朱建国版固体物理习题答案 2
《固体物理学》习题参考
第一章
1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f =
22 a
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b =
32
a
那么，
R f R b
=23a a
=
63
1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？
答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)
答：证明
设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）
中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此
123o
o o a n hd
a n kd a n id
=== ……… (1) 正方
a=b a ^b=90° 六方
a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b
a ^b=90° 带心矩形
a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b
a ^
b ≠90°
由于a 3=–（a 1+ a 2）
313()o
o
a n a a n =-+
把（1）式的关系代入，即得
()id hd kd =-+ ()i h k =-+
根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(
13)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，
（010）→(0110)，(213)→(2133)
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：
6
π
（2）体心立方：
38
π（3）面心立方：
26
π（4）六方密堆积：
26
π（5）金刚石：
316
π。
答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：
11124
8
i f
e c Z N N
N N =+
+
+
边长为a 的立方晶胞中堆积比率为 33
4*
3
r F Z a
π
=
假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么： θ=
3
34/3(2)
r r π=
6
π
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r ，则其边长为
43
r ，那么：
θ=
3
3
2(4/3)(4/
3)
r r π*=
38
π
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r ，则其边长为22r ，那么：
θ= 3
34(4/3)(22)
r r π*=
26
π
（4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此 θ=3
2
42()
332
r a c π?=26π （5）对于金刚石结构
Z=8 38a r = 那么33
3
443*
8(
)3
3
8
r F Z a
π
π==?
?=
316
π.
1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=1.5（i+j+k ），此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′=3c 。
显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10
m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。
因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
（2）晶胞的体积= c (a b)'? = 3k (3i 3j)? =27*10-30(m 3
)
原胞的体积=c (a b)? =
1(333)(33)2
i j k i j +++ =13.5*10-30(m 3
)
1.7 六方晶胞的基失为：32
2
a a ai j =
+
，32
2
a b ai j =-
+
，c ck =
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c ）=
2
32a c
那么，倒格子的基矢为12()
b c b π?=
Ω
223i j a
a
ππ=
+
，22()
c a b π?=
Ω
223i j a
a
ππ=-
+
，
32()
a b b π?=
Ω
2k c
π
=
其第一布里渊区如图所示：
1.8 若基失a ，b ，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl ）的面间距为
2221
()()()hkl d h k l a b c
=
++
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴a 1，a 2，a 3上的截距
分别为
1a h
，
2a k
，
3a l
。该平面（ABC ）法线方向的单位矢量是
1
2
3
dh dk dl n x y z a a a =+
+
这里d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到
2
2
2
1
2
3
()(
)(
)1dh dk dl a a a ++=
故12
2
2
2
1
2
3
[(
)(
)(
)]
h k l d a a a -
=++
1.9 用波长为0.15405nm 的X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
序号 1 2 3 4 5 θ/（°）
19.611
28.136
35.156
41.156
47.769
已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距；
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
2
2
2
2
|[1cos ()]sin ()hkl I F f n h k l f n h k l ππ∞=++++++
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l ）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式
2sin (1)hkl d n θλ==
得 10
1101
1.5405
2.29510
()2sin 2sin 19.611
o
d m λ
θ-==
=?
同法得
10
2002
1.633410
()2sin d m λ
θ-=
=?
10
2113
1.337710
()2sin d m λ
θ-=
=?
10
2203
1.160910
()2sin d m λ
θ-=
=?
10
3104
1.040310
()2sin d m λ
θ-=
=?
应用立方晶系面间距公式
2
2
2
hkl a d h k l
=
++
可得晶格常数222hkl a d h k l =++
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m 为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
10
3.272510
()a m -=?
1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a ，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.
