华科微积分辅导书习题答案4
习题4解答（编写：金建华）
1、填空题： （1）x
x
x x 30sin 2sin 2lim
-→= 。 解 3468)2(61
lim 2sin 2lim 3
3
3===-=x
x x x x l （用到361~sin x x x -，据台劳公式）； （2）函数233x x y -=在 是单调减少。
解 200)2(3632≤≤?≤-=-='x x x x x y ，填[0，2]或（0，2）； （3）曲线x xe y 3-=的拐点坐标是 。
解 x x x e x xe e y 333)31(3----=-='，)311(3)31(33333x e e x e y x x x -+-=---=''--- 3200=
?=''x y ，显然y ''在0x 两侧变号，故所求点)32
,32(2e
（4）曲线26x x e y x +-=在区间 是凹的（即向上凹）。
解 x e y x 26+-='，2+=''x e y ，),(0+∞-∞∈?≥''x y 为所求 （5）函数43384)(x x x f -+=的极大值是 。
解 )2(121224)(232x x x x x f -=-='在2=x 两侧变号，左正右负，2=x 为极大值点，极大值为20)2(=f 。
（6）函数)10(≠a a a x ，〉的n 阶麦克劳林多项式是 。
解 a
x x
e
a ln =在0=x 的Taylor 多项式由x
e 的展式来写：
a x n a x a x a n n x ln !
1
ln !21ln 122+++
+= （7）曲线)/1ln(x e x y -=的斜渐近方程为 。
解 1)1
l n (l i m
l i m =-==∞
→∞
→x
e x y
k x x ， e
x ex x e x e x e x x y b x 1/1)
11ln(lim
/1ln )1ln(lim )1)1(ln(lim )(lim -?-=--=--=-=∞→ 故所求为e
x y 1
-=。
（8）抛物线2
4x x y -=在其顶点处的曲率为 。
解 2,24-=''-='y x y ，顶点处2=x ，0)2(='y ，2)2(-=''y ，2=∴k 。
（9）2
2
11lim
x
x x x --++→= 。 解 x x
x x x x x x
x
x
l 2lim
4
111111lim 412121121
lim
-=+-?+--=
--+=.
41
111
-=--x
x （注，用)(81211122x o x x x +-+=+更好：
此时，分子=22224
1
~2)(8121181211x x o x x x x --+--+-+
.） （10）若2)()
()(l i m
000
=--→n
x x x x x f x f （n 为正整数）
，则当n 为奇数时，)(x f 在x =0x 处 ，当n 为偶数时，)(x f 在0x x =处 。
解 条件?分式最终为正（极限的保号性）。于是n 偶时，)(,0)()(00x f x f x f ≥-极小；n 奇时，)()(0x f x f -与0x x -同号.)(0x f 非极值.
（11）曲线x xe y -=的拐点为 ，且该曲线在区间 上凹，在区间 下凹。
解 x x xe e y ---='，x x xe e y --+-=''2，令0=''y ，得2=x 。
当2
解 设在点0x 极大，则0)(0='x f ，于是00)()()0()0(x f x f f f ξ''='-'='， 00)()()()(x a y f x f a f a f -''='-'='，
于是 Ma x a x M x a y f x f a f f =-+≤-''+''='+')()()()()0(0000ξ
2．选择题
（1） 函数1)(2+=x x f 和12)(g +=x x ，在区间[]1,0上满足柯西定理的ξ等于（ ）
（A ）
21 （B ）1 （C ）31 （D ）41 解 2
12122=?=ξξ （A ）
（2） 罗尔定理中的三个条件：)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且)()(b f a f =是
)(x f 在()b a ,内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 成立的（ ）。 （A ）必要条件 （B ）充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件。 解 充分条件
（B ）
（3）下列函数中在[]e ,1上满足拉格朗定理条件的是（ ）
（A ）)
ln(ln x （B ）x ln (C)
x
ln 1
(D))2ln(x -。 解 x ln 在],1[e 满足（B ）
(4) 设0
lim
x x →)
()(x g x f 为未定型，则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是0()
