A(一)学习指导(第一章)高数同济五版上
A （一）学习指导 第一章函数和极限
一、关于函数的四个特性
1． 函数的有界性
定义 1 设)(x f y =在数集A 上有定义，若0?
>M ，A x ∈?,有M x f ≤)(，则称)(x f y =在A 上为有界函数，否则，即0>?M ，A x ∈?0,有M x f >)(0，则称)
(x f y =在A 上为无界函数.
几何上，若能找到两条平行的关于x 轴对称的水平直线M y = )0(>M ，使)(x f y =在A 上的图像夹在两直线M y ±=之间的，则称)(x f y =在A 上为有界函数．而无界函数是找不到具有上述性质的两条平行水平直线的．
分析上，若证明)(x f y =在A 上有界，则只要找到一正数M ，使A x ∈?，有M x f ≤)(即可．而若证明)(x f y =在A 上无界，则0>?M ，由M x f >)(，只要找A 上一点0x ，使M x f >)(0即可．这个0x 既可由不等式M x f >)(解x 求得，又可用观察法．
定义2 设)(x f y =在数集A 上有定义，若R q ,p ∈?，A x ∈?，有p x f q ≤≤)(，则称)(x f y =在A 上是有上界p ，下界q 的有界函数．若R p ∈?，A x ∈?，有p x f ≤)(（或
q ≥），则称)(x f y =在A 上是有上界p （或下界q ）的函数．
例1 证明x
x f y 1
)(=
=在1>x 上为有界函数；在0≠x 上是无界函数． 证 因1:>?x x ，有11
)(<=
x
x f ，故01>=?M ，:x ?1>x ，有1)(≤x f ．即x
x f y 1
)(=
=在1>x 上为有界函数． 当0≠x 时，0>?M ，由M x x f >=
1)(，M x 1<，于是0>?M ，0210≠=?M
x ，
有M M x f >=2)(0． 故x
x f y 1
)(=
=在0≠x 上为无界函数． 例2 证明x x x f y sin )(==在),(∞+-∞上为无界函数． 证:0>?M ，由M x x x f >=sin )(，因1=x sin ，2
2π
+
π=k x ， ,,k 10±= 令1][0+=M k ，∈π
+
π=?2
200k x ),(∞+-∞，有M k x x f >>=000)(， 故x x x f y sin )(==在),(∞+-∞上为无界函数．
2． 函数的单调性
定义:若A x x ∈?21,，21x x <，有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f y =在A 上为严格单调上升（或单调下降）函数，简称单调上升（或单调下降）函数，用↗（或↘）表示．
注：)(x f y =在A 上单调下降的箭头表示不可为“↙”．
若A x x ∈?21,，21x x <，有)()(21x f x f ≤（或)()(21x f x f ≥），则称)(x f y =在A 上为一般单调上升（或单调下降）函数．
在书本中若无特殊说明，函数单调性讨论都指严格单调性的讨论．
对数列{}n x ：
若n ?有01>-+n n x x （或0<），则称{}n x 为单调上升（或下降）数列． 若n ?有01≥-+n n x x （或0≤），则称{}n x 为一般单调上升（或下降）数列．
注：验证一个函数)(x f y =在区间A 上的单调性，根据定义，必须在A 上任取两点来比较其函数值大小（在第三章可用导数符号来讨论函数单调性）．
例3若)(x f y =在],[l l -上为偶函数，又)(x f 在],0[l 上↗。 证明)(x f y =在]0,[l -上↘。
证:∈?21,x x ]0,[l -，021≤<≤-x x l ，021≥->-≥x x l ．
因)(x f 为偶函数，又在],0[l 上↗，所以0)()()()(1212<---=-x f x f x f x f ，
故)(x f y =在]0,[l -上↘．
3． 函数的奇偶性
⑴定义：若)(x f y =在对称区间A 上有定义．A x ∈?，此时，A x ∈-，有)(x f -)
(x f -=（或)()(x f x f =-），则称)(x f y =在A 上为奇函数（或偶函数）．
几何上，若)(x f y =在A 上为奇（或偶）函数，则)(x f y =在A 上的图像关于原点（或y 轴）对称．
⑵)(x f y =在对称区间A 上非奇非偶函数的判定：
几何上，若曲线)(x f y =在A 上图像既不关于y 轴对称，又不关于原点对称，则)(x f y =在A 上必是非奇非偶函数．
分析上，它是奇偶性定义的否定命题．因此只要验证A x ∈?1，A x ∈2，使得
)()(11x f x f -≠-，同时)()(22x f x f ≠-，则)(x f y =在A 上为非奇非偶函数．
注意：上述两式绝不是)()(x f x f -≠-，)()(x f x f ≠-．
⑶由函数的奇偶性的几何特性，可以容易地把定义在],0[l 上的函数)(x f y =在
]0,[l -进行延拓，以得到一个新的函数)(x F y =，使)(x F y =在],[l l -上为奇函数或偶函
数．
①把)(x f y =，],0[l x ∈，0)0(=f 作关于原点对称的图像，如图11-所示．于是
=)(x F ??
