2011高考数学专题复习：第5单元《不等式》

2011年高考专题复习——不等式

1.【2010·上海文数】满足线性约束条件23,23,

0,0

x y x y x y +≤??

+≤??≥??≥?的目标

函数z x y =+的最大值是（ ） A.1 B.

32

C.2

D.3

【答案】C

【解析】当直线z x y =+过点B(1,1)时，z 最大值为2

2.【2010·浙江理数】若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x m y +-≥??

--≤??-+≥?

且x y +的最大值为9，则

实数m =( )

A.2-

B.1-

C.1

D.2

【答案】C

【解析】将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。

3.【2010·全国卷2理数】不等式

2

601

x x x ---＞的解集为（ ）

A.{}2,3x x x -＜或＞

B.{}213x x x -＜，或＜＜

C.{}213x x x -＜＜，或＞

D.{}2113x x x -＜＜，或＜＜ 【答案】C

【解析】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法

.

利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C.

4.【2010·全国卷2文数】若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??

≥??+≤?

则z=2x+y 的最大值为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】本题考查了线性规划的知识.

∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴

即为（1，1），当1,1x y ==时max 3

z =.

5.【2010·全国卷2文数】不等式

32

x x -+＜0的解集为（ ）

A.{}23x x -<<

B.{}2x x <-

C.{}23x x x <->或

D.{}3x x > 【答案】A

【解析】本题考查了不等式的解法.

∵ 3

2x x -<+，∴ 23x -<<，故选A.

6.【2010·江西理数】不等式

2

2x x x

x

-->的解集是（ ）

A.(02)，

B.(0)-∞，

C.(2)+∞，

D.(0)∞?+∞（-，0）， 【答案】A

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.20x x

-<，解得A.

或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除.

7.【2010·安徽文数】设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥??

+-≤??≥?

则目标函数z=x+y 的最大值是（ ）

A.3

B.4

C.6

D.8 【答案】C

【解析】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y =+在(6,0)取最大值6.

8.【2010·重庆文数】设变量,x y 满足约束条件

0,0,

220,x x y x y ≥??

-≥??--≤?

则32z x y =-的最大值为（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】C

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线32z x y =-过点B 时，在y 轴上截距最小，z 最

大.由B （2,2）知，z 的最大值为4.

9.

【答案】A

【解析】将最大值转化为y 轴上的截距，可知答案选A.本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题.

10.【2010·重庆理数】已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是（ ） A.3 B.4 C.2

9 D.

112

【答案】B

【解析】考察均值不等式.

2

228)2(82??

? ??+-≥?-=+y x y x y x ，整理得()()0322422

≥-+++y x y x

即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 11.【2010·重庆理数】设变量x ，y 满足约束条件

1030y x y x y ≥??

-+≥??+-≤?

，则z=2x+y 的最大值为（ ） A.—2 B.4 C.6 D.8 【答案】C

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线过点B （3,0）的时候，z 取得最大值6.

12.【2010·北京理数】设不等式组110330530x y x y x y 9+-≥??-+≥??-+≤?

表示的平面区域为D ，若指数函数y=x

a 的

图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（ ）

A.(1,3]

B.[2,3]

C.(1,2]

D.[ 3, +∞] 【答案】A

13.【2010·四川理数】设0a b c >>>，则2

2

1121025()

a ac c ab

a a

b ++

-+-的最

小值是（ ）

70

A.2

B.4

C.【答案】B 【解析】22

1121025()

a ac c ab

a a

b +

+

-+-

＝2211(5)()

a c a a

b ab ab

a a

b -+-++

+

-

＝211(5)()()

a c a

b a a b ab

a a

b -++

+-+-

≥0＋2＋2＝4

当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立， 如取a

b

＝

2

,c

＝

5

满足条件.

14.【2010·四川理数】某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ） A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

【答案】B

【解析】设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，

则70106480,x y x y x y N +≤??

+≤??∈?

目标函数z ＝280x ＋300y ，

结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时，z 最大. 本题也可以将答案逐项代入检验.