lim ()x x f x g x →也存在的（ ）
（A ）必要条件 （B ）充要条件 （C ）充分条件 （D ）既非充分也非必要条 解 充分 （C ）
（5）若在区间),(b a 函数)(x f 的0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),(b a 内是（ ）
（A ）单调减少，曲线上凹 （B ）单调减少，曲线下凹 （C ）单调增加，曲线上凹 （D ）单调增加，曲线下凹 解 0>'f 对应单增，0<''f 对应上凸，于是（D ）形为右图。
（6）设)(x f 在（0，+∞）内可导，且0)(>'x f ，若0)0(=f ，则在（+∞,0）内有（ ）
（A ）0)(≥x f （B ）0)(>x f
（C ）)(x f 单调趋向于+∞ （D ）)(x f
解 注意在0=x 处，函数可能不连续，选（D ）. 反例形为右图。 （7）设a
x →lim
2
)()
()(a x a f x f --=1，则在a x =处（ ）
（A ）)(x f 的导数存在，且0)(≠'a f （B ）)(x f 的导数不存在 （C ）)(x f 取得极小值 （D ）)(x f 取得极大值
解 极小值，同1（10），选（C ） （8）函数342x x y -=有（ ）
（A ） 一个极大值和一个极小值 （B ）两个极大值 （C ）两个极小值 （D ） 一个极小值，无极大值
解 )2(3-=x x y ， 一个极小值（D ）图形如右
（9）设)(x g 在（-+∞∞,）上严格单调减少，)(x f 在0x x =处有极值，则（ ）
（A ）[])(x f g 在0x x =处有极小值 （B ）[])(x f g 在0x x =处有极大值 （C ）[])(x f g 在0x x =处有最小值
（D ）[])(x f g 在0x x =处既无极大值，也无最小值
解 ))(())(()()(00x f g x f g x f x f ≥?≤，故为极小值.（A ）
（10）曲线x
e y x +=1（ ）
（A ）有一个拐点 （B ）有两个拐点 （C ）有三个拐点 （D ）无拐点
解 x
x e x x e y 2
)
1(11+++='， x x x x x e x x x x x e e x e x x e y 3
22
332)
1(1]2)1(2)1[()1()1(2)1(21++=++-++=++++=''， 它在1-=x 两侧变号，但1-=x 为无定义点，故无拐点（D ）
（11）设)(x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间（-1，1）上可导，且0)0(,)(=≤'f M x f ，则必有（ ）
（A ）M x f ≥)( （B ）M x f >)(
（C ）M x f ≤)( （D ）M x f <)( 解 1)()0()()(?≤'=-=M x f f x f x f ξ
选（C ）
（12）若0)(>''x f ，则)1(f '、)2(f '、)1()2(f f -的大小关系为（ ）
（A ）)1()2()1()2(f f f f ->'>'
（B ）)1()2()1()2(f f f f '>'>- （C ）)1()1()2()2(f f f f '>->' （D ）)2()1()2()1(f f f f '>->'
解 f f '?>''0 ，故)2()()1()2()1(f f f f f '<'=-<'ξ 选（C ） （13）设)(x f 有二阶连续导数，且x
x f f x )
(lim
,0)0(0
''='→=1，则（ ） （A ）的极大值是)()0(x f f （B ）的极小值是)()0(x f f
（C ）的拐点）是曲线，（)()0(0x f y f =
（D ）的拐点）也不是曲线，的极值，（不是)()0(0)()0(x f y f x f f =
解
f x
x f ''?>→''01)
(与x 同号，故推出0)(>''x f .结合0)0(='f ，选（B ） （14）曲线2
/1x e
y =)
2)(1(1
arctan
2+-++x x x x 的渐近线有（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条
解 0→x 时，∞→y ，故得一条垂直渐近线1=x ；±
→1x 时arctan(*)
2
π
±→，非垂
直渐近线，类似2-=x 也不是，再∞→x 时，4
π
→
y ，得水平渐近线。选（B ）
（15）设函数的极值点，则必有为连续，若
在)()(00x f x x x x f =（ ） （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f
（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在 （D ）)(0x f '不存在 解 选（C ）这是两种情形：
3．求下列极限：
（1）x x x
x x x ln )1(ln 1lim
1
---→ （2）??