?
??<≤---=≤<0)(000)
(x l x f x l x x f
在],[l l -上为奇函数．
图11-
图21-
② 把)(x f y =，],0[l x ∈作关于y 轴对称图像，如图21-所示．于是
=)(x F ??
?<≤--≤≤0
)(0)
(x l x f l x x f
在],[l l -上为偶函数．
例4 讨论下列函数的奇偶性： ⑴==)(x f y )1ln(2++x x
（x x e log ln =，它是以一个特殊无理数 7182818.2e ≈为底数的对数函数） 解：),(∞+-∞∈?x ，)1ln()1ln()()(22+++++-=+-x x x x x f x f
0)]1)(1ln[(22=++++-=x x x x ，)()(x f x f -=-．
故==)(x f y )1ln(2++x x 在),(∞+-∞上为奇函数．
⑵x x f y 3cos )(==
解：),(∞+-∞∈?x ，)(cos )][cos()(33x f x x x f ==-=-． 故x x f y 3cos )(==在),(∞+-∞上为偶函数．
注：3
x y =是奇函数．但对3
)(cos x y =不要因看到指数3就误认为是奇函数．
⑶x x x f y cos )(+== 解：),(0∞+-∞∈π=?x ，
1)(-π-=π-f ，1)(-π=πf ，)()(π≠π-f f ，)()(π-≠π-f f ．
故x x x f y cos )(+==在),(∞+-∞是非奇非偶函数．
注：下面证明对吗：因),(∞+-∞∈?x ，x x x f cos )(+-=-，)()(x f x f ≠-，)()(x f x f -≠-，故x x x f y cos )(+==为非奇非偶函数．
4． 函数的周期性
定义：设)(x f y =的定义域为一无限区间，例如：),(∞+-∞．若0>?T ，
),(∞+-∞∈?x ，有)()(x f T x f =+，则称)(x f y =是周期为T 的函数．
一般说来，高等数学中讨论的周期T 都是指最小正周期． 例如：2
2cos 1cos )(2x
x x f y +=
==的周期为π． 如果)(x f y =的周期为T ，则 ,,,2,nT T T ±±±都为周期，即)()(x f nT x f =±． 如果)(x f y =的周期为T ，则只要知道)(x f y =在一个长度为周期的区间（例如：
],0[T 或]2
,2[T
T -
）上的表达式，就可利用周期性知道)(x f y =在其定义域内所有点的函数值．
例5 )(x f y =x tan =是周期为π的奇函数，)(x f x tan =在)2
,0[π上的函数值已知，
例如：14tan
=π，则1)4
()4()46()423(-=π
-=π-=π-π=πf f f f ． 例6 设)(x f y =周期为1，10<≤x 时，x x f =)(，试作出)(x f y =在]2,2[-上的图像，并求：)3
5(-f ；)5(f ．
解：)(x f y =在]2,2[-上的图像如31-所示．
31)31()312()35(==+-=-f f f ，
0)0()05()5(==+=f f f ．
例7 设)(][)(x x x x f y =-==，试证明)(x f y =是周期为1的函数，并求)2.10(-f ． 证：因),(∞+-∞∈?x ，1][]1[+=+x x ，
)()(][1][1]1[1)1(x f x x x x x x x x f ==-=--+=+-+=+， 故)()(x x f =是周期为1的函数．
8.0]8.0[8.0)8.0()8.011()2.10()2.10(=-==+-=-=-f ．
注：][x 是不超过x 的最大整数，而][)(x x x -=是表示一个正小数或零，并且)(][x x x +=，当
10<≤x 时，x x x x x f =-==][)()(，因此，][)()(x x x x f -==就是例6中的函数．
图31-
二、函数和复合函数
1． 函数定义
设有非空数集R A ?和实数集),(∞+-∞=R ．若A x ∈?，按某一法则f ，总能对应R 中唯一实数y ，则称对应法则f 为定义在A 上的函数．一般用数学记号表示如下：
f ： R A →
)(x f y A x =∈ 其映射图如图41-所示．
图41-
注：
①函数定义两个要素：定义域和对应法则．如果两个函数有相同的定义域和相同的对应法则，不管变量采用什么记号，都应视为同一函数．例如：x y sin =，u v sin =是同一正弦三角函数，可记为
x x f y sin )(==，u u f v sin )(==．
②不同的函数一般可用不同对应法则所表示的不同字母来表示．如用ψ?,,,,h g f 等表示．
2． 分段函数
分段函数)(x f y =是表示一个函数，并且是在自变量x 的不同范围内对应法则f 用不同式子表示的一个函数．常见分段函数有两种形式：
⑴==)(x f y ??
