分形几何学绘制的美丽图案(30幅)
自
动
换
片
奇异、美丽的图案-----超出想象！
是工艺美术大师的创作吗？
这是数学的杰作！
20世纪70-80年代，产生了一门新的数学分支---分形几何学
分形几何学，英文是FRACTAL GEOMETRY
经典的欧几里德几何学里面的图形过于简单，难以描述自然
分形几何学才更接近大自然
分形学绘制出的美丽图案，自然引起了美术家的关注
分形学不仅仅提供美丽图案，它还有许多实际应用，如大气物理
甚至有研究者发现，古琴的旋律也是“分形”的。
对“分形”感兴趣的朋友，可利用互联网的搜索功能，搜到详细解释
也可以搜到大量“分形”图形，而在仅仅几年前，分形图还很稀缺
基于分形几何的分形图绘制与分析
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
用圆设计美丽的图案
《利用圆设计图案》教学设计 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。 教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。 教学重点：利用圆设计图案。 教学难点：确定圆心与半径。 教学准备：课件。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 教师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 教师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？ 【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。 二、教学例题，探究画法 1．出示例题。
用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 2．探究画法。 教师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 学生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 教师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 学生：他画的圆太大了。 教师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 学生：半径。 教师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 学生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 教师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 教师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）
部编版数学六上《利用圆设计图案》教学设计、反思
2、《利用圆设计图案》教学设计、反思 教学内容：教材第59页。 教学目标： 1、在前面所学得成轴对称的平面图形的基础上，利用圆设计图案。 2、使学生认识到圆是轴对称图形，且对称轴有无数条。 3、培养学生动手操作能力，在操作中加深对所学平面图形的对称轴的认识 教学重点：利用圆设计图案 教学难点：圆的大小、位置的确定 教学过程： 一、观察以前认识的对称图形 1、举例说出轴对称的物体。如：蝴蝶、飞机、门窗、月饼等。想一想这些图形有什么特点？ 2、观察、概括。 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线直线叫做对称轴。 二、设计图案 1、观察：这个图案有什么特征？
说明：圆有无数条对称轴。每一条直径所在的位置都是它的对称轴。 2、学生用圆规和直尺按步骤画图案 3、试着用圆规和直尺画一画下面的图形。 4. 学生尝试设计图案。
全班交流展示设计图案。 三、巩固应用，内化提高。 1、第61页第6题：复习轴对称图形 2、61页第7题：对称轴两侧相对点到对称轴的距离相等。 3、61页第8题：圆有无数条对称轴，要注意组合图形的对称轴 四、总结： 今天我们学习了哪些知识？ 教学反思： 本课时教材安排了让学生应用画圆的方法制作一些美丽的圆形图案。在欣赏和制作图案的过程中，学生们能真切感受到圆形图案的美，同时也让学生感受到了用圆规画圆与美术课上徒手画圆的不同之处，用圆规画圆需要用数学知识构建不同大小的圆之间的依存关系，除了形状美，还包含了一种逻辑的美。 这节课，我设计了以下三个活动。一是欣赏美丽的图案，师生一起画出美丽的图案；二是独立画图，培养学生的自主探究能力；三是设计创新的图案，发展学生的创造力。在教法上采用学生独立作画，合作探究，教师尽可能参与其中。 对于本节课的教学内容，学生掌握画图的方法有困难，主要原因是课件中只设计画图的流程，忽视确定圆心和半径的演示和强调。影响本节课教学效果还有学生对圆规使用的熟练程度，在本单元的教学过程中，对画圆的训练时间太少，部分学生还不能熟练地使用圆规，我在巡视时，发现好几个学生画了几分钟都画不好一个圆，更谈不上用圆来构造复杂的图案了，还有学生对圆规的笔尖没有削好，导致画出来的线条很粗，也影响了画圆的准确性和图
画出美丽的图案