????-+→x x x 1)1ln(1lim 0
（3）1100
/1lim x
x e
x
-
→? （4）x
x x ??
? ??+→1ln lim 0 解：使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。 （1）令 t x =-1，（分子化简用到：)(2
1)1ln(22
x o x x x +-
=+，下题也是） 21))
(21
)(1(lim )1ln()1ln()1(lim ln )1(ln 1lim 222001-=+-+-=+++-=---→→→t t o t t t t t t t t t x x x x x t t x （2）2
1
21lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[
lim 22
000==++-=-+→→→x x
x x x x x x x x x （3）令 21
x
u =
，化简到分式后使用洛必达法则 3
1100
1lim
x x e
x -
→= 0!50lim 50lim lim lim 495050=====+∞→+∞→+∞→-+∞
→u u u
u u u u
u e e u e u e
u （4）令 x
t 1
=
，化简后使用洛必达法则 x
x e x
x x
x x x
x 1
1ln
ln lim exp lim )1(ln lim 0
)
1ln(ln 00+
++→→→== = 111ln 1lim )ln(ln lim ==?
+→+→t
t t t t t e e ωω
4．已知)(x f 在0=x 处有三阶导数，且3)0(,2)0(,0)0(,0)0(='''=''='=f f f f ，求极限
3
20)(lim x x x f x -→. 解一：由)(x f 在0=x 处Taylor 公式，得：)(!
33)(33
2
x o x x x f ++
=，于是 21)
(21l i m )(l i m 333
32
0=+=-→x
x o x x x x f x ； 解二：由洛必达法则也可以。注意0/0型条件的检验。
x x f x
x x f x x x f x x x 2)(lim 6132)(lim )(lim 020320-''=-'=-→→→21
)0(610)0()(lim 610='''=-''-''=→f x f x f x （注：最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！因为三阶导函数可以不存在） 5．证明下列不等式
（1）当10< x e x -+< 112 解：设)1()1()(2x e x x f x +--=，原不等式0)( )(04)(,1)21()(22x f xe x f x e x f x x '?<-=''--='在(0,1)内单调减，且0)0(='f )(0)(x f x f ?<' 在(0,1)内单调减，又由0)0(=f ，故在(0,1)内0)( x e x x e x x x -+< ≠+<-∴1111)1(2 2故 （2）当1 e x -≤ 11 解：作函数1)0(,)1()(=-=f e x x f x x xe x f -=')(=00=?x ，因0=x 为)(x f 的唯一驻点，且当0>x 时0)(<'x f ，当0 1)0()1()(=≤-=f e x x f x ，因1 e x -≤ 11. （3）当5≥x 时，2 2x x > 解：令)5(2)(2 ≥=x x x F x ， 4 ) 22ln (2)(x x x x F x -?=' 因当5≥x 时，016 ln 22ln 422ln 2>=->-e x ，故0)(>'x F ，从而1)5()(>>F x F )5(22 ≥>∴x x x . （4）比较12-和)21ln(+的大小 解：因2 1112+= -，故问题在于比较)21ln(+与 2 11+之大小， 令02 1 2ln )2(,1ln )(>-=-=f x x x f )2(01 1)(2≥>+= 'x x x x f 则)2(0)2()(>>>x f x f 令 21+=x ，即得12)21ln(->+. 6．求下列函数的极值： （1）)1()2()(2 -+=x x x f 解：)2(3)2()1)(2(2)(2 +=++-+='x x x x x x f = 00,2=-=?x x f 2 -1 06)0(,66)(>=''+=''f x x f f ∴在0=x 处取得极小值，且4)0(-=f 06)2(<-=-''f ，f ∴在2-=x 处取得极大值，且0)2(=-f （2）22)13()(e x x e x f x +++=- 解：)1)(2()(x x e x f x -+='-=1,20=-=?x x . )3()(2--=''-x x e x f x 03)2(2>=-''e f ，)(x f ∴在2-=x 处取得极小值，且极小值为0)2(=-f 03)1(1<-=''-e f ，)(x f ∴在1=x 处取得极大值，且极大值为215)1(e e f +=- （3）???≤+>=0 ,10 ,)(2x x x x x f x 解：)0(1lim lim )(lim 20 20 f e x x f xlar x x x x ====+ + +→→→ )0(1)1(lim )(lim 0 f x x f x x ==+=- -→→ )(x f ∴在0=x 处连续，从而)(x f 在),(+∞-∞内处处连续. ?? ?<>+='0 , 10 ), ln 1(2)(2x x x x x f x 在1=x 处，)(x f 不可导，令 x x f 10)(= ?=' 由上面的表可知，)(x f 的极大值为1)0(=f ，极小值为e e e f 2 )1 (-=. 7．已知92)(23+++=bx ax x x f 有两个极值点2,1==x x ，求)(x f 的极大值与极小值. 解：b ax x x f ++='26)( 由 ?? ?=++='=++=') 2(0424)2()1(0 26)1(b a f b a f 从中解得12,9=-=b a 即得 91292)(2 3 ++-=x x x x f ， 06)1(,1812)(<-=''-=''f x x f )(x f ∴在1=x 处取得极大值，且14)1(=f )(,06)2(x f f ∴>=''在2=x 处取得极小值，且13)2(=f . 8．求2 2)(x e x x f -=在),(+∞-∞内最大值和最小值. 解：)1(2)(22x xe x f x -='-=1,00±=?x . 022lim lim lim )(lim 2 2 2 22====+∞ →+∞ →-+∞ →+∞ →x x x x x x x xe x e x e x x f ， 0lim )(lim 2 2==-∞ →-∞ →x x x e x x f )(,)1(,0)0(1x f e f f ∴=±=-在),(+∞-∞内最大值为1-e ，最小值为0. 9．求下列曲线的渐近线： （1）2 3x x y -= 解：33lim 2 3±=∴∞=-±→x x x x 为垂直渐近线. 0,03l i m 2 =∴=-∞→y x x x 为水平渐近线. （2）1 1 +-= x x y 解：11 1 lim 11lim 1 =+-=∝+-∞→-→x x x x x x 1-=∴x 为垂直渐近线，1=y 为水平渐近线. 