?
??>=<000
)()(x
x x h x x A x x x g ；
⑵==)(x f y ??
?=≠0
)
(x x A
x x x ?． 式中，)(x g ，)(x h ，)(x ?是x 的一个表达式，0x x =是分段函数)(x f y =的交接点． 3． 复合函数
⑴定义：设)(u f y =的定义域为U ，而)(x u ?=的定义域为A ，值域为)(A ?，并且，
U A ?)(?，则在A 上称y 是x 的以中间变量为u 的复合函数．记为
))(()]([)(x f x f u f y ?? ===．
复合函数? f ： R A →
)]([))((x f x f y A x ??==∈
其映射图如图51-所示．
图51-
注：
①代
用)()
()
()
()]([x x x u x f u f x f ???===．
②)]([x f ?的定义域A 的确定是使)]([x f ?有意义的x 全体．
⑵把一个复合函数分解成几个简单函数的复合．例如：
①2
2
)1(arctan －x y =，它由2
u y =，v u arctan =，1
w w v ==，12-=x w 复合而
成．
②x
a y 2=(0>a ，1≠a )称为2的x a 指方，不是a 2的x 指方．即
ax x a a a x
x 2)2()2(2=≠=
它由u y 2=，x a u =复合而成．
注：)12)(12(1)2(1222
+-=-=-x x x x 对吗？
③设)(x u ，)(x v 是两个x 的表达式，0)(>x u ，称)()()(x v x u x f y ==为幂指函数．
)(ln )(e )(x u x v x f y ==，它由z y e =，)(ln )(x u x v z =复合而成．
恒等式)(ln )()(e )(x u x v x v x u =务必熟记．以后对)()(x v x u y =进行分析运算时，往往化为对
)(ln )(e x u x v y =的分析运算．
⑶把几个简单函数复合成一个函数．
例1 12)(2+=x x f ，x x g cos 3)(=，求：)]([x g f ；)]([x f f ．
解：[]1cos 181)cos 3(2)
()(22)(+=+=
=x x x f x g f x g x 代用，
[])()()(x f u u f x f f ==，12)(2+=u u f ．
故[]3881]12[2)(2422++=++=x x x x f f ．
例2 设???<-≥=00
)(2
x x
x x
x f ，x x g sin )(=，???
??<=>=0
sin 010ln )(x x
x x x x ? 求：[])(x g f ；[])(x f g ；[])(x f ?．
解：①求)]([x g f 时，应根据分段函数)(x f 自变量的分段情况，对)(x g 的值域进行分段讨论，从而确定)(x g 自变量的分段情况．
0sin ≥=x u ，π+π≤≤πk x k 22时，[]x u f x g f x u sin )()(sin ===；
0sin <=x u ，π+π<<π+π222k x k 时，[]x u f x g f x
u 2sin sin )
()(-===．
故[]?
??π+π<<π+π-π+π≤≤π=222sin 22sin )(2
k x k x k x k x
x g f ， ,2,1,0±±=k ． ②求)]([x f g 时，只要根据)(x f 的分段情况来讨论即可．[]???<-≥=0
sin 0
sin )(2
x x
x x
x f g ． ③求)]([x f ?时，根据)(x ?的自变量x 的分段情况确定相应)(x u ?=的值域范围，结合
)(u f 的分段情况得到相应)]([x f ?．???<-≥=0
0)(2
u u
u u
u f ．
0>x 时，x x u ln )(==?，此时0ln ≥=x u ，有1≥x ；0ln <=x u ，有10< 故1≥x 时，[]x x f ln )(=?； 10< 0 0sin ≥=x u ，有π≥≥π+πk x k 22，x x f sin )]([=?； 0x sin u <=，有π+π>>π+πk x k 222),2,1( --=k ，x x f 2sin )]([-=?． 故[]????? ????π +π<<π+π-π+π≤≤π=<<-≥=222sin 22sin 0 110ln 1ln )(22k x k x k x k x x x x x x x f ? ),2,1( --=k ⑷由复合函数求函数．由)()]([x g x f =?求)(x f 有两种方法： ①令)(x u ?=，解)(1u x -=?，于是，)]([)(1u g u f -=?，)]([)(1x g x f -=?； ②把)(x g 化为)]([x F ?，则)()(x F x f =． 例3 设)1ln()(e 2x x f x +=-，求)(x f ． 解：令u x =-e ，u x ln -=，于是，)ln 1ln()(ln )(2u u u f -=， 故)ln 1ln()(ln )(2x x x f -=． 例4 设221 )1(x x x x f +=+，求)(x f ． 解：由x x u 1+ =解x 较繁，可由221x x +凑x x u 1 +=表达式， 因2)1()1 (2-+=+x x x x f ，故2)(2-=x x f ． 例5 设2 e )(x x f =，[]x x f -=1)(?，且0)(≥x ?，求)(x ?及其定义域． 解：因为[]x u f x f x x u -====1e )()() ()(2 ???，又因为0)(≥x ?，)1ln()(x x -=?，其 定义域为0)1ln(≥-x ，故0≤x ． 三、正确表达和理解极限定义中的逻辑关系 1． 数列极限的定义 若∞→n 时，A x n →，称{}n x 是极限为A 的收敛数列，记为A x n n =∞ →lim ．要反映这两 个无限接近的分析定义为：0>?ε，N ?，N n >?，有ε<-A x n ． 其中： ①正数ε首先具有任意性，只有这样，由ε<-A x n 才能反映数列{}n x 无限接近于A ， 为此，ε以小为贵．其次，正数ε还具有相对固定性，即一旦给出一些充分小的正数ε，就应把ε暂时看作固定不变，此时，就可以由ε<-A x n 确定相应的N ．为此有 等价定义1：若0>?ε（a <ε,a 为某一正数），N ?，N n >?，有ε<-A x n ，则 A x n n =∞ →lim ． ② 正整数N 表示N n >?