七年级数学下第六章 实数培优

第六章 实 数

6.1平方根

一、基础知识

1、算数平方根：如果一个正数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的算数平方根，记为a 。a 叫做被开方数。

2、无限不循环小数：小数位数无限，且小数部分不循环的小数。

3、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。

4、开平方：求一个数的平方根的运算。

二、应知应会

1、求简单数的平方根。

2、估计一个数的算术平方根。

3、根据平方根的性质求被开方数的取值。

三、方法规律

1、0的算术平方根是0。

2、被开方数越大，对应的算术平方根也越大。

3、正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根。

4、算数平方根的求法：求一个正数的算数平方根就是要找一个正数，使它的平方等于这个数。

5、若a ＞1，则a ＜a ，且a 增大102n 倍，a 增大10n

倍；若a ＜1，则a ＞a;且a 减小102n 倍，a 减小10n

倍；即当已知数a 的小数点向右（或向左）每移动二位时，它的算术平方根a 的小数点向右（或向左）每移动一位。

四、题型分析

1、求平方根：

例：1、求4的算术平方根，易将与计算4混淆。

2、求16

91、24-）（的值，带分数应化为假分数后求值，并注意算术平方根的非负性。

2、利用平方根的性质求值：

例：1、求x 的值：9（3x+2）2-64=0，将平方看做整体，求出整体值后开方计算x 的值，注意平方根有两个，应进行分类讨论。

2、已知2a-1与-a+2是m 的平方根，求m 的值。注意分类讨论。

3、若02=-+-y y x ，则x y+1

= 3、确定算术平方根的取值范围

例：1、若x x -=-3)32（，则x 的取值范围是？

2、若k ＜90＜k+1，则k=

3、已知9+7与9-7的小数部分分别为x ，y ，你能求出3x+2y 的值吗？试试看。

4、设2的整数部分为a ，小数部分为b ，求-16ab-8b 2

的立方根。 五、拓展应用

1、若2)-x （=3，则x=（ ）；若x 2=(7

1)2，则x=（ ）. 2、 判断正误

⑴-a 没有平方根 （ ） ⑵、2-3的相反数为2-3（ ） ⑷若a ＜1，则a ＞a （ ） ⑸、平方根是本身的数是1和0（ ） ⑹、若x 有意义，则x ＞0( )

3、化简：2

-3）（π。

4、若16.7=2.676，a =26.76，则a 的值等于。

5、满足-2

6、下列计算正确的是（ ）

A ．4=±2

B ．(99819-2==）（ C.636=± D.29-=9 7、以下语句及写成式子正确的是（ ）

A.7是49的算术平方根，即49=±7

B.7是（-7）2的算数平方根，即27-）（=7

C.±7是49的平方根，即±49=7

D.±7是49的平方根，即49=±7

8、设x 、y 为实数，且y=4+x -5+5-x ，则y x -的值是（ ）

9、已知：（1-2）2=3-22，那么3-22的平方根是（ ）。 10、已知：b a b a y x --?-+=-+-200620067263，求x 与y 的值。

11、已知实数m 满足2005-m +|2003-m|-1=m ， m-20042

+20的平方根为 12、若方程 x 4-x =0；则x = _________。

13、研究下列算式，你会发现有什么规律？ 请你找出规律，并用公式表示出来。 12×1+=4=2；14×2+=9=3；15×3+=16=4；16×4+=25=5；…

14、请你按照下面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）。 211111-1112111122=++=++6

