2.2.1向量加法运算及其几何意义(教学设计)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；

2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；

二、过程与方法：

1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

2．体会数形结合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

[教学重点]

向量加法定义的理解；向量加法的运算律．

[教学难点]

向量加法的意义

一、复习回顾，新课导入

1．物理学中，两次位移,

OA AB的结果与位移OB是相同的。

2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？

3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、师生互动，新课讲解

1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a

例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。

作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.

作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。

变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

2．归纳：

1.两个向量的和仍是一个向量。

2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.

3.当a与b共线时，

(1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.

(2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.

3. 向量加法的运算律

探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？

要求学生画图进行探索.

（1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，

因为AC AB BC

=+=a+b，AC AD DC

=+=a+b

所以，a+b=b+a

（2）如图自平面内任一点A ，作AB =a ，BC =b ，CD =c ，

因为()AD AC CD AB BC CD =+=++=(a+b)+c ，

()AD AB BD AB BC CD =+=++=a+(b+c )，

所以(a+b)+c=a+(b+c).

例2：一艘船以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

解：如图，设AD 表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，

则AC 就是船实际航行的速度，

在Rt ?ABC 中，||AB =2km/h ，||BC =，所以22||||||4AC AB BC =+=，

因为tan CAB ∠=60CAB ∠=?，答：船实际航行速度的大小为4km/h ，方向与流速间的夹角为60?。

变式训练2：摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行________千米，它向上游航行时，每小时能行___________千米.(40、10)

课堂练习1：（课本P84练习NO ：1；2；3；4）

例3：(tb0140403)化简++++（答：）

变式训练3、(tb0140603)已知正方形ABCD 的边长为1，b BC c AC a AB ===,,，则|a +b +c |为（）。

（A ）0 （B ）3 （C ）2 （D ）22

三、课堂小结，巩固反思：

1．在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义；

2．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角线形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

3．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；

四、课时必记：

1、向量的几何意义。

2、三角形法则与平行四边形法则。

五、分层作业：

A 组：

1、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：1）

2、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：2）

3、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：6）

B 组：

1、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：1）

2、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：2）

3、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.

（答：2km/h ）

4、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.

(答：1km/h)

5、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和2v .

（答：v 1；v 2=2km/h ）

6、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是

km/h ，最小是

km/h

（答：7；3）

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷一、填空题 1、向量的两个要素是：和。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为。二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是（） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）（老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

2示范教案221向量加法运算及其几何意义.doc

2.2平面向量的线性运算 2.2.1向量加法运算及其几何意义整体设计教学分析向量的加法是学生在认识的量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和的量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结含律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法更定基础，起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线1何量.在学习物理的过程中,L2经知道位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，这为本课题的引入提供了较好的条件. 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想，而在猜测向最加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中, 类比数的运算，向量也能够进行运算.运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上, 引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算. 向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上，同时还可以提醒学生注意，由于向量有方向，因此在进行1可量运算时，不但要考虑大小问题，而且要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做，有利于学生更好地把握向景加法的特点. 三维目标 1.通过经历向量加法的探究，掌握1何量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和I-J量. 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 3.通过木节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力. 重点难点教学重点:向景加法的运算及其几何意义. 教学难点:对向量加法法则定义的理解. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1?（复习导入）上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位|hj量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.另外，向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法. 思路2.（问题导入）2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲，要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米，再向西走15米，再向东走5米，最后|可南走10米，怎样计算他所在的位置？由此导入新课.

空间向量高中数学教案课程

空间向量考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有和的量． (2) 向量相等：方向且长度． (3) 向量加法法则：．(4) 向量减法法则：．(5) 数乘向量法则：．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论：．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底：的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝．

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义同步优化.doc

2. 2. 1向量加法运算及其几何意义 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.如图2-2-1所示，在圆0中,) 图2-2-1 A.有相同起点的向量 B.单位向量 C.模相等的向量 D.相等的向量解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的，所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等. 答案：C 2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P,则这些向量的终点构成的几何图形为 ___________________ . (2)把平行于直线1的所有单位向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ . (3)把平行于直线1的所有向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ ? 解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点. (1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆. (2)因为平行于直线1的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P, 则终点应为：直线1上与P的距离相等的两个点. (3)因为平行于直线1的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线1上的任意一点. 答案：(1)一个圆. ⑵直线1上与点P的距离相等的两个点. ⑶直线1上的任意一点. 3.如图2-2-2,试作出向量a与b的和a+b? (1)⑵⑶ 图2-2-2 解析：如图，首先作04 =a,再作AB=b,则OB =a+b. 0 ABO BA (1) ⑵

2020年高中数学新教材同步必修第二册第6章 6.2.1 向量的加法运算

6.2平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.

