的评价功能，同时还有利于课程改革的纵深 推进。 试卷形式保持稳定，主要体现在大纲理念、试卷结构、题目数量以及题型等方面与20**年基本相同，保证了试题年度间的连续稳定。另外在全国20**年全面推进新课程标准的大背景下，作为首批进入 课程改革的实验省，20**年的试卷在保持“稳定”的基调下，进一 步加深对课程改革的渗透，既体现了知识运用的灵活性和创造性， 又兼顾了试题的连续和谐与稳定发展。 一、遵循考试说明，注重基础 试卷紧扣我省的考试说明，体现了新课程理念，贴近教学实际，从考生熟悉的基础知识入手，无论是必修内容，还是选修内容，许 多试题都属于常规题。部分题目“源于教材，高于教材”，做足教 材文章。如文、理科的选择、填空以及解答题的入手题（17）和（18）题，均侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查， 这对正确地引导中学数学教学都起到良好的促进作用。 二、考查全面，注重知识交汇点 20**年山东省高考数学文理两科试卷全面考查了《20**年普通高等学校招生全国统一考试山东卷考试说明》中要求的内容，具有较 为合理的覆盖面。集合、复数、常用逻辑、线性规划、向量、算法
与框图、排列组合等内容在选择、填空题中得到了有效的考查；三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数、数列等主干知识在解答题中得到考查，构成试卷的主体内容。同时，文、理科试卷都注重了考查知识间的内在联系，在知识点的交汇处设计试题，如理科第（20）题，将概率知识和实际背景相结合；如文科第（21）题和理科第（22）题将函数、导数、方程和不等式的知识融为一体。 但是，在本套试卷中还有我们经常关注的`知识本次没有涉及，是否会说明一些问题，三视图在经历了新课标必考的阶段之后，今年没有涉及，另外抽样方法、频率分布直方图、二项式定理我们复习时认为重要的点也没有涉及，特别是二项式定理已经连续两年没有涉及，这也值得我们注意。 三、注重能力立意，体现文理差异 四、重视创新意识，凸显新课程理念 20**年高考山东数学文理两科试卷，非常重视对考生的创新意识的考查，注重对未来继续学习的能力考查，如文科第（6）题、理科第（12）题以及文科第（22）题、理科第（21）题等采用了开放性的设问方式和对新定义的阅读和理解以及应用。试卷还凸显了新课标的理念，对新课程中新增知识和传统内容进行了有机结合，考查也更加科学和深化。如算法与框图、向量、均数和方差、概率和分布列，理科的绝对值不等式等都充分体现了我省支持课程改革的命题取向。两份试卷强调对思想方法的考查，尤其是对图形、图表语言的运用，数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法都作了重点的考查。 总之，20**年山东省高考数学文、理两份试卷，均具有较高的信度、效度和有效的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。 （一）高考数学试题共三个大题，22个小题。分值150，时间120分钟。
历年全国高中数学联赛试题及答案
历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个
高一数学期中试卷分析
高一数学期中试卷分析 王文兰 一、试卷分析 1．试题范围： 试题内容覆盖了必修三第一、二、三章的全部内容，和必修四的1.1至1.4的内容。做到试题内容、内容比例、题型比例符合标准的要求；不出超纲题、偏题、怪题。以确保内容有效度。 2．试题的难易程度符合1：2：7的比例，并具有一定的区分度。能将优秀的学生区分出来。具体说，试题的平均分控制在75～85分之间。 3．题量和试卷分量适当。试题量控制在22题(选择题12道，填空题4道，解答题6道)。试题份量以优秀水平的考生能在规定的时间里从容地完成试题作答为宜。试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，使学生尽可能发挥水平。 