11121-2113121122=++=++ 12

11131-3114131122=++=++

146.2立方根

一、基础知识

1、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。

2、开立方：求一个数的立方根的运算。 二、应知应会

1、求简单数的立方根。

2、估计一个数的立方根。

三、方法规律

1、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

2、33-a a -=

3、被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，开立方后的结果向相同的方向移动一位。

四、拓展应用

1、写出满足下列各式规律的一般公式：3722=2372；3326332633=；3363

446344=

2、313-y 和321x -互为相反数，求y

x 的值。 3、一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的n 倍呢？

4、已知m ，n 是有理数，且(25+)m+(3-25)n+7=0，求m ，n 的值。

5、已知a ，b ，c 满足等式：3b a -+4c =16，且x=求x=4b a --3c 的取值范围。

6.3实数

一、基础知识

1、无理数：无限不循环小数。

2、实数：有理数和无理数统称实数。

3、数a 的相反数是-a 。

4、一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

二、应知应会

1、表示一个数的相反数、绝对值。

2、进行实数的运算。

3、数轴上的点与实数对应。

4、有理数与无理数的辨别。

三、方法规律

1、在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

2、要求精确度的运算中，计算过程的保留位数应比最终要求的精确度多一位。

3、被开方数大，它的算术平方根也大，立方根大的原数也大。

4、无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。

四、题型分析

1、化简题：结合数轴，判断正负。

2、比较大小：确定n 次方根的取值范围，熟记常见的方根的近视值，将带方根的项变为其近视值，便于比较。

3、计算题：利用法则、定律化简。注意出绝对值、算术平方根时先判断正负，并整体加括号，出括号时注意变号，省略步骤容易出现错误。

五、拓展应用

1、写出两个和为1的无理数。

2、已知a=22，b=33，c=5

5，则大小关系是（ ）。 6.3小结

一、知识梳理

方根 无理数 实数

二、思想归纳

1、分类讨论的思想：含绝对值、开方的问题，运用分类思想解题，防止漏解。

2、数形结合的思想：把实数与数轴上的点有机结合起来，可形象直观、化难为易。

三、方法技巧：实数大小的比较

1、差值比较法：差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a －b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a －b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a －b ＝0，得到a=b 。 例：比较5

1-3与51的大小。 2、商值比较法：商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 的商。 当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b

a =1时，a=

b 。来比较a 与b 的大小。 3、倒数比较法：倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数， 再根据当

a 1＞

b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。 例：比较2004－2003与2005－2004的大小

4、平方比较法：平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由a 2＞2得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例：比较-15与-2

7的大小。 5、估算比较法：估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例：比较8

3-13与81的大小。 6、移动因式法：移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a b 与c d

的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例：比较27与33的大小。

7、取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例：当时x 2，x ，x

1的大小。 8、法则比较法：比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

9、数轴比较法：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

10、估值比较法：对任意两个正实数a 、b ，先估算出a 、b 两数的取值范围，再进行比较。 例：比较535-12与3

3的大小。 11、放缩比较法：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。如果a

12、根式定义法：该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。

例：比较

的大小。 13、分子有理化法 例：比较17-4与4-15的大小。

14、凑整余数法：分数接近整，凑余比较它

例：比较?109与?11

10的大小 15、同母（子）法：分母或子像，比较另一样

16、“相同”法：两个数都是幂的形式，只要把它们化为同底数的幂或同指数的幂就可以比较出大小了。

17、规律法

18、拆项法

四、分析思路

1、以概念性质为解题依据，通过逻辑推理方法

例：设a 、b 是两个不相等的有理数，试判断实数3

3++b a 是有理数还是无理数，并说明理由。 说明：根据“有理数与无理数相乘后仍为无理数”，利用反证法解题。

练习：已知m ，n 是有理数，且()()752325+-++n m =0，求m ，n 的值。

2、根据题型及已知条件，确定涉及的概念定理，依据概念定理解题。 例：已知x=199333342???? ??--+--+-a a a a a ，求x 的个位数字。

说明：首先通过审题发现，题面是一个多项式的n 次方，其所涉及的相关概念有：分数分母不为0、平方根被开方数为非负数；按照经验，应先依据上述概念化简多项式，并根据所求结果可知多项式会化简为一个数，然后通过特殊一般的思想，求出最终结果。 练习：已知5=a ，14=b ，则063.0=( ) 。

五、拓展运用

1、如图网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，

那么新正方形的边长是（ ）。

2、在1,2,3……2003,2004中，无理数的个数有________个。

3、设等式y a a x a y a a x a ---=

-+-)()(在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，求x+y 的值。

4、已知a 、b 为正数，则下列命题成立的： 若a+b=2，则ab ≤1；若a+b=3，则ab ≤23；若a+b=6则ab ≤3；根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则ab ≤（ ）。

5、已知实数a 满足2000-1999-+a a =a ，则a-19992=（ ）。

6、已知实数a 满足a+332a a +=0，那么11++-a a =（ ）。

7、设A=26+，B=35+则A 、B 中数值较小的是（ ）。

8、在实数范围内解方程y x x 21-+-+-ππ=5.28则x= ，y=。

9、使式子x

x -2-52

有意义的x 的取值范围是。

10、若0＜a ＜1，且a+a 1=6则a

a 1-的值为。 11、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值恒为负数。

12、已知x 、y 是实数，且（x-y+1）2与335--y x 互为相反数，求x 、y 的值。