15.【2010·天津文数】设变量x ，y 满足约束条件3,1,

1,x y x y y +≤??

-≥-??≥?

则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ） A.12 B.10 C.8 D.2 【答案】B

【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时,z 取得最大值10.

x +20

y -=16.【2010·全国卷1文数】设，，，2

13

5

2ln 2log

-

===c b a 则（ ）

A.a b c <<

B.b c a <<

C.c a b <<

D.c b a <<

【答案】C

【解析】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比

较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 解法一： a=3log 2=

2

1log 3

, b=ln2=

21log e

,而22log 3log 1e >>,所以a

c=12

5

-

,222log 4log 3>=>,所以c

解法二：a =3log 2=

32

1log ,b =ln2=

2

1log

e , 3

221log log 2e <<< ，

32

2

11112

log

log

e <

<

<；

c =12

15

2

5

4

-

=

<

=，∴c

17.【2010·全国卷1文数】若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值

为（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1 【答案】B

【解析】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.画出可行域（如下图），

1122

2

z x y y x z =-?=

-

，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为

max 12(1)3z =-?-=.

18.【2010·四川文数】设0a ＞b ＞，则()

2

11a ab

a a

b +

+

-的最小值是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4 【答案】D 【解析】()

2

11a ab

a a

b +

+

-＝211()

a a

b ab ab

a a

b -++

+

-

＝11()()

ab a a b ab

a a

b +

+-+

-≥2＋2＝4

当且仅当ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立.如取a

b

2

满足条件.

19.【2010·山东理数】

20.【2010·福建理数】设不等式组x 1x-2y+30y x ≥??

≥??≥?

所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1

Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||A B 的最小值等于( ) A.

285

B.4

C.

125

D.2

【答案】B

【解析】由题意知，所求的||A B 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||A B 的最小值为

|31419|

245

?-?-?

=，所以选B.

21.【2010·曲靖一中冲刺卷数学（二）】若31

log 0,()13

b

a <>，则（ ）

A.1,0a b >>

B.01,0a b <<>

C.1,0a b ><

D.01,0a b <<<

【答案】D

【解析】依题意，根据指数函数与对数函数的图像和单调性知0”是“1x >”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】ln 1x >x e ?>，所以“ln 1x >”是“1x >”的充分不必要条件，选择A.

23.【2010·北京石景山区一模】已知函数x x f x

2

log

31)(-??

?

??=，正实数,,a b c 是公差为正

数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c <．若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c <；④d c >中有可能成立的个数为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4 【答案】C

【解析】()f x 在(0,)+∞上单调减，值域为R ．又a b c <<，()()()0f a f b f c <，所以⑴若(),()0f a f b >,()0f c <．由()0f d =知，a b d c <<<，③成立；⑵若(),(),()0f a f b f c <．此时d a b c <<<，①②③成立．综上，可能成立的个数为3．

24.【2010·黄冈中学5月第一模拟考试】,,a b c 为互不相等的正数，2

2

2a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．b c a >> 【答案】B

【解析】若a b >，则2

2

2

2

2a c b c b c +>+≥

，不符合条件，排除,A D ；又由

()2

2

2a c c b c -=-，故a c -与b c -同号，排除B ；且当b a c >>时，2

2

2a c bc +=有可

能成立，例如取()(),,3,5,1a b c =，故选C ． 25.【2010·河北隆尧一中二月考】函数(3)

log 1a

x y

+=-(0,1)a

a >≠的图象恒过定点A ，若点

A 在直线10m x ny ++=上，其中0mn >，则

1

2m

n

+的最小值为（ ）

A.6

B. 8

C.10

D.12 【答案】B

【解析】(2,1)A -- ，点A 在直线10m x ny ++=上，210m n ∴--+=， 即21m n +=，0mn >， 0,0m n ∴>>，

12242m n m n

m

n

m

n

+++=+422n m m

n

=+++428≥+=，

当且仅当11,4

2

m n =

=

时取等号.