10．研究方程0ln =+A x x 实根的个数. 解：令A x x x f +=ln )(，则1ln )(+='x x f = x 1 0= ? +∞==+∞ →→+ )(lim ,)(lim 0 x f A x f x x （1）若0≤A ，则在)1 ,0(e 内方程无根，在),1(+∞e 内方程有一根. （2）若e A /10<<，则方程在)1,0(e 与),1(+∞e 内各有一根. （3）若e A 1= ，则极小值0)1(=e f ，在)1,0(e 内0)(>x f ，在),1 (+∞e 内0)(>x f ，即方 程只有一个实根. ) 1(.9x x y ln = （4）若e A 1> ，则极小值0)1 (>e f ，从而在),0(+∞内0)(>x f ，方程无实根. 11．设n a a a ,,,21 满足01 2)1(312 1=--++- -n a a a n n 的实数，证明 0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在开区间)2 , 0(π 内至少有一个实根. 解：设x n a n x a x a x f n )12sin(1 213sin 31sin )(21--+++= 在]2,0[π内满足Rolle 定理条件：01 21)1(31)2(,0)0(121=--++-==-n n a n a a f f π )2, 0(π ζ∈?∴，使得0)(='ζf ， 即在)2 ,0(π 内有x -满足 0)12c o s (3c o s c o s 21=-+++x n a x a x a n 12．设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可微，试证存在),(,b a ∈ηξ，使得()()2a b f f ξηη +''= 。 证：首先由拉格朗日中值定理，得 ),(b a ∈?ξ使a b a f b f f --= ') ()()(ξ， 其次针对)(x f 以及2)(x x f =在],[b a 上，由Cauchy 中值定理知，存在),(b a ∈η使 ηη2) ()()(2 2f a b a f b f '=-- 两式联手即得。 13．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)0(=f .证明在)1,0(内至少存在一点ζ，使)()1()(ζζζf f '-=. 证：令)1)(()(-=x x f x F ，则)(x F 在]1,0[上满足Th R -条件，则存在)1,0(∈ζ，使 0)(='ζF 即)()1()(0)()1)((ζζζζζζf f f f '-=?=+-' 14．设)(,0x f b a <<在],[b a 上连续，在),(b a 内可微，证明在),(b a 内至少存在一点ζ，使得a b f a f b f ln )()()(ζζ'=-. 证：令x x g ln )(=，将)(x f 及)(x g 在],[b a 上应用柯西中值定理，则有 ),(,1) (ln ln )()(b a f a b a f b f ∈'=--ζζ ζ 即 a b f a f b f ln )()()(ζζ'=- 15．设)(x f 在]1,0[上具有二阶导数，且1)(min ,0)1()0(1 0-===< )1,0(∈ζ，使8)(≥''ζf . 解：设)(x f 在a x =处))1,0((∈a 取得最小值，则1)(,0)(-=='a f a f ，由台劳公式 2))((2 1 ))(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ζ， 当1,0==x x 时 21)(21 ))(()()0(a f a a f a f f ζ''+ -'+= 2 2)1)((2 1)1)(()()1(a f a a f a f f -''+-'+=ζ 因 0)(,1)(,0)1()0(='-===a f a f f f 则有 )0(,2)(121a a f <<=''ζζ ， )0(,)1(2 )(22 2 a a f <<-=''ζζ 于是若21< a 时，)8(1>''ζf ；2 1 ≥a 时，8)(2≥''ζf .由此可得8)(≥''ζf .)10(<<ζ 16．由2,8,0x y x y ===所围成的曲边三角形OAB ，在曲边)8,(2≤≤=x a x y OB 上求一点C ，使得过此点所作2x y =之切线与OB OA ,所围成的三角形面积最大. 解：设过曲线2x y =上点),(b x c 处的切线方程为)(x X y y Y -'=-， 将2x y =代入上式得)(2x X x y Y -=- 此切线与0,8==Y X 的交点纵坐标与横坐标分别为 2)8(2x x x Y +-=，2 x X = 切线与0,8==y x 所围成的三角形的面积为 ])8(2)[28(21)(2x x x x x s +--= 于是 641643)(2+-='x x x s = 3 16 0=?x 及16=x （舍去） 因为只有一个极值点，所以，当316=x 时，)(x s 取得最大值，故所求的点是)9 256 , 316(. 17．作出函数x x y ln =的图形 解：（1）定义域),0(+∞ （2）3 23 ln 2,ln 1x x y x x y -=''-=' 令 2/30,0e x y e x y =?=''=?=' （3）导数符号变化区间如下： 极大值为e e y )(= ，拐点为)2,(2/32 /3e e （4）渐近线 0ln lim 0=-∞=+→x x x x 为垂直渐近线 001 lim ln lim ===+∞→+∞→y x x x x x 为水平渐近线. 18．求曲线2)1(2-=x y 的最小曲率半径 解：4), 1(4=''-='y x y ， 2 /322/32] )1(161[4 )1(-+=+''= x y y K ，K 最大R ?最小?左式中分母最小1=?x 。最小曲率半径4 1 = R 。 第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 第四章 习题参考解答 习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数 （1）是一阶微分方程； （2）不是微分方程； （3）是一阶微分方程； （4）是二阶微分方程； （5）是一阶微分方程； （6）是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? （1）（B ）是特解 （C ）是通解； （2）(A)是特解 （B ）是通解； （3）（A ）是通解（B ）是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解 （1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式，得2C = 故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x （2）解：C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 （1）解：设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' （2） 解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有 01 ()y x x y -=-' -- 即：20yy x '+= 注：DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解 （1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x ydy dx x =- + 积分：11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln （2） 10x y dy dx += 解：原方程变形为： 1010 x y dy dx = 积分：1010x y dy dx =? ? 