答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1a ai =
2132
2
a ai aj =
+
用正交关系式{022,i j
i j ij i j
b a ππδ≠=== 求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 111x y b b i b j =+ 222x y b b i b j =+
由112b a π= 120b a = 210b a = 222b a π= 得到下面四个方程式
11()2x y ai b i b j π+= （1）
1113(
)()02
2
x y ai aj b i b j +
+= （2）
22()0x y ai b i b j += （3）
2213(
)()22
2
x y ai aj b i b j π+
+= （4）
由（1）式可得：12x b a
π=
由（2）式可得：123y b a
π=-
由（3）式可得：20x b = 由（4）式可得：243y b a
π=
于是得出倒易点阵基矢 1223b i j a a
ππ=
-
243b j a
π=
第三章 习题答案
3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m ＝8.35×10
－27
kg ，恢复
力常数β＝15N ·m －1 解：一维单原子链的解为)
(qna t i n
Ae
X -=ω
据周期边界条件 11+=N X X ，此处N=5,代入上式即得 1)5(=-q a i e
所以 aq 5＝2π （ 为整数） 由于格波波矢取值范围：a
q a π
π
<
<-
。 则 2
52
5<
<-
故 可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：a 54π-,a 52π
-,0, a 52π,a 54π
由于2
sin
4qa m
βω
=
，代入β，m 及q 值
则得到五个频率依次为（以rad/sec 为单位）
8.06×1013
，4.99×1013
，0，4.99×1013
，8.06×1013
3.2 求证由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 ()2
12
2)
(2-
-=
ωω
π
ωρm
N
式中m
m β
ω4=是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为
N
解：对一维单原子链，()()dq q q
d q d dN ρρωωρ2?)(=== 所以()()dq
d q ωρωρ2= （1）
由色散关系2
sin
4qa m βω= 求得
2
/12
)
2
sin
1(2
42
2
cos
4qa a m
a qa m
dq
d -=
?=
ββω2
/12]
)4[(
2
ωβ-=
m
a （2）
而()π
π
ρ22Na L q =
=， 则由（1）式可得
()2
/1222/12)(2]4[222--=-=ωωπ
ωβπωρm N m a Na
由于m
m
ωβ=4 ，则总的振动模数为
()ωωωπ
ωωρd N
d N m w w m
m
2
/1220
)
(2--=
=
?
?
令
θ
ωωsin =m
，则积分限为0到2/π ， 故
()
N N
d N ==
=
-?
2
1
2
2cos cos 2π
θ
π
θθθπ
π
π
3.3 设晶体由N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为()239ωω
ωρm
N
=
解：由书上（3－69）式可得 ()()3
22
23v
v
g ω
π
ωωρ=
= （1）
由（3－71）可得 (
)
v
n
m D
3
/12
6πωω==
由此可得 n v m 323
32ωπ= ，代入（1）式得
()23
9ωω
ωρm
N
=
3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m ＝8.35×10－27kg ，另一种原子的质量M ＝4m ，力常数
β＝15N ·m －1
，试求
（1） 光学波的最高频率和最低频率
max ω和
min ω；
（2） 声学波的最高频率A
max ω； （3） 相应的声子能量（以eV 为单位）；
（4） 在300K 可以激发频率为
max ω， min ω和A
max ω的声子的数目；
（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1）m m
M Mm 54=+=
μ
Hz rad 13
13max 1007.1sec /1070.62?≈?≈=
μβ
ω
Hz rad m 13
13min 10
95.0sec /1099.52?≈?≈=
βω
Hz rad M
A
13
13max 10
48.0sec /1000.32?≈?≈=
βω
（2）eV
2
m ax
1041.4-?≈ ω eV
2
m in
10
95.3-?≈ ω eV
A 2
m ax
10
97.1-?=ω
（3）1
1/-=
kT
w e
n
221
.0max ≈∴
ωn ， 276.0min ≈
ωn ，
873
.0max ≈A
n ω
（4） 光速v
c
λ= ，m m c v c μω
π
λ2810
8.225
max
=?≈?==
∴-
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m ，而最近邻原子间的力常数交替地等于β和10β， 且
最近邻的距离为2/a ，试画出色散关系曲线，并给出0=q 和a q /π±=处的()q ω。 解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
原子的运动方程应是()()()()???---=---=++++-+n n n n n n n n n n x x x x x m x x x x x m 21212221
2122212210ββββ
即 ()n n n n x x x x m 2121221110-+=-+β
()12222121110+++-+=n n n n x x x x m β
求格波解， 令 ()?