26.【2010·兰州五月模拟】直线012

=++y a x 与直线03)1(2

=+-+by x a 互相垂直，a 、

0b R ab ∈≠且，则|ab |的最小值是（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】C 【解析】由题意

2

2

2

2

1111a a b a

b

a

++?

=-?=

，则2

2

11||2a ab a a a

a

+=?

=+

≥．

27.【2010·河北隆尧一中四月模拟】函数1

3

x y a +=-(0,1)a a >≠的图象恒过定点A ，若点

A 在直线10m x ny ++=上，其中0mn >，则

2

1m

n

+的最小值为（ ）

A.6

B.8

C.10

D.12 【答案】B

【解析】 定点A 坐标为 (1,2)--， 由 点A 在直线10m x ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=，0mn >，0,0m n ∴>>，

21242m n m n m

n

m

n

+++=

+

422n m m

n

=+

+

+

428≥+=，当且仅当11,4

2

n m =

=时取等号.

28.【2010·临沂市一模】若直线),0(,(022+∞∈=-+b a by ax 平分圆

2

2

4260x y x y +---=，则

12a

b

+

的最小值是（ ）

A. B.3+

C.2

D.5

【答案】B

【解析】依题意，直线ax+2by-2=0(a,b ∈(0,+ ∞)) 平分圆224260x y x y +---=，所以

a+b=1，1

2

a b +=1+2+b a + 2a b ≥3+2 2 ,当且仅当1

12

a b a b

+=??

?=

??时，等号成立,选择B.

29.【2010郑州市三模】不等式

04

12

>--x x 的解集是（ ）

A.2，＋∞） B ．（－2，1）∪（2，＋∞）

C.(－2，1） D ．（－∞，－2）∪（1，＋∞） 【答案】Ｂ

【解析】依题意，原不等式化为（x+2）(x-1)(x-2)>0，解得-22，选择B. 30.【2010·河北隆尧一中五月模拟】不等式2)3(log 2

1-≥-x 的解集为 （ ）

A.}1|{-≥x x

B.}1|{-≤x x

C.{|13}x x -≤<

D.}10|{≤

【答案】C

【解析】2)3(log 2

1-≥-x 2

1032x -??

?<-≤ ?

??3113x x ?-<-≤?-≤<，选C.

31.【2010·襄樊五中5月调研】函数)1(log 2

2-=x y 的定义域是（ ）

A.)1(∞+，

B. )1(--∞，

C. )11(，-

D. )1()1(∞+?--∞，， 【答案】D

【解析】依题意，x 2

-1>0，解得x<-1或x>1，选择D.

32.【2010·绵阳南山中学热身考试】已知集合{}{}2

1

|230,|2

1x A x x x B x -=+-<=<，

则A B =（ ）

A ．（-3,1）

B ．(,3)-∞-

C ．1

(,1)2 D ．(1,)+∞

【答案】A

【解析】依题意，A={x|-3

)(2

>=x x x f 的反函数为)(x g ，且有

8)()(=b g a g ，若0>a ,0>b ，则

b

a

41+

的最小值为（ ）

A.9

B.6

C.3

D.2 【答案】C

【解析】依题意，a+b=3，

b

a 41+=114141(

)()(14)(144)333

3

b a a b a

b

a

b

+

+=

++

+

≥

++=，

选择C.

34.【2010·河北隆尧一中二月考】

已知01()10x f x x <≤=-≤

01||0<<成立的m 和n 还应满足的条件为（ ）

A.m>n

B.m

C.m+n>0

D.m+n<0

【答案】D

【解析】不妨设m>0, n<0,则

()()f m f n +=-

=

由0,n m -<()()0f m f n +>，故m+n<0.

35.【2010·淄博市二模】不等式a a x x 3132

-≥-++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A.(,1][4,)-∞-+∞

B.[]4,1-

C.[1,2]

D.(,1][2,)-∞+∞

【答案】B

【解析】依题意，|x+3|+|x-1|的最小值为4，所以a 2

-3a ≤4，解得-1≤a ≤4，选择B. 36.【2010·浙江省五校二联】若关于x 的不等式2

3344

a x x

b ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，

则a b +的值为（ ） A.5 B.4 C.83

D.