知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则

向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型. 思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二向量加法的运算律向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 1.0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2.AB →＋BC →＝AC → .( √ ) 3.AB →＋BA → ＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC → .( × ) 5.|AB →|＋|BC →|＝|AC → |.( × )

一、向量加法法则例1(1)如图①所示，求作向量a＋b. (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. →＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. 解(1)首先作向量OA

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义课后集训.doc

2. 2.1向量加法运算及其几何意义课后集训基础达标 1 ?在四边形ABCD 中，CB + AD + BA 等于（）解析：CB + AD + BA= （CB + BA ） AD = CA +AD = CD,故选 C. 答案：C 2. 在AABC 中，必有AB + C4 + BC 等于（） A.O B.O C.任一向量 D.与三角形形状有关解析：AB + G4 + BC = AC + C4=0.故应选 B. 答案：B 3. 如右图，在厶ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的屮点，则乔十丽（）解析：由于D 、E 、F 分别是AABC 三边的中点， A AF = D￡贝0乔+丽二丽+旋二庞，故应选D. 答案：D 4. 已知正方形ABCD 的边长为1 （如右图），AB=a f AC=c, BC =b,则|a+b+c|等于（） A.O B. 3 解析：如右图所示,a+b 二c, | a+b+c | =21 c | = 2V2 . A. DB B. CA C. CD D. DC A. FD B. FC D. BE c. V2 D. 2V2

???应选D.

答案：D 5.如右图所示,0是四边形ABCD对角线的交点，若a+d二c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形解析：c+b= CB , a+d=d+a= DA ???DA = CB. A ABCD为平行四边形. 答案：C 6.(1) + + ____________________________ ; (2)OB + AO + OC + CO= _______________ ; (3)(AC + BA ) +CB= ______________ ; (4)( AB + CB) +BD + DC= _______________ . 解析：(1) CD^BC^AB = CD^ ( AB + BC) =CD^AC = AC^CD = AD. (2)OB + AO + OC + CO二+ = (3)( AC + BA ) +CB = AC^BA + CB = AC+ (CB + BA) =AC + C4=0. (4)(AB + CB) +BD +5C= ( AB + BD) +5C + CB = AD + DB = AB. 答案：(1) AD (2) ~\B(3) 0 (4) ~\B 综合运用 7.下列各式中不能化简为乔的是( ) A. ( AB + CD) +BC B. (AD^MB ) + (BC + CM ) C. MB + AD + MB D. 0C + A0 + CD 答案：C &向量a、b满足|a|=6, |b|=10,则|a+b|的最大值是__________________________ ,最小值是

空间向量及其线性运算(教案)

课题：空间向量及其线性运算教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学难点：空间向量的线性运算及其性质。教学过程：一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则；二、建构数学 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+ A B C C A B A B C A B C

《向量加法运算及其几何意义》教学设计

《向量加法运算及其几何意义》教学设计一、教材分析《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。二、学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。三、设计理念教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。四、教学目标

高中数学空间向量及其运算教案

空间向量及其运算【高考导航】本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的

《向量的加法运算及其几何意义》教案

2.2.1向量加法运算及其几何意义知识目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 教学过程一、复习引入问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？ 1、什么叫向量？ 2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做。强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量

可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？二、探究新知活动一元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重庆（记作A ）到昆明（记作B ），再从B 到三亚（记作 C ），这两次的位移和可以用哪个向量表示？形成概念： 1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2．向量加法的法则 (1) 向量加法的三角形法则如图3,已知非零向量a 、b ,在平面内任取一点A,作=a ,=b ,则向量叫做a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =+=.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 (2) 向量加法的平行四边形法则如图4,以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 问题4：对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？对于零向量与任意向量a ，我们规定：a +0=0+a =a . 总结: 三角形法则 : 图 4

向量加法运算及其几何意义

各位评委：大家好！我的说课题目是向量加法运算及其意义根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。一、教材分析 1、教材的地位和作用本节内容是选自人教版高中数学必修4第2章第2节第1部分的内容是高中数学的重要内容之一。向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究，初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定了基础 2、学情分析从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生注意力易分散，喜欢发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 3、教学重难点根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的学习重点：向量加法的两个法则及其应用学习难点：对向量加法定义的理解二、教学目标分析知识目标:掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算能力目标：体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识情感目标:注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心三、教学方法分析 1、教法分析本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。 2、学法指导引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。。四、教学过程分析新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：复习引入探究深化精讲点拨当堂达标总结提升作业布置

(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案

欢迎阅读空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有和的量．(2) 向量相等：方向且长度．(3) 向量加法法则：．(4) 向量减法法则：．(5) 数乘向量法则：．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于的向量．基础过关考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝．

向量的加法及其几何意义

向量的加法及其几何意义一、教材分析高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。二、学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。三、设计理念

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。四、教学目标根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

向量的加法运算及其几何意义

向量的加法运算及其几何意义教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从a到b，再从b按原方向到c，则两次的位移和：（2）若上题改为从a到b，再从b按反方向到c，则两次的位移和：（3）某车从a到b，再从b改变方向到c，则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+ 的方向不同向，且| + || |，则+ 的方向与相同，且| + |=| |-| |；若| |４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+ 的结果与+ 是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+ = + ５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + ) 证：如图：使，，则( + ) + = ，+ ( + ) = ∴( + ) + = + ( + ) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：例二（p94—95）略