?
?
???-=t qa n i n Ae
x ω222，()?
?
?
???-++=t qa n i n Be
x ω21212
代入运动方程，可导出线性方程组为： []
[]
??????
?=??? ??-++-=+-??
? ??---011100101122/2/2
/2/2B m A e e m
B e e m A m iqa iqa iqa iqa ωβββωβ 令
2
0ωβ
=m
，从A ，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
()
[
]
0)10)(10(112
/2
/2
/2
/4
02
22
=++----iqa iqa iqa iqa e
e
e
e
ωω
ω
可解出 (
)101
cos 20112
02
+±
=qa ωω 色散关系见下图
0=q 时，1cos =qa ，
022ωω=
+，0=-ω
β 10β β 10β
m
2
a
x 2n-1 x 2n x 2n+1 x 2n+2
a
q π
±
=时，1cos -=qa ，020ωω=+，02ωω=-
3.6．在一维双原子链中，如1>>m M ，求证
qa M
sin 21βω=
)
cos
21(22
2qa M
m m
+=βω
[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ()}]
sin )
(41[1{2
/122
21qa M m mM M m Mm
+-
-+=
βω
m M >> ，14<<∴mM
mM 由近似式)nx
x n -≈-11，）当1(< 得() }] sin ) (4211[1{2 /122 21qa M m mM mM M m +- -+=βω qa M qa M m 2 2 sin 2sin 2ββ≈ += ， qa M sin 21βω= ∴ 对2 2ω，由于m M >>，M m M ≈+ ()}] sin ) (41[1{)(2 /12 2 2qa m M mM mM M m +- ++= βω () () }] cos 44)[( 1{2 /122 2 2 qa m M Mm m M Mm m M m M m ++ +- +++≈ β }]cos 4)[(1{2 /12 2 qa M m m M m M m + +-+≈ β }c o s 42111{2 qa M m m + +≈β }c o s 1{22 qa M m m + ≈ β qa M m m 2 2cos 12+ = ∴βω)cos 21(22 qa M m m + ≈ β 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界a q 2π ± =处，声学支格波中所有 轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得 2 2cos 2ω ββm qa B A -= ，当a q 2π ± = 时 0cos =qa 且对声学 支2 /12? ? ? ??=M βω，代入上式即得： 0220=-= M m B A β β ，故A ＝0， 轻原子静止 再由（3－18）第二式得 2 2cos 2ω ββM qa A B -= ，当a q 2π ± = 时0cos =qa 且对光学支，2 /12? ? ? ??=M βω，代入上式即得 0220=-= M m A B β β 故B ＝0， 重原子静止 3.8 设固体的熔点m T 对应原子的振幅等于原子间距a 的10％的振动，推证，对于简单晶格， 接近熔点时原子的振动频率2 /1502? ? ? ??=M T k a m B ω，其中M 是原子质量。 [解] 当质量为M 的原子以频率ω及等于原子间距a 的10％的振幅振动时，其振动能为：2 2 2 2 1021 21?? ? ??==a M A M E ωω 在熔点m T 时， 原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为m B T k ，于是有m B T k a M =??? ??2 21021 ω，由此得 2 /1502? ? ? ??=M T k a m B ω 3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容]2011[32 ?? ? ??Θ-=T Nk C D B v 证明：由书（3.73）式可知() 4 3 2 9(/) 1D x T v B D x e x dx C N k T T e Θ=Θ-? 在高温时，D T Θ>>，则在整个积分范围内x 为小量，因此可将上式中被积函数化简为 () () ??? ? ??-=+ ≈ ??? ? ??+≈ -= --12112 1241 2 2 2 2 2 3 42 /2 /42 4 x x x x x x x e e x e x e x x x x 将上式代入v C 的表达式，得353119(/)360D D v B D C N k T T T T ??ΘΘ????=Θ-?? ? ????????? 323 119(/)1320D D B D N k T T T T ?? ΘΘ????=Θ-?? ? ????????? 2 13120D B N k T ?? Θ??=-?? ??????? 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为 2 ω ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：由（3－69）式知，状态密度()()3 22 23v V V g ωπ ωωρ= = 则 ()ωωπ ω ωωρεωωd v V d E D D 3 22 00232 1 ? ? = = D D v V d v V ωωω π ωωπ 43 2 3 3 2 163143 = = ? 4 3 2 163D v V ωπ = v N V D 3 /126? ?? ? ?=πω D D N v V N v V E ωωπ π 8 961633 2 3 2 0= ?= ∴ 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N 个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下 其比热正比于2 T 证明：此题可推广到任意维m ，由于 ()()ω ωd g dq q C Cdq dq q g dN m m ====-1 1 ()1 11--??? ? ??=∴dq d q C g m ω ω 而德拜模型中vq =ω，故()11--∝∝m m q g ωω ()() 22 1-??? ? ??∝∴?T k T k B B v B B e d g e T k k C ωωω ωω 令 x kT =ω ，则上式变为 () () ??-∝-∝++-p x x m x m x m x m v dx e x e T dx e x e T T C 0 2 1 2 1 1 11 在低温时 ∞→=kT x D D ω 则积分 () dx e x e x m x ?∞ +-0 2 1 1 为一个于T 无关的常数 故 m v T C ∝ 对三维 m ＝3 3 T C v ∝ 对本题研究的二维 m ＝2 2 T C v ∝ 对一维 m ＝1 T C v ∝ 3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为()a r b r e r U + - =2 ， b 为待定常数， 平 衡间距m r 10 0103-?