163

【答案】A 【解析】令()2

3344

f x x x =

-+。若2a ≥，则,a b 是方程()f

x x =

的两个实根，解得

4,43

a b =

=，矛盾，易错选D ；若2b ≤，则()(),f a b f b a ==，相减得83

a b +=

，代入

可得43

a b ==

，矛盾，易错选C ；若2a b <<，因为()min 1f x =，所以1,4a b ==.

37.【2010·河北隆尧一中五月模拟】设集合{}||3A x x =>，???

?

??<--=041

x x x

B ，

则B A ?= （ ）

A.φ

B.（3，4）

C.（2-，1）

D.（4，∞+） 【答案】B

【解析】{}{

}||3|3

3A x x x x x =>?><-或，{}10|144x B x x x x ?-?

=<=<

，

(3,4)A B ∴?=，选 B.

y

38.【2010·绵阳南山中学热身考试】已知P:|2x-5|≤1,q:(x+2)(x-3)≤0,则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】依题意,P:|2x-5|≤1,解得2≤x ≤3,q:(x+2)(x-3)≤0,解得-2≤x ≤3,所以p 是q 的

充分不必要条件.

39.【2010·皖中地区示范高中联谊联考】下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A.p :a d b c ->-，q ：a b >且d c >

B.p :()log ()a f x x b =+(0a >且1a ≠)的图像不过第四象限，q ：1a >，1b >

C.p :1x …，q ：20x x -…

D.p :1a >，q ：()x f x a =为增函数

【答案】 B

【解析】A 是不充分也不必要条件，C 是充分不必要条件，D 是充分必要条件. 40.【2010·济南三模】若01x y <<<，则下列不等式成立的是（ ）

A.1

1

()(2

2

x y

< B.113

3

x

y --<

C.11

2

222log log x y < D.33

112

2

log log x y <

【答案】C 【解析】取x=

14

，y=

12

代入验证知C 正确.

41.【2010·兰州五月模拟】已知变量x 、y 满足约束条件||3||,22

x y x z x y y ≤≤?=-?≤?则的最

小值为（ ）

A.-5

B.-6

C.1

D.2 【答案】B

【解析】||3||2x y x y ≤≤??≤?可化为032

x y

x y

x y ≥??

≥??

≤??≤?或032

x

y x y x y

部分，当直线2y x z =-经过（-2，2）时,z -取得最大值,则z 取得最小值,所以z 的最小值为-6.

42.【2010·广东省茂名市二模】在平面直角坐标系中，点(1,)a -在直线30x y +-=的右上

方，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，4） B ．（-1，4） C ．（-∞，4） D ．（4，+∞）

【答案】D

【解析】因为点(-1,a )在x +y -3=0的右上方，所以有-1+a -3>0，解得a >4，故选D.

43.【2010·北京东城一模】已知变量,x y 满足1

20x y x y ??

??-?

≥≤≤，则x y

+的最小值为（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5 【答案】A

【解析】不等式组所表示的平面区域如下图如示，当1,1x y ==

x y +有最小值2．

44.【2010·山东德州一模】若不等式组?

????x ≥0

x +3y ≥43x +y ≤4所表示的平面区域被直线y =kx +4分成面积

相等的两部分，则k 的值为( ) A.

73

B.37

C.173

-

D.317

-

【答案】C

【解析】易知直线y =kx +4过点B(0,4)，作出可行域，由图可知，当直线经过线段AC 的中点M 时，平分可行域△ABC 的面积，由

???x +3y =43x +y =4解得点C(1,1)，从而M(12，7

6)，于是k=k BM =173

-.选C.

45.【2010·北京

西城一模】已知平面区域

1(,)01y x x y y x ??

+????

Ω=???

???

???

≤≥≤,||1(,)0y x M x y y ??-+???

=??

?????

?

≤≥，向区域Ω

内随机投一点P ，点P 落在

区域M 内的概率为（ ） A ．

14

B ．13

C ．

12

D ．

23

【答案】C

【解析】如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知12

P =

．

46.【2010·巢湖市第一学期期末教学质量检测试题】已知实数

x y ，满足条件023x y x x y ≥??

