《点集拓扑讲义》第六章 分离性公理 学习笔记

第6章分离性公理

§6.1,Hausdorff空间

本节重点:

掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；

掌握各空间的充要条件；

熟记常见的各种空间.

与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。

回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题．

为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答．

引入：

例对于度量空间X，如果x，y∈X，?x、y ，当x ≠y时，x、y之间应该有一个距离，这个距离用d(x,y)表示，

定义6.1.1设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果x，y∈X，x≠y,则或者x有一个开邻域U使得y U,或者y有一个开邻域V使得x V)，则称拓扑空间X 是一个空间．

拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间．

定理6.1.1 拓扑空间X是一个空间当且仅当X中任意两个不同的单点

集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．）

证明充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于

，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有．（因为否则).这推出x 有一个不包含y的开邻域．同理，当后者成立时，y有一个不包含x的开邻域．这证明X是一个空间．

必要性:设X是一个空间．若x，y∈X，x≠y，则或者x有一个开邻域U 使得或者y有一个开邻域V使得．若属前一种情形，由于

，若属后一种情形，同样也有．定义6.1.2设X是一个拓扑空间．如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X是一个空间．

空间当然是空间．但反之不然．例如设X={0,1}，T={,{0},X},则T 是X的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，）

定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：

（1）X是一个空间；

（2）X中每一个单点集都是闭集；

（3）X中每一个有限子集都是闭集．

证明（1）蕴涵（2）．设x∈X．当X是一个空间时，对于任何y∈X，

y≠x，点x有一个邻域U使得，即.这

证明单点集{x}是一个闭集．

（2）蕴涵（3）．这是显然的.因为有限个闭集的并仍然是闭集.

（3）蕴涵（1）．设x,y∈X,x≠y,当(3)成立时单点集{x}和{y}都是闭集．从而分别是y和x的开邻域，前者不包含x，后者不包含y．这就证明了X是一个空间.

下面的两个定理表明，空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．

定理6.1.3 设X是一个空间．则点x∈X是X的子集A的一个凝聚点当且仅当x的每一个邻域U中都含有A中的无限多个点,即U∩A是一个无限集．证明定理充分性部分是明显的．以下证明必要性部分．假设

x∈X,x∈d(A)．如果x有一个开邻域U使得U∩A是一个有限集，则集合

B=U∩A-{x}也是一个有限集，因此是一个闭集．因此U－B是一个开集，并且是x的一个邻域．此外易见

(U－B)∩(A-{x})=.这蕴含着x不是A的凝聚点,与假设矛盾．

定理6.1.4 设X是一个空间．则X中的一个由有限个点构成的序列{}

（即集合{|i∈Z+}是一个有限集）收敛于点x∈X当且仅当存在N＞0使得

=x对于任何i≥N成立．

证明由于X是一个空间，集合A＝{|≠x,i=1,2…}是一个有限集，所以是一个闭集．从而是x的一个开邻域．于是存在N＞0使得当i≥N有

，因而=x.

定义6.1.3 设X是一个拓扑空间．如果X中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交（即如果x，y∈X，x≠y，则点x有一

个开邻域U，点y有一个开邻域V，使得U∩V=），则称拓扑空间X是一个Hausdorff空间，或空间．

hausdorff空间一定是空间，但反之不然．

例6.1.1 非Hausdorff的空间的例子．

设X是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个空间．然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集，而X又是一个无限集的缘故．由此易见X必然不是一个空间．定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．

证明设{}是Hausdorff空间X中的一个序列，并且有

于是对于j＝1，2，点有一个开邻域，使得．故存在＞O使得当i≥时有．任意选取M＞max{}．可见，这是一个矛盾．但在空间中定理6.1.5却可以不成立．例如设拓扑空间X如例6.1.1中所述，{}是X中的任何一个由两两不同的点构成的序列，即当i≠j时有

.此时对于任何y∈X和y的任一邻域U,由于U的补集是一个有限集，

所以存在N＞0使得当i≥N时有∈U．于是lim=y．也就是说，序列{}收敛于X中的任何一个点．

作业:

P155 3.4.5.