=，求线膨胀系数。 解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 0 2 4 3r f gk B ? = α 其中：02 2 21r dr U d f ???? ???=，0 33 !31r dr U d g ???? ? ?-= 由平衡条件0910 0202 =-=??? ??r b r e dr dU r 802 9r e b =∴ 3 2 11 3 2429022r e r b r e f = + - = ， 402 120402352990661r e r b r e g =??? ? ??--= 由于 m r 80103-?= ，CGSE e 10 10806.4-?= K e r g k B /10381.116-?= K e k r B /10 46.116135 2 0-?≈= ∴α 3.13 已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为 ()()2 2 2 0z y x Cq Bq Aq q ++-=ωω ， 试求格波的频谱密度()ωρ 解：2 220z y x Cq Bq Aq ++=-ωω 则 102 02 02=-+-+-C q B q A q z y x ω ωωωωω 这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π3 4 ，而 2 /10A a ωω-= ，2 /10B b ωω-= ，2 /10C c ωω-= q 空间内的状态密度()3 3 )2(2ππρV L q =?? ? ??= ，故椭球内的总状态数N 为 () 2 /302 /13 1342ω ωππ-??? ???= ABC V N 故 ()2 /102 2 /102 /12414ABC V ABC V d dN ωωπ ω ωπωωρ-= -?? ? ??== 第四章 4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？ 答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向. 4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV ，试问当温度为300K 时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？ 答：设肖特基缺陷数为n ，格点数为N 。那么由公式 B E u k T n e N -= 可得 19 23 0.67 1.6101.3810 300 n e N --??- ??==5.682*10-12 4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV ，求该原子在1s 内跳跃的次数。 答：由公式 a B E k T o v v e -= 可得 23 0.11.3810 300 eV o v v e -- ??==2*1015*0.02=4*1013 4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n 代表正、负离子空位的对数，W 是产生一对缺陷所需要的能量，N 是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp （-W/2k B T ）； （2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V ，其中V 为原有的体积。 答： （1）设n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去n 个正离子和n 个负离子而形成的。从N 个正离子中形成n 个正离子空位的可能方式数为 1!()!! N W N n n = - 同时，从N 个负离子中形成n 个负离子空位的可能方式数也是 2!()!! N W N n n = - 于是，在整个晶体中形成n 对正、负离子空位的可能方式数 2 12![ ]()!! N W W W N n n ==- 由此而引起晶体熵的增量为 !2()!! B B N S k InW k In N n n ?==- 设形成一对正、负离子空位需要能量w ，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变 !2()!! B N F U T S nw k TIn N n n ?=?-?=-- （1） 热平衡时，( )0T F n ??=?，并应用斯特令公式!InN N InN n =-，从（1）式得 ()2[()()]2[()]20 T B B B F N n w k T N InN N n In N n nInn w k T In N n Inn w k T In n n n ???-=-----=---=-=?? 2B w k T n e N n -=- 因为实际上N?n ，于是得 n/N=Bexp （-W/2k B T ） （2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n 对正、负离子空位时，所增加的体积应该是32V na ?= 式中a 为离子最近邻距离。因为32V Na =为晶体原有的体积，有上式可得 33 22V na n V Na N ?= = 4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：/A B E k T o D D e -= 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果： T/K 878 1007 1176 1253 1322 D/m 2·s -1 1.6*10-20 4.0*10-18 1.1*10-18 4.0*10-17 1.0*10-16 试确定常数Do 和扩散激活能E A . 答：由公式 /A B E k T o D D e -=，可得 当T=878，D=1.6*10-20时，D 01= 4.7铜和硅的空位形成能Eu 分别是0.3eV 和2.8eV 。试求T=1000K 时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式 B E u k T n e N - = 可得：对于铜 5 0.38.610 1000 0.03n e N -- ??== 对于硅 5 2.815 8.610 1000 7.24710 n e N -- -??==? 4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F 带的光吸收就可得F 心的形成能E B 。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F 心的数目增加引起的，试计算F 心形成能E B 。 答： 4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。 答：如图所示： 4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。 