时n x 和A 接近的程度．如①所述，对任意给定的0>ε，由 ε<-A x n 可确定N ．因此，一般说来，N 是随ε的变化而变化的，并且，当ε取越小的正 数时，相应的N 就越大．另外，在定义中，N ?，N n >?，有ε<-A x n ，没有要求第N 项以前的n x 非要ε≥-A x n ．因此，此N 不是唯一的．即如果0>?ε，N ?，N n >?，有 ε<-A x n ，那么，比N 大的任一正整数N '仍然满足定义要求．为此有 等价定义2：若0>?ε，N ?，N n ≥?，有ε<-A x n ，则A x n n =∞ →lim ． ③ 由于ε为任意给定的正数，所以，ε21 ，ε3 1，ε2，ε3，εM 等也是任意给定的正数（其中M 为某一正常数）．为此有 等价定义3：若0>?M ，0>?ε，N ?，N n >?，有εM A x n <-，则A x n n =∞ →lim ． ④ 对于两个不同的收敛数列A x n n =∞ →lim ，B y n n =∞ →lim ，{}n x ，{}n y 分别无限接近于A ， B 都可用同一尺度ε来衡量，但是接近的程度，即N 的选取，一般说来是不相同的．所以，若有A x n n =∞ →lim ，则0>?ε，1N ?，1N n >?，有ε<-A x n ；B x n n =∞ →lim ，则0>?ε，2N ?， 2N n >?有，ε<-B y n ． ⑤ 下列叙述极限定义是错误的： （ⅰ）因为A x n n =∞ →lim ，所以ε<-A x n ；或0>?ε，有ε<-A x n ；或N ?，0>?ε， N n >?，有ε<-A x n ． （ⅱ）因为ε<-A x n ；或0>?ε，有ε<-A x n ；或N ?，0>?ε，N n >?，有 ε<-A x n ，所以A x n n =∞ →lim ． 2． 函数极限定义的“δε-”，“X ε-”语言 ⑴A x f x x =→)(lim 0 ：0>?ε，0>?δ，:x ?δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(； 左极限A x f =-)0(0，即A x f x f x x ==--→)(lim )0(0 00：0>?ε，0>?δ， :x ?00<-<-x x δ，有ε<-A x f )(； 右极限A x f =+)0(0，即A x f x f x x ==++→)(lim )0(0 00：0>?ε，0>?δ， :x ?δ<-<00x x ，有ε<-A x f )(． 特别地，当00=x 时，记为)0()00()0(±=±=±f f f )(lim )(lim 0 x f x f x x ± →±→== 注：当00≠x 时，)()0(00x f x f ±≠±，)(lim )0(0 0x f x f x x ±→≠±． ⑵ A x f x =∞ →)(lim ：0>?ε，0>?X ，:x ?X >x ，有ε<-A x f )(． 单侧极限：A x f x =+∞ →)(lim ：0>?ε，0>?X ，X >?x ，有ε<-A x f )(． A x f x =-∞ →)(lim ：0>?ε，0>?X ，X - ⑶注： ①)(x f 在0x x =有无极限和)(x f 在0x x =有无定义毫无关系． ②单侧极限不能记为)(±∞f ． ③)0(0±x f 不是函数值，它是)(x f 在0x x =的左右极限． 3． 两个结论 ⑴?=→A x f x x )(lim 0 )0(0+x f A x f =-=)0(0．由此当)0(0+x f ，)0(0-x f 至少有一 个不存在时，或当≠+)0(0x f )0(0-x f 时，则)(lim 0 x f x x →不存在． ⑵?=∞ →A x f x )(lim =+∞ →)(lim x f x A x f x =-∞ →)(lim ．由此当)(lim x f x +∞ →，)(lim x f x -∞ →至少有一 个不存在时，或当≠+∞ →)(lim x f x )(lim x f x -∞ →时，则)(lim x f x ∞ →不存在． 4． 熟练掌握并应用极限的三大性质（特别是保号性） ⑴唯一性： 数列：若{}n x 收敛于A ，则A 是唯一的． 函数：若A x f x x =→)(lim 0 或A x f x =∞ →)(lim ，则A 是唯一的． ⑵有界性和局部有界性： 有界性：若{}n x 是收敛数列，则{}n x 必是有界数列，反之不然． 局部有界性： （ⅰ）若A x f x x =→)(lim 0 ，则0>?M ，00>?δ，:x ?000δ<- （ⅱ）若A x f x =∞ →)(lim ，则0>?M ，00>?X ，:x ?0X >x ，有M x f ≤)(． ⑶保号性： ①数列：若A x n n =∞ →lim ，B y n n =∞ →lim ，B A >，则0N ?，0N n >?，有n n y x >． 推论： （ⅰ）若B A x n n >=∞ →lim ，则0N ?，0N n >?，有B x n >． （ⅱ）若0lim >=∞ →A x n n ，则0N ?，0N n >?，有0>n x ． （ⅲ）若A x n n =∞ →lim ，B y n n =∞ →lim ， 又0N ?，0N n >?，有n n y x >（或n n y x ≥），则B A ≥． ②函数：以A x f x x =→)(lim 0 为例．若A x f x x =→)(lim 0 ，B x g x x =→)(lim 0 ，B A >．则00>?δ， :x ?000δ<- 推论： （ⅰ）若B A x f x x >=→)(lim 0 ，则00>?δ，:x ?000δ<- （ⅱ）若0)(lim 0 >=→A x f x x ，则00>?δ，:x ?000δ<- （ⅲ）若A x f x x =→)(lim 0 ，B x g x x =→)(lim 0 ，又00>?δ，:x ?000δ<- ()(x g x f >（或)()(x g x f ≥），则B A ≥． 例1若1)()()(lim 2000 =--→x x x f x f x x ，证明)(0x f 是)(x f 的一个极小值． 证：因01)()()(lim 2 000 >=--→x x x f x f x x ， 由保号性知：00>?δ，:x ?000δ<- ()()(2 00>--x x x f x f ，即)()(0x f x f >． 故)(0x f 是)(x f 的一个极小值． 5． 