《用圆规画出美丽的图案》教学设计 教学目标： 结合圆的知识让学生画出圆的美丽图案，加强数学与生活的联系，加强学生的实践活动,培养学生的应用意识及运用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点： 会用圆规和尺子画出简单的、美丽的图案。 教具准备： 圆规、尺子、铅笔 教学过程： 一、图案展示，激发兴趣 1、欣赏生活中的圆形图片。 师小结：欣赏完刚才的图片，我们发现不管是自然现象、工艺品、建筑物还是运动现象中都有圆的影子，真可谓“圆无处不在”。正像一位古希腊数学家所说：“在一切平面图形中，圆是最美的图形。”我们用圆还可以设计出很多漂亮的图案，来装点、美化我们的生活。 2、欣赏圆形图案。 出示一些圆形图案，提问：看了这些图案后，你有什么想法？ 3、揭示课题：想知道这些美丽的圆形图案是怎样画出来的吗？这节课我们一起来学习“画出美丽的图案”。（板书课题） 二、图案观察，感悟方法 1、谈话：观察这些图案，我们可以发现它们都是由什么图形组成的？（圆形）让我们以这个图案为例，一起分析一下怎样画成的。 2、小组讨论交流：你能看出它是由几个圆组成的吗？小圆和大圆之间又存在怎样的关系？ 小结：这个图案是由1个大圆（外框）和4个同样大小的小圆组成的，大圆的半径就是小圆的直径。可以分两步完成： （1）画一个半径4cm的圆，再画两条互相垂直的直径。 （2）以画出的4条半径为直径画4个小圆。
3、学生模仿制作。 4、展示学生的作品，供全班学生欣赏。 5、出示三幅图案，让学生分析每一幅图案是怎样画出来的？ 三、图案创作，探索提高 1、谈话：同学们都比较成功地模仿画出了一个图案，还分析了几幅图案是怎样画出来的。能自己创作一幅美丽的图案吗？接下来就请同学们发挥想象，设计一幅美丽的圆形图案。比比谁设计的图案美观、大方、整洁？ 2、学生动手创作图案。 3、学生交流创作的作品，介绍画的方法。 四、作品交流，分享快乐 展示课前收集的优秀作品，分享创作的乐趣。 五、全课总结，畅谈体会 通过今天这节课的学习，老师不仅感受到圆形图案的美，还感受到大家心灵手巧的美。你有什么感想与体会？
分形几何学
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
公开课：画出美丽的图案谢林2014414
画出美丽的图案 金牛小学：谢林教学内容：教科书第114、115页的内容。 教学目标： 1、通过欣赏和绘画圆形图案，进一步加深对圆的认识，体会图形的变换，增强空间观念。 2、进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形学习价值，接受美育熏陶，培养创新意识，提高数学学习的兴趣和自信心。 教学准备： 教师准备课件、圆规、尺；学生课前收集圆形图案、准备圆规、尺 教学预设： 一、欣赏 1、谈话：通过本单元的学习，我们对圆有了一定的了解。我们还发现不管是自然现象、工艺品、建筑物还是运动现象中都有圆的影子，真可谓“圆无处不在”。我们还可以用圆设计很多美丽的图案，来装点、美化我们的生活。 2、欣赏圆形图案。 教师先出示一些圆形图案. 3、揭示课题：这些美丽的圆形图案是怎样画出来的呢？这节课我们一起来画出美丽的图案。（板书课题） 二、指导学生制作圆形图案。
1、谈话：观察这些图案，我们可以发现它们都是由圆组成的，你知道它们是怎样画出来的吗？让我们以这个图案为例，一起分析一下怎样画成的。 2、提问：你能看出它是由几个圆组成的吗？小圆和大圆之间又存在怎样的关系？ 学生小组讨论、交流，明确这个图案共由1个大圆（外框）和8个同样大小的小圆组成的，大圆的半径就是小圆的直径。 3、学生随教师的示范进行制作。 （1）画一个直径4CM的圆，再画两条互相垂直的直径。 （2）以画出的4条半径为直径画4个小圆。 （3）经过每个小圆的交点再画出4条大圆的半径。 （4）以新画出的4条半径为直径再画个小圆。 4、展示学生的作品，供全班学生欣赏。 三、独立模仿制图 1、出示第113页中间的两个图案。 要求：仔细观察下面的图案，想想它们是怎样画出来的？ 同桌讨论，集体交流。 画出其中的一幅并涂上颜色。 展示作品，互相评价。 四、创作图案 1、谈话：同学们都比较成功地模仿画出了一个图案。当然，我们并不满足于只是模仿，很多同学已经跃跃欲试了，想自己创作一幅美
分形几何的数学基础
课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构
用圆规和直尺作出美丽的图案
用圆规和直尺作出美丽的图案 ——“用尺规作线段和角”教学设计 山东青岛经济技术开发区第二中学（266500）张敬华 一、教材依据 《用尺规作线段和角》是北师大版义务教育标准实验教材七年级（下册）第二章《平行线与相交线》第四节的内容。 二、设计思想 《用尺规作线段和角》是继《平行线的特征及探索平行线的条件》之后的一个学习内容，在本章教材的编排顺序中起着承上启下的作用。本节课把具体的生活情境引入教学，让学生感受数学和日常生活的密切联系，同时感受作一条线段等于已知线段的现实意义。通过尺规作美丽的图案的活动，培养学生的审美意识，让他们在学习中体会数学美和几何美，更重要的是进一步发展学生的空间观念，养成研究性学习的良好习惯，为后续章节的学习打下基础。由于七年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的时期，具有较强的好奇心、求知欲，学生间相互合作相互提问的积极性也比较高，同时他们已经具备了一定的归纳总结和表达的能力，而且具有自己的审美观，所以他们对于学习尺规作图的热情应该是比较高的。 基于以上的分析，本节课的设计思想是：学生在教师组织、引导、点拨下积极参与，勤于动手，在自主探究与合作交流的过程中真正有效的理解和掌握知识。 三、教学目标 1、认知目标 ⑴了解尺规作图的基本知识及步骤； ⑵了解作一条线段等于已知线段在尺规作图中的简单应用。 2、能力目标 ⑴通过尺规作图作一条线段等于已知线段的作图活动，初步体会尺规作图的意义。 ⑵能用恰当的数学语言表达自己的操作过程，提高数学表达能力。 ⑶在尺规作图的过程中，培养学生的动手能力，积累数学活动经验。 3、过程和方法目标 ⑴教师运用演示法把实物模型、教具演示给学生看，使学生直观、具体、形象地感知图形。 ⑵在学生进行了自主探索之后，让他们进行小组讨论，使它们互相促进、共同学习，提高学生的合作交流能力。 ⑶教师运用练习法，精心设计随堂练习，巩固和提高学生所学知识。