二、学生答卷分析 从学生答卷分析主要存在以下问题： 1、基础知识掌握不够牢固，基本概念不是很清晰。 2、学生做题时粗心大意，马虎大意。审题不严，对错看不清。不按要求答题，轻易落笔。 3、答题语言的规范性、完整性和准确性欠佳. 4、平时练习不够。 三、后半学期的具体措施 针对考试中反映出的这些问题，在今后的教学工作中应该有目的、有针对性地去解决： 1、重视基础知识的掌握和基本能力的培养 夯实基础，强化所学重点知识的识记。抓差生，端正态度，提高兴趣，加强督查。一方面，着力于课堂教学的实效性，力争把问题解决在课堂教学中；另一方面，加强督促，使学生更主动的去识记。 2、重视随堂的练习，夯实基础
在课堂中、以及课后，通过多种形式进行练习，及时巩固所学知识，同时注重练习的灵活性、针对性和典型性。 3、注重章节测试 每章结束后，组织学生进行测试，及时发现问题、解决问题。 4、加强对学生的学法进行指导，提高学习效率 5、精选习题，规范答题 6、端正学生学习数学的态度
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
(完整版)高二数学试卷分析
高二第二学期末数学试卷分析 一．试题考查的内容和学生失误的分析： 第1题：属概率问题，考查互斥事件的概念及性质，学生容易错选答案C。 第2题：考查复数的除法和乘方运算，先去括号较为简单。 第3题：考查异面直线所成角的计算和异面直线所成角的取值范围。第4题：考查对二项式系数和与各项系数和的正确理解,以及数列极限的计算。 第5题：考查球的表面积和截面的性质，属基本题型。 第6题：考查函数左极限、右极限、极限的概念,属基本题型，学生答题的正确率较高。 第7题：考查球面上两点之间的距离的概念及计算，重在考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。学生的得分率是16道小题中最低的，说明学生的思维能力没有达到应有的要求。 第8题：考查分类计数原理和排列组合的基本公式。 第9题：考查点到平面的距离的概念及计算，同时也考查等积法求高。第10题：考查导数的计算、导数的几何意义、曲线的切线方程、平行线间的距离、点到直线的最小距离以及转化的数学思想，属综合题型，考查学生的综合能力。 第11题：考查间接法求独立重复试验的概率和学生的逆向思考能力。学生答题的正确率较高。
第12题：考查的知识点属高二第一学期的内容，重在考查学生的空间想象能力和推理能力。 第13题：考查排列和等可能事件概率，难度不大。 第14题：考查导数的乘法运算和函数在某一点的导数的概念。。 第15题：考查二项展开式中某一项的系数、二项展开式的通项。学生的得分率一般，反映了学生对有关公式掌握不牢，运算有问题。第16题：考查直线与平面所成角的求法，着重考查学生的空间想象能力。得分率偏低，说明学生的空间想象能力还有缺陷。 第17题：考查导数的运算、函数的极值的求法、曲线的切线方程的求法，虽属综合题目，但难度不大，学生得分率较高。 第18题：考查线面垂直的证法和二面角的求法，着重考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 第19题：考查服从二项分布的随机变量的概率、分布列以及期望，属基础题型，学生得分率较高。 第20题：考查面面平行的证法和线面所成角的求法，着重考查学生的空间想象能力和推理能力。学生失分的主要原因有：①推理能力较差；②空间想象能力不够；③不能正确地将问题进行转化。 第21题：考查数学归纳法在不等式证明中的运用，本题中确定好n0的值很关键。 第22题：考查函数的单调区间的求法及利用不等式求参数的取值范围。学生失分的主要原因有：①不能从本质上领会有关概念的定义； ②运算能力薄弱；③不等式的常规解法不熟练，没有基本思路。
概率统计-历届全国高中数学联赛真题专题分类汇编
概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公
比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =.
