2016年山西自主招生数学模拟试题：导数的实际应用

2016年山西自主招生数学模拟试题:导数的实际应用

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1：从长32 ，宽20 的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ） A 、4 B 、2 C 、1 D 、3

2：已知使函数y ＝x 3

＋ax 2

－ a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为（ ）

A 、0

B 、±3

C 、0或±3

D 、非以上答案

3：设f(x)，g(x)在[a ，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x) B 、f(x)

C 、f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)

D 、f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)

4：已知函数

是R 上的可导函数，

的导数

的图像如图，则下列结论正确的是( )

A 、a, c 分别是极大值点和极小值点

B 、b ，c 分别是极大值点和极小值点

C 、f(x)在区间（a ，c ）上是增函数

D 、f(x)在区间（b ，c ）上是减函数

5：对于函数

，给出下列四个命题：①

是增函数，无极值；②

是减函数，有极值；

③

在区间及

上是增函数；④

有极大值为，极小值

；其中正确命题的个数为（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

6：已知y ＝f(x)是奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝ln x －ax ，当x ∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a 的

值等于________。

7：已知函数 f ( x )＝ x 3

＋ ax 2

－ bx ( a ， b ∈R)，若 y ＝ f ( x )在区间[－1,2]上是单调减函数，则 a ＋ b 的最

小值为______。

8：已知函数f(x)＝－xln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|e x

－a|＋

，当x ∈[0，ln 3]时，函数g(x)

的最大值M 与最小值m 的差为 ，则a ＝________.

9：如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线 左侧的图形的面积为 ，则

（1）函数

的解析式为_______；

（2）函数 的图像在点P(t 0,f(t 0))处的切线的斜率为 ,则t 0=____________.

10：对于三次函数

给出定义：设

是函数 的导函数， 是

的导函数，若方程 有实数解

，则称点

为函数

的“拐点” .某同学经过探

究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.

给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：

（1）函数的对称中心为；

（2）计算… .

11：已知函数。

（1）是否存在实数，使得处取极值？试证明你的结论；

（2）若上是减函数，求实数的取值范围。

12：（本题满分12分）

已知函数，

（1）求为何值时，在上取得最大值；

（2）设，若是单调递增函数，求的取值范围。

13：已知函数，其中且m为常数。

（1）试判断当时函数在区间上的单调性，并证明；

（2）设函数在处取得极值，求的值，并讨论函数的单调性。

14：设函数f（x）＝x 3

－ax（a＞0），g（x）＝bx

2

＋2b﹣1。

（1）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；

（2）当b＝时，若函数h（x）＝f（x）＋g（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求实数a的取值范

围；

（3）当a＝1，b＝0时，求函数h（x）＝f（x）＋g（x）在区间[t，t＋3]上的最小值。

15：已知函数（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）求证：.

答案部分

1、A

略

2、C

试题分析：若，则或，当时，，则；当

时，，则或，所以或，答案选C.

考点：导数的定义

3、C

设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，即F(x)在[a，b]上是增函数，从而当af(a)－g(a)，即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，故选C.

4、C

试题分析：对于A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故A错；对于B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故B错；对于C，f（x）在区间（a，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（a，c）上是增函数，故C对；对于D，f（x）在区间（b，c）上的导数大于0，则f （x）在区间（b，c）上是增函数，故D错。故选C、

考点：利用导数研究函数的单调性。

5、B

其中命题③与命题④是正确的。

6、1

由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.

令f′(x)＝－a＝0，得x＝，

当00；

当x> 时，f′(x)<0.

∴f(x) max＝f ＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.

7、

由题意可知f′(x)＝x 2

＋2 ax－b≤0在区间[－1,2]上恒成立，∴1－2 a－b≤0且4＋4 a－b≤0，作出可行域如图，

当直线经过两直线的交点 时，取得最小值 .

8、

因为f′(x)＝－ln x －1＋a≥0在(0，e)上恒成立，所以a≥(ln x ＋1) max ＝2.

又x ∈[0，ln 3]时，e x ∈[1,3]，所以当a ∈(3，＋∞)时，g(x)＝a －e x

＋

递减，此时M －m ＝a －1＋ －

＝2，不适合，舍去；当a ∈[2，3]时，

g(x)＝ 此时m ＝ ，

M max ＝

＝a －1＋ ，

所以a －1＋ － ＝a －1＝ ，解得a ＝ .

9、 （1） ；（2） 或 。

试题分析：（1）由题意，当 时， ；当 时，

，故函数函数 的解析式为 。

（2）当 时， ，故 ；当 时， ，

解得 ，综上所述， 或 。

考点：１、分段函数的解析式；2、导数的几何意义.

10、 （1） ， （2）2012

试题分析： ， 令

，因为 ，所以函数

的对称中心为 ；因为函数 的对称中心为 ，

所以 ，所以 … .