画出美丽的图案 教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
23.1图形的旋转(3) 第三课时 教学内容：选择不同的旋转中心或不同的旋转角，设计出不同的美丽的图案． 教学目标：理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案． 重难点、关键 1．重点：用旋转的有关知识画图． 2．难点与关键：根据需要设计美丽图案． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的 三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面： 第一， 旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、 对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因 此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30?°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改 变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O?为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，?旋转长度为菊花的最长OA， 育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
人教版小学数学六年级上册《圆的认识—利用圆设计美丽的图案》教学设计5
利用圆设计图案 教学目标： 1.通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2.在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3.学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。 教学重点：利用圆设计图案。 教学难点：确定圆心与半径。 教学准备：课件。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大;一个圆很单调，一堆圆会怎样呢?让我们一起去看一看吧。(课件出示图片) 师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗? 【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。
二、教学例题，探究画法 1.出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 2.探究画法。 师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 师：这位同学遇到了什么困难?怎么帮助他? 生：他画的圆太大了。 师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢? 生：半径。 师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗? 生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 师：如何画出圆内的最大的正方形呢? 师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。(也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。)
苏教小学数学五下《7 画出美丽的图案
画出美丽的图案教学 内容课本第112～113页的内容。 执教 日期 （）月（）日，星期（） 三维目标1.知识目标：进一步掌握画圆的方法与技巧，体验创作成功的乐趣，感受创造的价值。 2.能力目标：学会观察和欣赏生活中的圆形图案，提高观察能力和欣赏能力。 3.情感目标：培养留心观察生活的习惯，提高同学间交流探讨的水平。 教学 重点 确定每个圆的圆心位置的方法。 教学 难点 确定每个圆的圆心位置的方法。知道相关圆的半径和直径的关系。 教学资源学生在中能观察到一些由圆组合而成得美丽图案，同时，通过近期的学习，学生能准确的画圆和一些简单的由圆组合而成的图案。圆规，彩笔，投影等。 学程设计导航策略调整反思 一、图案展示激发兴趣（5分钟） 交流学生课前收集的图案，如果比较多可以选择部分精美的材料。 二、图案观察，感悟方法（10分钟） 1.学生小组交流回答： 画了8个小圆。画了8个小圆大小完全一样。 2.学生观察分析图案的制作过程，分析制作的大体步骤。 3.小结操作过程。 （1）画一个直径4厘米的圆，再画两条互相垂直的直径。 （2）以画出的4条半径为直径画4个小圆。 （3）经过每两个小圆的交点再画出4条大圆的半径。【板块一】 展示教师课前准备的材料。 出示教材的图案，感受图案的美 丽动人。 【板块二】 1.师：观察挂图，大圆中画了多 少个小圆？他们的大小怎么样？ 。 2.师：这些图案是怎样画出来的 吗？先看电脑演示一下过程。 3.分析研究。 ①要分析与讲清操作步骤。 ②要指明关键，讲清确定每个圆 的圆心位置的方法。 ③讲清相关圆的半径或直径之间 1