利用极限定义验证极限的方法 以A x n n =∞ →lim 和A x f x x =→)(lim 0 为例： ⑴方法一（直接法）： ①若A x n -关于n 的表达式比较简单，就可以直接由ε<-A x n 解)(εG n >，此时，令[])(εG N =即可（若解出)(εG n <，则肯定是错误的）． ②若A x f -)(关于0x x -的表达式比较简单，就可以直接由ε<-A x f )(解)(0εG x x <-， 此时，令)(εδG =即可（由ε<-A x f )(不是解x 的不等式，而要解0x x -的不等式．若解出)(0εG x x >-，则肯定是错误的）． 例2试利用定义证明下列极限： ①当1 n q ；②61 )1(3lim 21=--→x x x ；③1e lim 0=→x x ；④2arctan lim π =+∞→x x 。 证①当0=q 时，{} {} ,0,,0,0=n q 自然收敛于0； 当10< n q q 0，εln ln ．当10<<ε时，0ln <ε，0]ln ln [ >=q N ε ． 于是0>?ε )1(<ε，]ln ln [ q N ε =?，N n >?有ε<-0n q ． 故当10< →n n q ．从而当1 →n n q ． ②0>?ε，因1→x 时，1≠x ，ε<-=---1361)1(32x x x ，3 1ε <-x ． 于是0>?ε，03 >=?ε δ，:x ?δ<-<10x ，有ε<---61) 1(32x x ．即61)1(3lim 21=--→x x x ． ③（由于1e -x 关于x 的表达式比较简单，但由ε<-1e x 解x 较为困难．现利用左右极限来证明．） 先证1e lim 0 =+ →x x ：0>?ε，当0>x 时，ε<-=-1e 1e x x ，)1ln(ε+ =+ →x x ． 再证1e l i m 0 =- →x x ：0>?ε，当0 ，1<ε时， )1ln(ε->x ．于是0>?ε )1(<ε,0)1ln(>--=?εδ，:x ?0<<-x δ，有ε<-1e x ．即 1e lim x x =- →．因=+→x x e lim 0 1e lim 0 =-→x x ，故1e lim 0 =→x x ． ④0>?ε，由ε<-π=π- x x arctan 22arctan ，ε-π >2 arctan x ， 当2π< ε时，0cot )2tan(>=-π>εεx ． 于是0>?ε )2(π <ε，0cot >=?εX ，X >?x ，有ε<π- 2arctan x ．即2 arctan lim π =+∞→x x ． 注：同理可证2 arctan lim π - =-∞ →x x ．由于≠+∞→x x arctan lim x x arctan lim -∞→，所以x x arctan lim ∞→不存在． ⑵方法二（适当放大技巧）： ①若A x n -关于n 的表达式比较复杂，即由ε<-A x n 解n 不简便，则可利用适当放大技巧．即若1N ?，1N n ＞?，有n n y A x ≤-．且满足： （ⅰ）0lim =∞ →n n y ； （ⅱ）n y 关于n 的表达式比较简单，即由ε ())]([,max 1εG N N = ②若A x f -)(关于0x x -的表达式比较复杂，即由ε<-A x f )(解0x x -不简便，则可利用适当放大技巧．即首先选取适当00>δ（注意“适当”，一般以小为妥），:x ?000δ<- 0)(x x g A x f -<-（注意：此不等式不要求对所有x 成立，只 要求在000δ<- （ⅰ）()0lim 00 =-→x x g x x ； （ⅱ）() 0x x g -关于0x x -的表达式比较简单，即由() ε<-0x x g 解)(0εG x x <-方便，则令())(,min 0εδδG =． ③在利用适当放大技巧证明极限时，会正确使用下列不等式： （ⅰ）若0>>b a ，则b a 1 10<< ；b c a c -<-． （ⅱ）对b a ±：若要放大，有b a b a +≤±；若要缩小，有b a b a -≥±． 例3试利用定义证明下列极限： ①01010 lim 2=-+∞→n n n ；②00>?x 有00 lim x x x x = →； ③21lim 1=→x x ；④ 02arctan lim 3 =+∞→x x x x ． 证：①0>?ε， ε<=-+< -+--+>>n n n n n n n n n n n 410100********* 1103，ε4 >n ， 故0>?ε，])4 [,10max(ε =?N ，N n >?，有 ε<--+010 10 2n n ．即 01010lim 2=-+∞→n n n ． ②0>?ε，由 00x x x x x x +-= -，因00>x ，令000>=x δ． 当000δ<- -0 0x x x x x ，ε00x x x <-． 故0>?ε，0), min(00>=?εδx x ，:x ?δ<-<00x x ，有 ε<-0x x ． 即00 lim x x x x =→． ③0>?ε，由x x x 2 1221-=-，令04 10>=δ． 当41210<- 121212121>--≥+-=x x x ，有 ε<-<-21821x x ，8 21ε <-x ． 故0>?ε，0)81 , 41min(>=?εδ，:x ?δ<-<210x ，有ε<-21x ，即21lim 1 =→x x ． 图61- ④0>?ε，由 x x x x x x x x x x x x 2 13 3 3 13 122 22 202arctan 4 2 -π< -π≤ +π < -+>>ε<π =3 2x ， 3 )(ε π>x ． 故0>?ε，0))(,4max(3>π =?ε X ，:x ?X >x ，有 ε<-+02 arctan 3 x x x ． 即02 arctan lim 3 =+∞ →x x x x ． 6． 关于无穷大和无穷小 ⑴定义 若0lim =∞ →n n x （或∞），则称数列{}n x 是无穷小数列（或无穷大数列）； 若0)(lim 0 =→x f x x （或∞），则称)(x f y =当0x x →时为无穷小（或无穷大）； 若0)(lim =∞ →x f x （或∞），则称)(x f y =当∞→x 时为无穷小（或无穷大）． ⑵说明 ①讨论函数为无穷小或无穷大时，必须注明自变量的变化情况． ②当0x x →时，)(x f 为无穷小，则表明)(x f 在0x x =有一特殊极限为0． 当0x x →时，)(x f 为无穷大，则表明)(x f 在0x x =是没有极限的一种特殊情况． ③∞=∞→n n x lim 的N G -语言：0>?G ，N ?，N n ＞?