得：1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为：1010x y C --= （3）ln y y y '= 解：原方程变形为： ln dy dx y y = 积分：1ln dy dx y y =? ? 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e = 所求的通解为：x Ce y e = 注：21,2C C e C e C ==； （4）tan cot ydx xdy = 解：原方程变形为：cot tan ydy xdx = 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++ 微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 数学试题 热工二班 温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种 似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！ 一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、 求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、 曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（ ） 3、 计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（ ） 4、 设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（ ） 5、 已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分） ６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（ ） Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤ （ ） Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数 Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数 Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数 ９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分 别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（ ） Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０ Ｄ．dy ＜ y ＜０ 三、计算，证明题（共６０分） １１、求下列极限和积分 （１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分） （２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分） （３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分） １２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f 微积分刘迎东编第四章习题4.6答案 4.6 有理函数的积分 习题4.6 求下列不定积分： （1）3 3 x dx x +? 解： ()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32 x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ??+=-+-=-+-+ ?+?? ++=-++-++?? （2）223310 x dx x x ++-? 解：()2222231310ln 310.310310 x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-?? （3）2125x dx x x +-+? 解： ()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22 d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++???? （4）() 21dx x x +? 解：()()()()22 222222211111ln .2212111d x dx x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++????? （5）331 dx x +? 解： ( )( )322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---??=+=+- ?++-+-+?? -+=+-+-+??-+ ?? ???=+--+++????? （6）()() 221 11x dx x x ++-? 解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ?? ?+=+-=-++ ?-+++-+ ??? ?? （7）()()() 123xdx x x x +++? 解： ()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22 xdx dx x x x x x x x x x C ??-- ?=++ ?++++++ ??? =+-+-++?? （8）5438x x dx x x +--? 解： ()()542233232 8811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ??+-+-=+++ ? ?-+-?? ??=+++-- ?+-?? =+++-+--+??? （9）()() 221dx x x x ++? 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 三. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 四. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 五. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 六. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 七. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 八. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 九. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 十. ='?))((dx x f x d 。 十一. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大 时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 十二. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极 限一定不存在 十三. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 十四. =+-∞→13)1 1(lim x x x （ ）。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 十五. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 十六. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 十七. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 十八. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 十九. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 二十. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 0201《微积分（上）》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题（10道题，每题2分或者3分）。 填空题（5-10道题，每题2分或者3分）。 计算题（一般5-7道题，共40分或者50分）。 证明题（2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1．考试内容 集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2．考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 1．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限。 2．考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 . 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 3 1 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设 ()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). . (A) 2π (B) 22π (C) (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 13(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 1 1(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设 arctan y z x =，求2,.z z z x y x y ???????， 高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --? 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 d 1 2 lim2,, x d x ax b a b → ++ = ｘ ｘ ２ ２ １ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In1 x+; 2 32 2 y x x =-; 3 2 log,(0,1), 1 x y R x = - ; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)()1m lim lim2 (1)(3)34 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→ -+++ === -++ ∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 sin lim x x x → -∞+∞ 在区间（，）是连续函数（） 3、 f"(x）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在[] 0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ) f x f f C f f <===- 令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=222 11 1 3 3 000 2 (2) lim lim lim 12 x x x x x x e e x e x x - - →→→ - ===+∞ - 高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ??≤++1 ||||22 )ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 22≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；大学高等数学第四章 不定积分答案
大学高等数学上考试题库(附答案)
微积分第4章习题解答(上)
大一微积分期末试卷及答案
大学微积分复习题
微积分试卷及答案
清华大学微积分习题(有答案版)
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
微积分试卷及答案
大一上微积分试题(山东大学)
微积分刘迎东编第四章习题4.6答案
微积分试卷及答案6套
最新大学微积分复习题
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
微积分试卷及答案
高等数学第四章不定积分课后习题详解
大一微积分期末试卷及答案
高等数学同济版下册期末考四套试题及答案