考点：函数的性质及应用.

11、 (Ⅰ)不存在 (Ⅱ)

方法2：由在上恒成立得在上恒成立

令

，符合题意

综上可得，的取值范围为

12、（1）当时，在上取得最大值. （2）a的取值范围为

(1)利用导数研究其极值，然后与区间端点对应的函数值进行比较从而确定其最值.

(2)本题的关键是把是单调递增的函数，转化为恒成立问题来解决.

由于,

显然在的定义域上，恒成立.

转化为在上恒成立.

下面再对a进行讨论.

解：（1）

当时，；当时，.

在上是减函数，在上是增函数.

在上的最大值应在端点处取得.

即当时，在上取得最大值.………………5分

（2）是单调递增的函数，恒成立.

又，

显然在的定义域上，恒成立

，在上恒成立.

下面分情况讨论在上恒成立时，的解的情况当时，显然不可能有在上恒成立;

当时，在上恒成立;

当时，又有两种情况：

①；

②且

由①得无解；由②得

综上所述各种情况，当时，在上恒成立

的取值范围为……………………12分

13、（1）在区间上为增函数，证明见解析；（2），在上单调递减，在单调递增。

试题分析：（1）首先求导函数，然后根据区间判断的符号即可证明；（2）利用函数的极值点是导

函数的零点通过建立方程可求得的值，然后再通过判断的符号确定单调区间。

（1）当时，，求导数得：。

∵当时，，∴，

∴当时函数在区间上为增函数。

（2）求导数得：。

由是的极值点得，∴。

于是，定义域为，，

显然函数在上单调递增，且，

因此当时，；时，，

所以在上单调递减，在单调递增。

考点：1、导数的几何意义；2、导数与函数单调性的关系；3、利用导数研究函数的极值。

14、（1）a＝，b＝；（2）（0，）；（3）[h（x）] min＝.

试题分析：（1）求出f'（x），g'（x），由题意得f（1）＝g（1），且f'（1）＝g'（1），解该方程组即可；（2）记h

（x）＝f（x）＋g（x），当a＝1－2b时，h（x）＝，利用导数可研究其单调性、极值情况，由函数在（－2，0）内有两零点可得端点处函数值及极值符号，由此得一不等式组，解出即可；（3）a＝1，

b＝0时，h（x）＝f（x）＋g（x）＝，由（2）可知，函数h（x）的单调区间及极值点，按照在区间[t，t＋3]内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最大值

试题解析：（1）因为f（x）＝，g（x）＝bx 2

＋2b﹣1，

所以f′（x）＝x 2

﹣a，g′（x）＝2bx。

因为曲线y＝f（x）与y＝g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，所以f（1）＝g（1），且f′（1）＝g′（1）。

即－a＝b＋2b－1，且1﹣a＝2b，

解得a＝，b＝。

（2）当a＝1﹣2b时，h（x）＝（a＞0），

所以h′（x）＝x 2

＋（1﹣a）x﹣a＝（x＋1）（x﹣a）。

令h′（x）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝a＞0。

当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a）a （a，＋∞）

h′（x）＋0 ﹣0 ＋

h（x）↗极大值↘极小值↗

所以函数h（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，＋∞），单调递减区间为（﹣1，a）。故h（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在区间（﹣1，0）内单调递减。

从而函数h（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，当且仅当

即解得：0

所以实数a的取值范围是（0，）。

（3）当a＝1，b＝0时，h（x）＝。

所以函数h（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，＋∞），单调递减区间为（﹣1，1）。

由于h（－2）＝－，h（1）＝－，所以h（﹣2）＝h（1）。

①当t＋3＜1，即t＜﹣2时，

[h（x）] min＝h（t）＝t 3

－t－1

②当﹣2≤t＜1时，[h（x）] min＝h（1）＝－。

③当t≥1时，h（x）在区间[t，t＋3]上单调递增，[h（x）] min＝h（t）＝t 3

－t－1。

综上可知，函数h（x）在区间[t，t＋3]上的最小值为

[h（x）] min＝.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值

15、（Ⅰ）时，单调递增区间为；时，单调递减区间为，

单调递增区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据和分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由

（Ⅰ）中时的单调性可知，即，构造函数，

由导函数分析可得在上增，在上递减，则，由对任意的

恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，从而问题等价转

化为证.

试题解析：（Ⅰ） 1分

时，，在上单调递增。 2分

时，时，，单调递减，

时，，单调递增. 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），时，

5分

即，记

在上增，在上递减

故，得 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ），即，则时，

要证原不等式成立，只需证：，即证：

下证① 9分

①中令，各式相加，得

成立，

故原不等式成立. 14分

方法二：时，

时，

时，

考点：1.利用导数数求函数的单调性；2.利用导数处理不等式的恒成立问题；3.等价转化的数学思想方法