2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷分析报告(加精)
20XX~20XX 学年度第一学期期末考试高三数学试卷分析 溧阳市教研室 XXX 高三数学试卷由常州市教研室负责命制，内容涉及必修和选修．本次考试的主要目的是为了检测一轮复习的状况，检查学生对基础知识、基本技能、基本能力和重要的数学思想方法的掌握情况，训练必要的应试技能，并为二轮复习奠定基础、明确方向和确立重点．试卷 选题注重考查学生对基础知识的理解和把握情况，重视常规数学思想方法的考查，同时，也有一定的难度和较好的区分度。 一、抽样数据 阅卷结束以后，抽样统计了645份试卷，数据如下： 2、 二、数据分析 从抽样的645份试卷情况看，卷面反映的情况与考前预期基本相吻合。 （1）学生对基本数学知识、技能和能力的掌握上有了较好的表现，“一轮”复习“梳理知识、建构网络、训练技能、兼顾能力”的目标基本实现。这可从填空题的抽样平均分，尤其是前9道的得分情况，以及解答题的第15、16、17题的得分情况得到应证。 （2）学生对数学知识和技能应用的熟练程度，运算的合理、迅速和准确的程度，以及对重要的数学思想方法的把握与应用等方面还有待进一步训练与加强。如第5题的基本事件的枚举，第13题的恒成立问题的处理方法，第17题的探究性问题思考与表述方式问题，第19、20题中的导数方法和分类讨论思想，第23题的数学归纳法的基本原理与步骤等在许多基础比较好的学生卷面上都存在着不应差错，值得关注和深思！ （3）学生的读题、审题的习惯和能力，应试的心理素质和能力等都需引起我们足够的重视。从卷面抽样情况看，部分成绩较好的学生出现的问题让人匪夷所思。如第3题求双曲 线22 21(0)9x y b b -=>中的b 的值为27，是2b 的值；第7题求
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
高中数学试卷分析
互助县2013届高三“一诊”数学试卷分析 一、试卷分析 作为第一次高三统一检测试题，本试卷整体结构及难度分布合理，贴近全国卷试题，着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想，对重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法。试题力求创新。理科和文科试题中有不少新题。这些题目，虽然素材大都源于教材，但并不是对教材的原题照搬，而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现，使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。 二、答卷分析 通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有一下几点： 1、客观题本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查，送分题几乎没有，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考察，对于我们这类学生答题比较吃力，客观题得分较低，导致总分低。 2. 基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练． 基础知识不扎实，以文、理科的第17题为例．第17题是一道解三角形的问题，第（Ⅰ）问的关键在于由利用正弦定理把边转化成角，然后利用两脚喝茶共识直接得出结论。但是在考生的答卷中暴露出的问题，一是想不到利用正余弦定理，二是两角和差公式记错；第（Ⅱ）问主要考查两角和的余弦定理，正弦定理及三角形周长列方程组，解方程。考生在试卷中暴露的问题是：公式记错、特殊值记错导致出错及计算错误。这些问题究其实质是由于高中数学中的概念、公式、法则等基础知识掌握的不扎实导致出现的结果。 3. 审题不到位，运算能力差，书写不规范. 审题不到位在的第18题表现的较为明显。这是一道概率题，由于审题不到位致使将概率模型搞错、在（Ⅰ）问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错，还有不会应用数学语言，表达五花八门。在考生的试卷中，因审题不到位、运算能力差等原因导致的书写不规范问题到处可见． 4. 综合能力不够，运用能力欠佳． 第21题为例，这道题是导数问题（Ⅰ）求单调区间，（Ⅱ）求恒成立问题（Ⅲ）最值问题"由于学生综合运用能力较弱，致使考生不知如何分类讨论，或考虑问题不全面，导致解题思路受阻。绝大部分学生几乎白卷。 5. 心态不好，应变能力较弱． 考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到． 二、针对上面问题措施如下 1．立足基础，注重能力培养． "基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验"是新课程高考的考查重点，所以，后期的复课中，要重视"基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验"训练，打好基础．"基础知识"一定要在"准确"上下功夫， "基本方法"、"基本技能" 、"基本的数学活动经验"要在"熟练"上下功夫．对大多数学生而言还是要坚持"低起点，严要求"的原则．训练时要舍得在基础题上花时间．对于基础题，要求学生勤动笔，完整的表达出来，不要眼会心不会、心会手不会．平时训练中，淡化解题技巧．要学生掌握通性、通法，一定要加强基本数学思想方法的渗透与应用．注重思维能力和运算能力的训练，整体提高学生的数学能力． 2．全面提高学生的数学素养和分析解决问题的能力． 作为教师，首先要提高自身的教育教学的观念，素养和能力，要配合新课改，采取适