§6.2正则，正规，空间

本节重点：

掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．

我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．

定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A，U X．如果A包含于U的内部，即

A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是

一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．

定义6.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交（即如果x∈X和A X是一个闭集，使得x A，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得

)，则称拓扑空间X是一个正则空间．

定理6.2.1 设X是一个拓扑空间．则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x∈X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得．证明必要性设X是一个正则空间．如果x∈X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集．于是x和分别有开邻域使得．从而，所以

充分性设x∈X和A是一个不包含x的闭集．这时A的补集是x的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x的开邻域U使得．令

，所以V是A的一个开邻域，并且易见．这证明X是一个正则空间．

定义6.2.3 设X是一个拓扑空间．如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果A，B X都是闭集，则存在

A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一

个正规空间．

定理6.2.2 设X是一个拓扑空间．则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得．证明证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．

正则、正规性质与§6.l中定义的以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系．

例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff 空间）的例子．

令X={1,2,3}和T={{1},{2,3},{1,2,3},}．容易验证(X，T)是一个拓扑

空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个

空间．

例6.2.2 Hausdorff空间（因而也是空间）但非正则空间、也非正

规空间的例子．(略)

拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．

例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X，T)，其中X={1,2,3}和T ={,{1},{2},{1,2},{1,2,3}}

定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．

由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空

间一定是Hausdorff空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正

规空间的例子）可见于习题第6题．

最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：

定理6.2.3 每一个度量空间都是空间．

证明设（X，d）是一个度量空间．如果x，y∈X，x≠y，则d（x，y）＞0.令ε=d（x，y），则球形邻域B（x，ε/2）和B（y,ε/2）分别是x和y

的开邻域，并且易见它们无交．因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是

空间．

现在设A和B是X中的两个无交的闭集．假如A和B中有一个是空集，例如B= ．这时我们可以取X为A的开邻域，为B的开邻域，它们的交当然

是空集．以下假定A和B都不是空集．根据定理2．4．9可见，对于x，y∈X，如果x B，则d（x，B）＞0；如果y A，则d（y，A）＞0．记

ε(x)=d(x,B)/2,δ(x)=d(x,A)/2

并且令

显然U和V分别是A和B的开邻域．以下证明．若不然

设

,

不失一般性，设．于是我们有

这与d（，B）的定义（d（，B）＝inf{（，y）|y∈B}）矛盾．这

就证明了X是一个正规空间．

作业:

P160 1.2.3.

§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

本节重点:

掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；

掌握定理6.3.2的证明方法．

定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．证明(略)

定理6.3.2 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一

定是一个不可数集．

证明设C是空间X中的一个连通子集．如果C不只包含着一个点，任

意选取，x,y∈X,x≠y,对于空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用

Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1．由于C是X中一个连通子集，因此f（X）也连通．由于0，1∈f（X），因此f（X）=[0,1]．由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集．作业:

P168 1．

§6.4完全正则空间，Tychonoff空间

本节重点:

掌握完全正则空间与空间的定义；

掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.

定义6.4.1 设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何

y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．

完全正则的空间称为Tychonoff空间，或空间．

定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．

证明设X是一个完全正则空间．设x∈X，B是中的一个不含点x的闭集．则存在连续映射f：X→[0,1]，使得f(x)=0和对任何b∈B有f(b)=1.于是([0,1/2))和((1/2,1])分别是点x和闭集B的开邻域，并且它们无交．这表明X是一个正则空间．

根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff空间都是空间．根据

Urysohn引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff空间，但反之不真，

有关的例子可以参见§6.2习题第5题．

定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．

证明设X是一个既正则又正规的空间．设x∈X，B是X中的一个不包含点x的闭集．由于X是一个正则空间，根据定理6. 2．l，点x有一个开邻域

U使得．令则A和B是X中无交的两个闭集．由于X是一个正规

空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f: X→[0，l]使得对于任何y∈A有f（y）＝0和对于任何y∈B有f（y）＝1．由于x∈A，故f（x）=0，这就证明了X是一个完全正则空间．

定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间．

证明设X是一个正则的Lindeloff空间．设A和B是X中的两个无交的闭集．对于每一个x∈A，由于，根据定理6.2.1可见，存在x的一个开

邻域使得即．集族{|x∈A}是闭集A的一个开覆盖．由于Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间（参见定理