≥??+≤?

，，

，则12

x y +-

+的取值范围是（ ）

A.?????

?-

-

513

2， B. ??????--235， C. ??????3251， D. ??

?

???523，

【答案】A

【解析】-x+1

y+2表示动点P(x,y)与定点M(-1,-2)连线斜率k 的倒数的相反数，设直线2x+y=3

与y 轴交点为A(0,3)，直线y=x 与2x+y=3的交点为B(1,1)，由图可知32≤k ≤5，所以15≤1

k ≤

23，从而－23≤－1k ≤－1

5

,选A. 47.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】已知函数f (x ) 的定义域为[1，+∞), 且f (2)=

f (4)=1，f'(x )为f (x )的导函数，函数y =f '(x )的图象如图所示，

则不等式组??

?

??≤+≥≥.1)2(;0;

0y x f y x 所表示的平面区域的面积是( )

A.3

B.4

C.5

D.4

15

【答案】A

【解析】由图可知，f (x )在[1，3）上是减函数，在[3，+∞)上是增函数，又f (2)= f (4)=1，f (2x ＋y )≤1，所以2≤2x ＋y ≤4，从而不

等式组为?????x ≥0y ≥02≤2x ＋y ≤4

，作出可行域如图所示，其面积为S=1

2×2×4

－1

2×1×2=3.故选A. 48.【2010·上海文数】不等式204

x x ->+的解集是 .

【答案】{}24|<<-x x 【解析】考查分式不等式的解法

204x x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4

49.【2010·陕西文数】设x ，y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤??

-≤??+≥?

则目

标函数y x z -=3的最大值为 . 【答案】5

【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线y x z -=3过点C （2,1）时，在y 轴上截距最小,此时z 取得最大值5.

50.【2010·辽宁文数】已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是 .（答案用区间表示） 【答案】（3，8）

【解析】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力.画出不等

式组1423x y x y -<+

表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y ，当直线经过x-y=2与x+y=4

的交点A （3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A （1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8.

51.【2010·安徽文数】若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 .（写出所有正确命题的编号）

①1ab ≤≤；③ 222a b +≥； ④33

3a b +≥；⑤

112a

b

+

≥

【答案】①③⑤

【解析】令1a b ==，排除②④；由22

1a b a b a b =+≥?≤,命题①正确；2

2

2

()2422a b a b ab ab +=+-=-≥,命题③正确；

1122a b a

b

ab

ab

++

=

=≥,命题⑤正确.

52.【2010·浙江文数】若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 .

【答案】18

53.【2010·山东文数】已知,x y R +∈，且满足13

4

x y +

=，则xy 的最大值为 .

【答案】3

54.【2010·北京文数】若点p （m ，3）到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式2x y +＜3表示的平面区域内，则m= . 【答案】-3

55.【2010·全国卷1文数】不等式

2

2032

x x x -++ 的解集是 .

【答案】{}21,2x x x -<<->或 【解析】本小题主要考查不等式及其解法.

2

2032

x x x -++ ()()

()()()2

0221021x x x x x x -?

>?

-++>++，

数轴标根得：{}21,2x x x -<<->或

56.【2010·全国卷11x ≤的解集是 . 【答案】{}20|≤≤x x

【解析】本小题主要考查无理不等式的解法.

由1122≤-+x x 得，x x +≤+≤

11212

，两边平方解得20≤≤x ，故不等式的解集是

{}20|≤≤x x .

57.【2010·山东理数】

58.【2010·安徽理数】

59.【2010·安徽理数】设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?，若目标函数y abx z +=

)0,0(>>b a 的最大值为8，则a b +的最小值为________.

【答案】4

【解析】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得4ab =，要想求a b +的最小值，显然要利用基本不等式.题设的不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是

1

(0,0),(0,2),(

,0),(1,4)2

，易见目标函数在

(1,4)取最大值8，所以844ab ab =+?=，所

以4a b +≥=，在2a b ==时是等号成立，所以a b +的最小值为4.