，有G x n >． ∞=→)(lim 0 x f x x 的δ-G 语言：0>?G ，0>?δ，:x ?δ<-<00x x ，有G x f >)(． ∞=∞ →)(lim x f x 的X G -语言：0>?G ，0>?X ，:x ?X >x ，有G x f >)(． ⑶极限和无穷小关系 以A x f x x =→)(lim 0 为例．A x f x x =→)(lim 0 )()(x A x f α+=?，其中0)(lim 0 =→x x x α． ⑷无穷小和无穷大关系 以∞=→)(lim 0 x f x x 为例． 若∞=→)(lim 0 x f x x ，则0) (1 lim =→x f x x ；反之，若0)(lim 0=→x f x x ，)(x f 在0x x =的某去心 邻域不为0，则∞=→) (1 lim x f x x ． ⑸利用定义证明无穷大的方法 以∞=→)(lim 0 x f x x 为例： 方法一：利用与无穷小的关系，只要利用定义证明0) (1 lim 0 =→x f x x 即可． 方法二：直接法． 若)(x f 关于0x x -表达式的比较简单，可直接由G x f >)(解)(0G H x x <-，于是令)(G H =δ． 方法三：适当缩小技巧． 若00>?δ，:x ?000δ<- 0)(x x g x f -≥．且满足： （ⅰ）()∞=-→00 lim x x g x x ； （ⅱ）由() G x x g >-0解)(0G H x x <-比较简便，于是令())(,min 0G H δδ=． 例4试利用适当缩小技巧证明：∞=-→1 3lim 31 x x x ． 证0>?G ，由3 1313-=-x x x x ，令06 10>=δ． :x ?61310<- 131313131>--≥+-=x x x ． 此时， G x x x >->-3 118113，G x 18131<-． 故0>?G ，0)181 , 61min(>=?G δ，:x ?δ<-<310x ，有 G x x >-13． 即∞=-→1 3lim 31 x x x ． ⑹无穷大和单侧极限，左右极限的关系 ∞=?∞=+∞ →∞ →)(lim )(lim x f x f x x ，∞=-∞ →)(lim x f x ∞=+?∞=→)0()(lim 00 x f x f x x ，∞=-)0(0x f 例5证明x x e lim ∞ →不存在． 证①证+∞=+∞ →x x e lim ：0>?G ，由于G x >e ，G x ln >； 故)1(0>>?G G ，0ln >=?G X ，X >?x 有G x >e ．即+∞=+∞ →x x e lim ． ②证0e lim =-∞ →x x ：0>?ε，由于ε<=-x x e 0e ，εln 故)1(0<>?εε，0ln >-=?εX ，X - →x x ． 从而，x x e lim ∞ →不存在． 注：0>?a ，1≠a 时x x a ∞ →lim 不存在，绝不是∞或0，切记． ⑺关于无穷小的比较：以0x x →为例． ①定义:若0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ． （ⅰ）如果0) () (lim =→x g x f x x ，则称当0x x →时，)(x f 是)(x g 的高阶无穷小．记为 0x x →，())()(x g o x f = （ⅱ）如果0) () (lim ≠=→C x g x f x x ，则称当0x x →时，)(x f 是)(x g 的同阶无穷小． 特别地，1=C ，即1) () (lim =→x g x f x x ，则称当0x x →时，)(x f 是)(x g 的等价无穷小．记为 0x x →，~)(x f )(x g （ⅲ）若0>?k ，有0)() (lim ≠=→C x g x f k x x ，即当0x x →时，)(x f 和()k x g )(是同阶无 穷小．又称当0x x →时，)(x f 是)(x g 的k 阶无穷小． ②注： （ⅰ）对)(x f ，)(x g 作无穷小比较时，必须注明自变量变化趋势． （ⅱ）若0x x →时，~)(x f )(x g 0)(lim )(lim 0 ==?→→x g x f x x x x ，且1) () (lim =→x g x f x x ． （ⅲ）若0x x →时，~)(x f )(x g ，~)(x g )(x h ，则~)(x f )(x h ，0x x →．（等价无穷小具有传递性） （ⅳ）若0x x →时，~)(x f )(1x f ，~)(x g )(1x g ，0)(lim 0 ≠=→a x h x x ，则0x x →时， ~)()(x g x f )()(11x g x f ；)(~)()(1x af x h x f ． （()())()(~)()(11x g x f x g x f ++； ~)() (x g x f ) ()(11x g x f ，0x x →，对吗？） ⑻熟知等价无穷小的公式．（设0≠α，0>a ，1≠a ） ①常见函数的等价无穷小： 当0→x 时，x x ~s i n ，x x ~tan ，~ cos 1x -2 2 1x ，x x ~1e -，x x ~)1ln(+，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，~1)1(-+αx x α，~1-x a a x ln ，~ )1(log x a +a x ln ． 注：下面的表达是错误的．当0→x 时，~cos x 2 2 11x - ，x x +1~e ，~)1(αx +1+x α，~ 1)1(1-+x 11 =?x x ． ②推广的等价无穷小： 若0)(lim 0 =→x x x ?，)(x ?在0x x =某去心邻域不为0，则当0x x →时， ~)(sin x ?)(x ?，~)(tan x ?)(x ?，~ )(cos 1x ?-)(2 12 x ?， ~1e )(-x ?)(x ?，()~)(1ln x ?+)(x ?， ~)(arcsin x ?)(x ?，~)(arctan x ?)(x ?， ()~1)(1-+α?x )(x α?，~1)(-x a ?a x ln )(?，()~)(1log x a ?+a x ln )(?． 例如：当0→x 时， ~)1cos 1ln(cos ln -+=x x ~1cos -x 2 2 1x - ； []~ 1)1(cos 11cos 1 3 --+=-x x ~)1(cos 3 1-x 261 x -； x x tan sin -=~)1)(cos (tan -x x 3 2 1x - ． 