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 高一数学期中试卷分析集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 高一数学期中试卷分析 王文兰 一、试卷分析 1．试题范围： 试题内容覆盖了必修三第一、二、三章的全部内容，和必修四的1.1至1.4的内容。做到试题内容、内容比例、题型比例符合标准的要求；不出超纲题、偏题、怪题。以确保内容有效度。 2．试题的难易程度符合1：2：7的比例，并具有一定的区分度。能将优秀的学生区分出来。具体说，试题的平均分控制在75～85分之间。 3．题量和试卷分量适当。试题量控制在22题(选择题12道，填空题4道，解答题6道)。试题份量以优秀水平的考生能在规定的时间里从容地完成试题作答为宜。试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，使学生尽可能发挥水平。 二、学生答卷分析 从学生答卷分析主要存在以下问题： 1、基础知识掌握不够牢固，基本概念不是很清晰。 2、学生做题时粗心大意，马虎大意。审题不严，对错看不清。不按要求答题，轻易落笔。 3、答题语言的规范性、完整性和准确性欠佳. 4、平时练习不够。 三、后半学期的具体措施 针对考试中反映出的这些问题，在今后的教学工作中应该有目的、有针对性地去解决： 1、重视基础知识的掌握和基本能力的培养 夯实基础，强化所学重点知识的识记。抓差生，端正态度，提高兴趣，加强督查。一方面，着力于课堂教学的实效性，力争把问题解决在课堂教学中；另一方面，加强督促，使学生更主动的去识记。 2、重视随堂的练习，夯实基础 在课堂中、以及课后，通过多种形式进行练习，及时巩固所学知识，同时注重练习的灵活性、针对性和典型性。 3、注重章节测试 每章结束后，组织学生进行测试，及时发现问题、解决问题。 4、加强对学生的学法进行指导，提高学习效率 5、精选习题，规范答题 6、端正学生学习数学的态度 高一数学试卷分析及教学建议 一、命题介绍及试题分析 （一）命题的依据与方法 根据市教育局和市教育研究中心的统一安排，上学期末对全市高一年级进行教学质量监测，并且全市统一网络评卷。试题由市命题组成员针对高一年级的教学实际经过多次研究与审核命制完成。全卷分为三个大题，共25个小题，满分为150分。其中选择题有12个小题，每小题5分共60分，填空题有8个小题，每小题5分共40分，解答题有5个小题，每个小题10分共50分。本次命题为高一第2学期阶段性的学业监测，考查的内容只有必修3与必修4，所以命题的形式与高考有明显区别。考虑到学生的实际水平，试题的易、中、难比例预设为各占60%、30%和10%。预计全市均分达到103.9分。目的就是让大多数同学有成功的经历，让试题更能够直接反映学生真实水平，让老师能够更深入地思考问题。 （二）对部分试题的再研究 本次监测全市的平均分为73.8分，这与我们预计的全市平均分103.9少了30.1分，问题出在哪了呢？ 1、从各小题的得分率找到难点在哪？ 从上面的得分率可以看到，得分率较低的有17题、18题、19题、20题，22题、23题、24题的第三问、25题。 2、下面我们看一看这些题目难在哪里？我们应该怎样突破这些难点？ 【17题】质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6 ,每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，则每次抛掷时点数被4除余2的概率是。 本题的难点在于先要转化为正弦型函数，而后函数是偶函数这个条件如何使用。而突破这个难点的方法是对辅助角公式掌握的熟练程度.偶函数这个条件解答时是使用偶函数的定义完成的，其实也可以用“把0 x 代入使正弦获得最值”的方法完成。第（2）问的难点不在于平移或是伸缩而在于单调区间的获得。对于一个正弦型函数的单调区间问题首先是一个复合函数单调性的问题，其次是一个周期函数的单调性问题，是学生遇到的较难的问题。解决这个难点的方法一般为“转正，写出正弦函数的单调区间，解不等式之后正确表达即可。 3、从命题的角度给出如下建议： （1）17题考查古典概率模型，题目设置一个“被4除余2”，这是一个小学问题，而这个问题确实难住了好多考生（很多学生答案为29 ）。我们知道，在讲算法案例的时候，学生已经遇到了这个问题，在后面必修5学习数列的时候也遇到了这个问题，总是有一部分学生会忽视被4除余2的正整数中2也是其中的一个。感觉这里给学生设置这样一个障碍，并没有起到对古典概率模型学生掌握情况的真实考查。 （2）18题题目虽然不错，知识点也都很重要，但难度过高，并且这种方法在第8题中也有考查。所以这个题目降低一下难度可能会更好。 （3）19题对学生的身高进行一个“一加一减，然后求平均数”的统计，不知该统计有什么价值？学生对结果的表示方法难住了，没有达到对程序框图或其它重要知识的考查目的。 本题目出题者是想对频率分布直方图相关的知识进行考查，设置了一个部分频率分布直方图，立意很好。但我有一个不成熟的问题需要提出：频率分布直方图分组时需要等距，请问剩下 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 高一数学2016--2017学年期中考试试卷分析 刘燕 一、总体评价： 这套试卷主要考查基础，考查数学能力，以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求，把水平测试和能力测试融为一体，命题科学，区分度强，达到了考查目的，是一份较好的试题。本次考试高一理（2)班最高分141，最低分23分，平均分79.818；高一文（2）最高分114，最低分27分，平均值51.3分 二、试题分析： 1．