答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。 （1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b 即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a ，则 3||2b a = （2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b 等于[101]方向上相邻格点间的距离，即 2||2b a = （3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a ，因此， ||b a = 4.11在FCC 晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为1[110]2 b =。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错 还是螺位错。 第六章 6.1 一维周期场中电子的波函数()x k ψ应满足布洛赫定理，若晶格常数为a ，电子的波函数为 （1）()x a x k π ψsin = （2）()x a i x k πψ3cos = （3）()()∑∞ -∞ =-= i k a x f x ψ （f 是某个确定的函数） 试求电子在这些状态的波矢 解：布洛赫函数为()()x e a x k ika k ψψ=+ （1）x a x a a x a π ππ π sin )sin( )(sin -=+=+ x a e a x a i k a π πs i n )(s i n =+ 1-=∴i k a e ，π±=ka ，a k π ± = （2）()x a i x a i a x a i πππ π3cos 33cos 3cos -=?? ? ??+=+ 同理，1-=∴ika e ，π±=ka ，a k π ± = （3） ()[]∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =--=+- a x f a a x f )1( ()()∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =-=-= a x f a x f '' 此处1'-= 1=i k a e ，π20或=ka ，a k π20或= 6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成()??? ??+-= ka ka ma k E 2cos 81cos 872 2 ，式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量 解：能带宽度为 m i n m a x E E E -=?， 由极值条件 ()0=dk k dE ， 得 0cos sin 2 1sin 2sin 4 1sin =- =- ka ka ka ka ka 上式的唯一解是0sin =ka 的解，此式在第一布里渊区内的解为a k π 或0= 当k ＝0时，()k E 取极小值min E ，且有()00min ==E E 当a k π = 时，()k E 取极大值max E ，且有2 2max 2ma a E E = ??? ??=π 由以上的可得能带宽度为2 2min max 2ma E E E = -=? （2）电子的平均速度为()?? ? ??-= = ka ka ma dk k dE v 2sin 41sin 1 （3）带顶和带底电子的有效质量分别为 m ka ka m k E m a k a k a k 3 22cos 21cos 1222- =? ?? ??-=?? ???? ????????=± =-±=± =*ππ π 1 22 2 1c o s c o s 222k k m m k a k a m E k -*==?? ??? ? ==-= ?? ???? ?? ????? 6.3 一维周期势场为 ()()[] ?? ???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b mW x V )1(0 2 1 2 2 2 当当， 其中b a 4= ，W 为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 n g V E 2= ， 其中n V 是周期势场()x V 傅立叶级数的系数，该系数为： ()dx e x V a V nx a i a a n π22 /2 /1--?= 求得，第一禁带宽度为 ()dx e x V a V E x a i a a g π22 /2 /112 21--? == [] dx e x b mW b nx a i b b π22 2 2 2 41 2 --? -= []dx x b x b mW b b b ?? ? ??-=? -2cos 2 412 2 2 2 π 3 2 2 8π b mW = 第二禁带宽度为 ()dx e x V a V E x a i a a g π42 /2 /212 21--? == [] dx e x b mW b x a i b b π--? -=2 2 2 2 412 []dx x b x b mW b b b ?? ? ??-=? -πcos 2 412 2 2 2 2 2 2π b mW = 6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带，画出()k E ，()k m *与 波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似， ()∑--=Rs ika e J J E k E 1 00 对一维，最近邻a R s ±= 则 ()()i k a i k a e e J J E k E -+--=100 ka J J E cos 100--= ()k E 为余弦函数 （图省） 有效质量 () ka a J k E m cos 22 1 2 2 2 2 = ??= * ()k m *的图也省 在原点附近，ka 很小，1cos ≈ka ()2122a J m ≈∴* 在布里渊区边界，a k π ±=，π±=ka ，1cos -≈ka ()2 1221 2 22a J a J m -= -≈∴* 6.5 某晶体电子的等能面是椭球面 ??? ? ??++=32322212122m k m k m k E ，坐标轴1，2，3互相垂直。 求能态密度。 《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 一、填空 1.固体按其微结构的有序程度可分为 _______、_______和准晶体。 2.组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为 _______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为 _________。 3.