四、函数的连续性和间断点类型的判定 1． 增量和改变量的概念 设变量u 从它的一个初值1u 改变到终值2u ，则称终值和初值之差12u u -为变量u 在1 u 的改变量（或增量），记为u ?， 12u u u -=? 于是，u u u ?+=12，此时，称终值2u 是变量u 在1u 给以增量u ?．显然，u ?可正可负可为零． 设函数)(x f y =在0x x =某邻域),(00δx U )0(0>δ有定义．若在0x x =给以增量 x ?，则相应函数值的改变量)()(00x f x x f -?+称之为对应的函数增量，记为y ?， )()(00x f x x f y -?+=? 2． 定义 ⑴若=?→?y x 0 lim 0)]()([lim 000 =-?+→?x f x x f x ，则称)(x f y =在0x x =连续． 其等价定义为)(x f y =在0x x =连续?0)]()([lim 00 =-→x f x f x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→． ⑵若)()0(00x f x f =-即)()(lim 00 0x f x f x x =-→，则称)(x f y =在0x x =处左连续； 若)()0(00x f x f =+，即)()(lim 00 0x f x f x x =+→，则称)(x f y =在0x x =处右连续． 由此，)(x f y =在0x x =连续?)(x f y =在0x x =处左、右连续，即 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转）） 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点 的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +? 2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: 高等数学上册复习要点 一、函数与极限 （一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点； 函数在连续 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限 左极限：右极限： 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b) c)（） d)（） e) 二、导数与微分 （一）导数 1、定义： 左导数： 右导数： 函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数 1）定义： 2）公式： （二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且 三、微分中值定理与导数的应用 （一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）； 则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）； 则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3） 则 （二）洛必达法则 同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案5-3 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 习题5-3 1. 计算下列定积分: (1)?+π ππ 2 )3 sin(dx x ; 解 02 1 2132cos 34cos ) 3 cos()3sin(2 =-=+-=+-=+?πππ πππ π πx dx x . (2)?-+1 23 ) 511(x dx ; 解 512 51 110116101) 511(2 151)511(2212 21 2 3= ?+?- =+-?=+-----?x x dx . (3)?203cos sin π???d ; 解 ??-=20 320 3sin cos cos sin π π?????d s d 4 10cos 412cos 41cos 4144204 =+-=-=π?π . (4)?-π θθ03)sin 1(d ; 解 ????-+=+=-π ππππθθθθθθθθ020 02003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d 3 4)cos 3 1(cos 0 3-=-+=πθθππ . (5)?26 2cos π πudu ; 解 222626 2 2sin 4 1 21 )2cos 1(21cos ππ ππ πππ πu u du u udu +=+=?? 8 36 )3 sin (sin 4 1)6 2(21- =-+-=π ππππ. (6)dx x ?-2 022; 解 dt t tdt t t x dx x ???+=?=-20202 2 )2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ 令 同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x) 同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); 第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ） 同济版高等数学新编课 后习题解析 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(2 11n n n x a x x + =+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+ =+221)(2 11（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(2 1 1n n n x a x x + =+两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则2 11)1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。 