5.3.4），易见A的开覆盖{|x∈A}中有一个可数子族，设为，仍然

覆盖A．注意：对于每一个i∈Z+，有．同理，集合B也有一个可

数开覆盖

现在，对于每一个n∈Z+，令

显然都是开集．对于任何m，n∈Z+，

因为若设m≤n，则有

令

它们都是开集，并且

现在只剩下证明和了．不失一般性，我们验证前者：如果x∈A，则存在n∈Z+使得x∈．另一方面，由于诸与A无交，所以对于任意i∈Z+有．

§6.1，§6.2和本节中定义的（即Hausdorff），（即

Tychonoff），以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为图表6.1．

作业:

P171 1.2.3

§6.5分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本节重点:

掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可

积的.

本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即

Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定

义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去作．定理6.5.1 设X和Y是两个同胚的拓扑空间．如果X是一个完全正则的空间，则Y也是一个完全正则的空间．

证明设h：X→Y是一个同胚．对于Y中的任意一个点和任何一个不包含点x的闭集B，（x）和（B）分别是X中的一个点和一个不包含点（x）的闭集．由于X是一个完全正则空间，故存在一个连续映射f: X→[0,1]使得f((x))=0和对于任何y∈（B）有f（y）＝l．于是连续映射g＝f：Y→[0,1]，满足条件：g(x)＝0和对于任何z∈B有g(z)=1．

（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．

定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．

证明设X是一个正则空间，Y是X的一个子空间，设y∈Y和B是Y的一个闭集使得y B．首先，在X中有一个闭集使得∩Y＝B．因此．由于X是一个正则空间，所以y和分别在X中有开邻域（对于拓扑空间X而言）

使得．令，它们分别是y和B在子空间Y 中开邻域，此外易见.

（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则都是有限可积性质，证明(略)

正规和不是有限可积性质．

至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．

例6.5.1 由于实数空间R是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R中给出一个等价关系～使得对于任意x，

y∈R，x～y的充分必要条件是或者x，y∈（-∞，0]；或者x，y∈（0，1）；或者x，y∈[1，∞）．将所得到的商空间记为Y．换言之，Y便是在实数空间中分别将集合A=(-∞，0］，B=（0，l）和C=［1，∞）各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上Y＝{A，B，C}．容易验证Y的拓扑便是{，

{A,B},{B},{B,C},{A,B,C}}．考察点A和点B可见，Y不是空间，因此也不是（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及空间．此外，考察两个单点闭集{A}和{C}可见，Y既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y是一个空间．

上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空

间R的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而

例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．作业:

P175 1.

§6.6可度量化空间

本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)

先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．

定理6.6.1[Urysohn嵌入定理] 每一个满足第二可数性公理的空间都同胚于Hilbert空间H的某一个子空间．

证明(略）

定理6.6.2 Hilbert空间H是一个可分空间．

证明(略)

定理6.6.3 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：

（1）X是一个满足第二可数性公理的空间；

（2）X同胚于Hilbert空间H的某一个子空间；

（3）X是一个可分的可度量化空间．

证明（l）蕴涵（2）．此即定理6.6.1．

（2）蕴涵（3）．由于Hilbert空间H是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间（参见推论

5.2.5），与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的（参见§5.2习题第4题），也是可以度量化的（参见§2.2习题12）．

（3）蕴涵（1）．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4），

可度量化空间是一个空间（参见定理6.2.3）．因此更是一个空间．作业:

P180 1.

本章总结：

（1）性质是描述点的分离性的,熟记各空间的定义、性质、与实数空间的区别.注意它们的充要条件，往往是证明的出发点．

（2）正则、正规是描述点、闭集与闭集之间关系的性质．注意它们的充要条件．

（3）完全正则、Tychonoff只有一种定义，一定要用映射来描述．

（4）有了Urysohn引理，可将正规空间与实数空间联系起来，给证明提供了极大的方便．（完全正则与Tychonoff空间也是如此）

（5）掌握它们的关系图及是否是连续映射所能保持的、有限可积的、可遗传的．从而会判断一个空间是哪种空间．