在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为 ______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为 ____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括 ______________晶体结构和 ______________晶体结构。 5.简单立方结构原子的配位数为 ______；体心立方结构原子的配位数为 ______。6．NaCl 结构中存在 _____个不等价原子，因此它是 _______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的 ______________格子套构而成的。 7.金刚石结构中存在 ______个不等价原子，因此它是 _________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4 的长度套构而成，晶胞中有 _____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足 a i b j 2 ij 2 ,当i j时 关系的 b1,b 2, b 3为基矢，由0，当 i （ i, j 1,2,3) j时 K h h b h b h构b成的点阵，称为 _______。 1 1 2 2 3 10.晶格常数为 a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 ________。 11.晶格常数为 a 的面心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 12.晶格常数为 a 的体心立方点阵初基元胞的体积为 _______；其第一布里渊区的体积为 _______。 13.晶格常数为 a 的简立方晶格的 (010)面间距为 ________ 14.体心立方的倒点阵是 ________________点阵，面心立方的倒点阵是 ________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15.一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是 ________________。 16.若简单立方晶格的晶格常数由 a 增大为 2a，则第一布里渊区的体积变为原来的 ___________倍。 固体物理练习题 1.晶体结构中，面心立方的配位数为 12 。 2.空间点阵学说认为 晶体内部微观结构可以看成是由一些相同的点子在三维空间作周期性无限分布 。 3.最常见的两种原胞是 固体物理学原胞、结晶学原胞 。 4.声子是 格波的能量量子 ，其能量为 ?ωq ，准动量为 ?q 。 5.倒格子基矢与正格子基矢满足 正交归一关系 。 6.玻恩-卡曼边界条件表明描述有限晶体振动状态的波矢只能取 分立的值 ， 即只能取 Na 的整数倍。 7.晶体的点缺陷类型有 热缺陷、填隙原子、杂质原子、色心 。 8.索末菲的量子自由电子气模型的四个基本假设是 自由电子近似、独立电子近似、无碰撞假设、自由电子费米气体假设 。 9.根据爱因斯坦模型，当T→0时，晶格热容量以 指数 的形式趋于零。 10.晶体结合类型有 离子结合、共价结合、金属结合、分子结合、氢键结合 。 11.在绝对零度时，自由电子基态的平均能量为 0F 5 3E 。 12.金属电子的 B m ,23nk C V = 。 13.按照惯例，面心立方原胞的基矢为 ???? ?????+=+=+=)(2)(2) (2321j i a a k i a a k j a a ，体心立方原胞基矢为 ???? ?????-+=+-=++-=)(2)(2) (2321k j i a a k j i a a k j i a a 。 14 .对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢k a j a i a R ???22++=正交的倒格子晶面族的面 指数为 122 , 其面间距为 a 32π 。 15.根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为 7大晶系 ，对应的只有14种 布拉伐格子。 16.按几何构型分类，晶体缺陷可分为 点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷 。 17. 由同种原子组成的二维密排晶体，每个原子周围有 6 个最近邻原子。 18.低温下金属的总摩尔定容热容为 3m ,bT T C V +=γ 。 19. 中子非弹性散射 是确定晶格振动谱最有效的实验方法。 1.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ 原子间存在相互作用力。 2.简述倒格子的性质。 P29~30 3. 根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献而在低温时必须考虑？ 4.线缺陷对晶体的性质有何影响？举例说明。 P169 5.简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：P9组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：P9将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 6.为什么许多金属为密积结构? 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性， 它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵) 1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 固体物理学题库 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、 填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠? 当时 （，当时关系的123,,b b b 为基矢，由 112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=?? 第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。 一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢： 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 一 名词解释 原胞 布喇菲点阵 结点 第一布里渊区 肖脱基缺陷 弗兰克尔缺陷 费米面 费米能量 费米温度 绝热近似 肖特基效应 德哈斯—范阿尔芬效应 马德隆常数 二 简答题 1. 简述Si 的晶体结构的主要特征 2. 证明面心立方的倒格子为体心立方 3. 按对称类型分类，布拉菲格子的点群类型有几种？空间群类型有几种？晶体结构的点群类型有几种？空间群类型有几种？ 4. 晶体的宏观对称性中，独立的对称操作元素有那些？ 5. 劳厄方程 布拉格公式 6. 固体结合的五种基本形式 7. 写出离子晶体结合能的一般表达式，求出平衡态时的离子间距。 8. 点缺陷基本类型 9. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。 10. 接触电势差产生的原因 11. 请用自由电子气理论解释常温下金属中电子的比热容很小的原因。 12. 简要解释作为能带理论的三个基本近似：绝热近似、单电子近似和周期场近似。 13. 简述布洛赫定理 14. 试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点 15. 为什么有的半导体霍尔系数取正值，有的取负值。 16. 自由电子气模型基本假定 17. 能带理论基本假设 三 计算题 1. 某晶体具有面心立方结构，其晶格常数为a 。 （1）写出原胞基矢。 （2）求倒格子基矢，并指出倒格子是什么类型的布喇菲格子。 2. 简单立方晶格中，每个原胞中含有一个原子，每个原子只有一个价电子，使用紧束缚近 似，只计入近邻相互作用。 1) 求出s 态组成的s 能带的E(k)函数。 2) 给出s 能带带顶和带底的位置和能量值。 3) 求电子在能带底部和顶部的有效质量。 5) 求出电子运动的速度。 3.知Si 中只含施主杂质N = 1015 cm -3 D ，求载流子浓度？ 4.假设某二价元素晶体的结构是简立方点阵。试证明第一布里渊区角偶点??? ??a a a πππ,,的自由电子动能为区边中心点?? ? ??0,0,a π的三倍。 5. 金属钠是体心立方晶格，晶格常数a =3.5?，假如每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导T=0K 时金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（?=1.05×10-34J ·s ，m=9.1×10-35W ·s 3/cm 2，1eV=1.6×10-19J ） 6. 平时留过的作业题 固体物理经典复习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 1 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空 间无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶 体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢 2008级电技专业《固体物理学》测验题 一、 （40分）简要回答： 1、 什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。 2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和 结合键的类型。 3、 试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作 用效果并给出其等效对称要素。 4、 什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为 多少？ 5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。 6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势 能函数有何特点？ 7、 什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？ 二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。试画出 该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。 三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子 并讨论x 射线衍射时的消光规律。 四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动 的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。 五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢 为： k c a j a i a a j a i a a =+-=+=321232232 试求 （1） 倒格子基矢； （2） 晶面蔟（210）的面间距； （3） 试画出以21,a a 为基矢的二维晶格的第一、第二 和第三布里渊区。 六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为： ) 2cos 81 cos 87()(22 ka ka ma k E +-= 式中a 是晶格常数，试求： （1） 能带的宽度； （2） 电子在波矢k 态时的速度； （3） 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。 《固体物理学》测验参考答案 一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？ 答：晶体结构=空间点阵+基元。 2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？ 答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。 3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式 中吸引力的来源。 答：晶体的典型型方式有如下五种： 离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力； 共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力； 金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力； 分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力 氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间 的库仑引力。 4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模 式的取值数各为多少？ 答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。 5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理 意义。 固体物理总复习题 一、填空题 1．原胞是 的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含 个原子。 2．在三维晶格中，对一定的波矢q ，有 支声学波， 支光学波。 3．电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 形式，式中 在晶格平移下保持不变。 4．如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 ；能带的表示有 、 、 三种图式。 5．