解：由题意：1322 31lim 1cos 1)1(lim 2203 120=-=-=--+→→a x ax x ax x x 得23 -=a 或13 2]1)1()1[(2 1 1lim 1 cos 1)1(lim 31 232 22203 1 20=- =++++?--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化） P42页3（4） 关于间断点：x x x f 1sin 1)(= 高等数学（同济大学教材第五版）复习提 纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极 限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-= 习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y ''+y '-y =2e x ; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+r -1=0, 其根为211= r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =2e x , 解得A =1, 从而y *=e x . 因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y ++=-2211. (2)y ''+a 2y =e x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+a 2=0, 其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos ax +C 2sin ax . 因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2 11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为 2 211sin cos a e ax C ax C y x +++=. (3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1; 解 微分方程的特征方程为 2r 2+5r =0, 其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=. 因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax 2+Bx +C ), 代入原方程并整理得 15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25 75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575 33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2+3r +2=0, 其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e -x +C 2e -2x . 因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax +B )e -x , 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32 3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323 (2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ; 解 微分方程的特征方程为 r 2-2r +5=0, 其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为 Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ). 因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=xe x (A cos2x +B sin2x ), 代入原方程得 习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到 解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1, 高等数学(同济大学教材第五版)复习 高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续 函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基 本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 (2)??+D d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?- +=2 22]3[ (3)??++D d y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}; (4)??+D d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区 域. 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是, ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π 00 )][sin(dx y x x x 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; (3)??+D y x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1}; 解 积分区域图如, 并且 D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}?{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.?ε，由ε<=-n
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