60.【2010·湖北理数】已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件,

1,2,y x x y x ≤??

+≥??≤?

，则z 的

最大值为___________.

【答案】5

【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z ， 当直线经过A （2，－1）时，z 取到最大值，m ax 5Z =. 61.【2010·湖北理数】设a>0,b>0,称

2ab a b

+为a ，b 的调和平均数。

如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半圆。过点C 作AB 的垂线交半圆于D 。连结OD ，AD ，BD 。过点C 作OD 的垂线，垂足为E 。则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a,b 的几何平均数，

线段 的长度是a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE

【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB

=?，故C D =， 即CD 长度为a,b 的几何平均数，将OC=, 2

2

2

a b a b a b a C D O D +-+-

==

=

代入

O D C E O C C D ?=?可得，ab b

a b a CE +-=，故2

2

2

()

2()

a b O E O C C E a b -=-=

+，所以

ED=OD-OE=

2ab a b

+，故DE 的长度为a,b 的调和平均数.

62.【2010·江苏卷】设实数x,y 满足3≤2

xy ≤8，4≤y

x

2

≤9，则

4

3y

x 的最大值是 .

【答案】27

【解析】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想.

[][]43

22

243222,27,21,31,811,18,16y x xy y x y x xy y x ∈???

?

? ??=??????∈∈???? ??的最大值是27.

63.【2010·崇文区二模】若

110a

b

<

<，则下列不等式中，①a b ab +<；②||||a b >；

③a b <；④2b a a

b

+>，正确的不等式有 ．（写出所有正确不等式的序号）

【答案】①④ 【解析】取a= 12

-

，b=-1代入验证知①，④正确.

64．【2010·茂名市二模】已知正实数,

x y 满足1xy =,则()()x y y x y

x

++的最小值为 .

【答案】4

【解析】依题意，2

2

()(

)1124x y y

x

y x y

x

x

y

++=+

+

+≥+=，当且仅当x=y=1时

取等号。

65.【2010·重庆市四月考】设1,1,,>>∈b a R y x ，若82,2=+==b a b a y x ，则y

x

11+

的

最大值为 ． 【答案】3

【解析】由2x

y

a b ==得log 2,log 2a b x y ==,1111log 2

log 2

a b x

y

∴

+

=

+

222log log log a b ab =+=,又1,1a b >>

,82a b ∴=+≥即8ab ≤,当且仅当2,a b =即2,4a b ==时取等号,所以

2211

log log 83ab x

y +

=≤=.故m ax

113x y ??

+= ?

??. 66.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】不等式43220x

x

-?+<的解集是 . 【答案】{01}x x <<

【解析】由243220(2)3220x x x x -?+

?<<. 所以01x <<，故不等式的解集是{01}x x <<.

67．【2010·黄岗中学八月月考】设01a a >≠且，函数2

lg(23)

()x x f x a -+=有最大值，则不

等式2log (57)0a x x -+>的解集为 ． 【答案】23（，）

【解析】设22lg(23)lg[(1)2],t x x x =-+=-+当x ∈R 时，m in lg 2t =.又函数y=f (x )有最大值，所以20 1.log (57)0a a x x <<-+>由得20571x x <-+<,解得2 3.x << 68.【2010·河北省衡水中学一模】设定点A(0，1)，动点P(x ,y )的坐标满足条件0,,

x y x ≥??≤?则|PA|

的最小值是___________. 【答案】

2

2

【解析】|PA|的最小值即为点A 到直线y=x 的距离，易求得d =

22

. 69．【2010?宁波高三四月模拟】已知点P(x,y)在由不等式组??

?

??≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，

O 为坐标原点，点A(-1,2)，则AOP OP ∠?cos ||的最大值是 ． 【答案】

55

3

【解析】由题可知→OA =(－1,2)，又|→OP |·cos∠AOP =|→

OP |·

→OA ·→OP |→OA |·|→OP |=

2y －x

5

，于是问题转化为求z=2y －x 的最大值，作出可行域如图所示，当直线经过点C(1，2)时，z=2y -x 取得最大值，z max =2×2－1=3，从而

|→

OP |·cos∠AOP 的最大值为

55

3.