按结构划分，晶体可分为 大晶系，共 布喇菲格子。 6．由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为 格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。 7．电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为 ；没有任何电子占据的能带，称为 ；导带以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为 ；最下面的一个空带称为 ；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 。 8.基本对称操作包 括 ， ， 三种操作。 9.包含一个n 重转轴和n 个垂直的二重轴的点群叫 。 10.在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为 。 11.具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为 。 12.在自由电子近似的模型中， 随位置变化小，当作 来处理。 13.晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作 处理。这是晶体中描述电子状态的 模型。 14.固体可分 为，， 。 15.典型的晶格结构具有简立方结 构，，，四种结构。 16.在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在 K= 处 断开，能量的突变为。 17.在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电 子共有化运动的轨道称为，表达式 为。 18．爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动，忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。 19．固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在即存在于。 20．晶体的五种典型的结合形式是、、、、。 21．两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是 的电子。 22．固体能带论的三个基本假设是：、、 。 23．费米能量与和因素有关。 二、名词解释 1．声子；2.；布拉伐格子；3. 布里渊散射；4. 能带理论的基本假设. 5．费米能；6. 晶体的晶面；7. 喇曼散射；8. 近自由电子近似。 9.晶体；10. 布里渊散射；11. 晶格；12. 喇曼散射； 三、简述题 1．试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。 2．什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？ 《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010） 正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b 一、填空 1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。 2. 组成粒子在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒子在空间中的分布完全无序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。 3. 在晶体结构中，所有原子完全等价的晶格称为______________；而晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子的晶格称为____________。 4晶体结构的最大配位数是____；具有最大配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。 5. 简单立方结构原子的配位数为______；体心立方结构原子的配位数为______。 6．NaCl 结构中存在_____个不等价原子，因此它是_______晶格，它是由氯离子和钠离子各自构成的______________格子套构而成的。 7. 金刚石结构中存在______个不等价原子，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有_____个碳原子。 8. 以结晶学元胞（单胞）的基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为________指数。 9. 满足2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?r r 当时 （，当时 关系的123,,b b b r r r 为基矢，由112233h K hb h b h b =++r r r r 构成的点阵，称为_______。 10. 晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为________。 11. 晶格常数为a 的面心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 12. 晶格常数为a 的体心立方点阵初基元胞的体积为_______；其第一布里渊区的体积为_______。 13. 晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为________ 14. 体心立方的倒点阵是________________点阵，面心立方的倒点阵是________________点阵，简单立方的倒点阵是________________。 15. 一个二维正方晶格的第一布里渊区形状是________________。 16. 若简单立方晶格的晶格常数由a 增大为2a ，则第一布里渊区的体积变为原来的___________倍。 固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。 4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1，单斜2，正交 4，四角 2，立方3，三角1，六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能 量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 6.惰性气体晶体：惰性气体所形成的晶体是最简单的晶体，其晶态原子的电子分布非常接近于自由态原子的电子分布，在晶体中，这些惰性气体原子尽可能紧密地堆积在一起。惰性气体原子具有闭合电子壳层，电荷分布是对称的。 7.德拜模型：德拜模型是德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。固体物理学》概念和习题 答案
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