试题结构 此试卷继续保持试卷结构和题量不变，题型：选择题、填空题、解答题，总题量22小题，总分150分，选择题有12道，共60分；填空题4道，共20分，解答题6道，共70分，试卷中各部分知识占分比例为《选修2》第一章10%，第二章20%，第三章30%，第三章40%。试题各部分难度适中，层次分明，区分度强，信度高，体现了试题测试功能。 2．试题特点 （1）考查全面，重点突出 试题考查了高中数学《必修二》四章全部内容，全面考查了学生“双基”，体现了数学教学的基本要求，对重点内容数列重点考查，符合考纲说明。 （2）突出了对数学思想方法的考查 数学思想方法决定着数学基批知识教学的水平，培养数学能力， 优化思维素养和数学基本技能的培养、能力的发展有十分重要的意义。也是考纲考查的重点。本试题考查了数形结合思想、化归转化思想、建模思想等数学思想与方法。 (3）注重双基，突出能力考查 试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度，同时还有提升，对理解和应用能力、运算能力、数据分析能力及对解决综合问题的能力进行了考查。 （4）重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧 试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路。 3．答卷中存在的问题 （1）基本概念不强，灵活应用能力差 从学生答卷情况来看，部分考生对教材基本概念，基本性质等基础知识掌握理解不够，知识记忆模糊，灵活运用较差。文科班的体现的特别明显，尤其是如甄文硕、周瑞、司江涛等基础差的学生。 （2）分析问题，解决问题能力较差 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 青海湟川中学高一年级第二次月考数学试卷分析 一、试卷分析 本试卷整体结构及难度分布合理，着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想，对重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题 的一些通性通法。试题力求创新。有一些新题，这些题目，虽然素材大都源于教材，但并不 是对教材的原题照搬，而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现，使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。 二、答卷分析 通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有一下几点： 1、客观题本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和 解决问题能力的考查，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考察，客观题得分较低，导致总分低。 2. 基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练． 基础知识不扎实，以选择题第4题为例．第4题是一道考察诱导公式的问题，利用三角形内角和是，再一个诱导公式。但是出错率还是较高。再以17题为例，17题是一道考察集合的子集的基础题，但考生在试卷中暴露的问题是：对子集概念，尤其是对空集这个特殊的集合的理解和应用很不到位，忘记考虑空集这一集合，导致出错率很高。 3. 审题不到位，运算能力差，书写不规范，计算能力欠佳 审题不到位在的第21题表现的较为明显。这是一道函数模型应用，由于审题不到位致 使函数模型搞错、在（Ⅰ）问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错，还有不会应用数学语言，表达五花八门。在考生的试卷中，因审题不到位、运算能力差等原因导致 的书写不规范问题很多。而且由于计算量较大，很多学生答不完题，导致心慌意乱，失去信 心。 4. 心态不好，应变能力较弱． 考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到． 三、解决问题的措施 1．立足基础，注重能力培养． "基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验"是新课程高考的考查重点，所以，后期的复课中，要重视"基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验"训练，打好基础．"基础知识"一定要在"准确"上下功夫， "基本方法"、"基本技能" 、"基本的数学活动经验"要在"熟练"上下功夫．对大多数学生而言还是要坚持"低起点，严要求"的原则．训练时要舍得在基础题上花时间．对于基础题，要求学生勤动笔，完整的表达出来，不要眼会心不会、心会手不会．平时训练中，淡化解题 技巧．要学生掌握通性、通法，一定要加强基本数学思想方法的渗透与应用．注重思维能力 和运算能力的训练，整体提高学生的数学能力． 2．全面提高学生的数学素养和分析解决问题的能力． 作为教师，首先要提高自身的教育教学的观念，素养和能力，要配合新课改，采取适 合自己学生实际的教学方法．充分调动学生的主动性和创造性．再就是平时教学中以课本和 考纲、考试说明为本，以新课程高考题为资料，弄清高考要考什么，要教给学生什么．以及 怎样才能教好的问题．教学中帮助学生掌握基本的数学思想方法．自己教学中要有反思，同 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,高一数学期中试卷分析
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