70．【2010·黄冈中学第八次月考】已知点M(x ,y )满足约束条件?????x －y ＋5≥0，

x ＋y ≥0，x ≤3．

点A(2,4),O 为

坐标原点，则z ＝→OM

·→OA 的取值范围是 ． 【答案】[－6,38]

【解析】目标函数为z ＝→OM ·→OA =2x ＋4y ,作出约束条件的可行域，如图所示.作出直线l 0：2x ＋4y ＝0，由图可知，当平移直线l 0经过点A 时，目标函数取得最大值z=2×3＋4×8=38，经过点B 时，目标函数取得最小值z=2×3＋4×(-3)=-6．

71.【2010·广东理数】某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+.可行域为

?????????∈≥∈≥≥+≥+≥+,,0,,0,54106,4266,64812N y y N x x y x y x y x 即?????

????∈≥∈≥≥+≥+≥+,

,0,,0,2753,7,1623N y y N x x y x y x y x 作出可行域如图所示：

经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为 2.54z x y =+=2.5×4+4×3=22元． 72．【 2010·福建省宁德三县市一中第二次联考】设函数()412--+=x x x f . ⑴求不等式()2>x f 的解集；⑵求函数()x f 的最小值.

解：()??

?

??>+≤≤---<--=)

4(5)42/1(3

3)2/1(5

x x x x x x x f ⑴①由???-<>--2

/12

5x x 解得7-

②??

?≤≤->-4

2/1233x x 解得43/5≤

?>>+4

25x x 解得4>x ；

综上可知不等式的解集为{x|x<-7或x>5

3 }.

⑵如图可知2

9)(m in -

=x f .

73．【2010·哈尔滨、长春、沈阳、大连第二次联合考试】设对于任意实数x ，不等式

|7||1|x x ++-≥m 恒成立.

(1)求m 的取值范围;

(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．

解：（1）设|1||7|)(-++=x x x f ，则有??

?

??≥+≤≤--≤--=1,6217,87,26)(x x x x x x f ,当7-≤x 时，)(x f 有

最小值8；当17≤≤-x 时，)(x f 有最小值8；当1≥x 时，)(x f 有最小值8.综上)(x f 有最小值8 ，所以8≤m .

（2）当m 取最大值时8=m ，原不等式等价于：42|3|≤--x x ，等价于：??

?≤--≥4

233

x x x 或??

?≤--≤4

233

x x x ，等价于：3≥x 或331

≤≤-

x ，所以原不等式的解集为}3

1

|{-≥x x . 74.【2010·黄岗中学八月月考】设函数2

2

22()1

x x f x x +=+，函数2()52g x ax x a =+-．

（1）求()f x 在[0,1]上的值域；

（2）若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围．

解：（1）2

2

22

2

222(1)22

2(1)21

1

1

x x x x x y x x x +++--==

=+

+++,

令[]1,1,1,0x t x t t -==+∈-则，2

2222

t

y t t =+

++，当0t =时，2y =；当[)1,0t ∈-，

2222

y t t =+

+

+，由对勾函数的单调性得[)0,2y ∈，故函数在[0,1]上的值域是[]0,2;

（2）()f x 的值域是[]0,2，要01()()g x f x =成立，则[][]{}0,2(),0,1y y g x x ?=∈ ①当0a =时，[0,1]x ∈，[]()50,5g x x =∈，符合题意； ②当0a >时，函数()g x 的对称轴为502x a

=-

<，故当[0,1]x ∈时，函数为增函数，则()

g x 的值域是[2,5]a a --，由条件知[0,2][2,5]a a ?--，∴0

200352a a a a >??

-?

≤≤≥；

③当0a <时，函数()g x 的对称轴为502x a

=-

>.当5012a

<-

<，即52

a <-

时，()g x 的

值域是2

825

[2,]4a a a

---或2

825

[5,

]4a a a

---,由20,50a a ->->知，此时不合题意；当