（4）以新画出的4条半径为直径再画4个小圆。 （5）涂上颜色后得到一个美丽的图案。 4.学生按步骤画图，并互相指导。 三、图案创作，探索提高（10分钟） 1.学生自由创作。 2.小组交流创作的作品，介绍画的方 法。 3.根据小组的意见，适当修改完善。 四、作品交流，分享快乐（10分钟） 学生的作品集体交流，分享创作成功的乐趣。 五、总结反思，布置作业（5分钟） 1.课堂作业：教材第113页中间的第一幅。 2.家庭作业：教材第113页中间的第二幅。 的关系。 4.简要展示与评比解说。 【板块三】 教师巡视，适当指导。 【板块四】 收集优秀的作品。 【板块五】 总结本课，说说创造出的美丽图 案。 2
第6讲分形几何学
实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分
六年级数学上册用圆设计美丽的图案教学设计(人教版)
人教版六年级上册数学教学设计 （用圆设计美丽的图案） 教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第59页内容及相关练习。 教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。 教学重点：利用圆设计图案。 教学难点：确定圆心与半径。 教学准备：课件。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 教师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 教师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？
【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。 二、教学例题，探究画法 1．出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。 2．探究画法。 教师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 学生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 教师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 学生：他画的圆太大了。 教师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 学生：半径。
教师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 学生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 教师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 教师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。） 教师：除了确定圆的半径，还要确定什么？ 学生：圆心的位置。 教师：如何确定圆心的位置？ 学生：因为同一个圆内所有半径都相等，所以只要找到正方形边长的中点，也就找到了圆心的位置。 教师：请同学们根据屏幕上的提示，用圆规和直尺画一画吧。 【设计意图】先让学生进行尝试，暴露错误，通过对错误的讨论帮助学生确定半圆的半径和圆心。作圆内最大的正方形以及利用尺规确定一条线段的中点，对于小学生来说还是相当困难的，尝试是为了激发他们的好奇心和探究的欲望。但仅有好奇是不够的，教师要发挥主导作用，进行组织、引导，适当的时候给予直接的帮助。
画出美丽的图案教案
《画出美丽的图案》教学设计 雅周中心小学高文红 教学内容：苏教版数学五下教材第112、113页的内容。 教学目标： 1、通过欣赏和绘画圆形图案，进一步加深对圆的认识，体会图形的变换，增强空间观念。 2、进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形学习价值，接受美育熏陶，培养创新意识，提高数学学习的兴趣和自信心。 教学准备： 教师准备课件、圆规、尺；学生课前收集圆形图案、准备圆规、尺 教学预设： 一、欣赏 1、谈话：通过本单元的学习，我们对圆有了一定的了解。我们还发现不管是自然现象、工艺品、建筑物还是运动现象中都有圆的影子，真可谓“圆无处不在”。我们还可以用圆设计很多美丽的图案，来装点、美化我们的生活。 2、欣赏圆形图案。 教师先出示一些圆形图案，提问：看了这些图案后，你有什么想法？你也有收集到的这样的图案吗？请你来展示一下。 欣赏学生课前收集的图案。 3、揭示课题：这些美丽的圆形图案是怎样画出来的呢？这节课我们一起来画出美丽的图案。（板书课题） 二、指导学生制作圆形图案。 1、谈话：观察这些图案，我们可以发现它们都是由圆组成的，你知道它们是怎样画出来的吗？让我们以这个图案为例，一起分析一下怎样画成的。 2、提问：你能看出它是由几个圆组成的吗？小圆和大圆之间又存在怎样的关系？ 学生小组讨论、交流，明确这个图案共由1个大圆（外框）和8个同样大小的小圆组成的，大圆的半径就是小圆的直径。 3、学生随教师的示范进行制作。 （1）画一个直径4CM的圆，再画两条互相垂直的直径。 （2）以画出的4条半径为直径画4个小圆。 （3）经过每个小圆的交点再画出4条大圆的半径。 （4）以新画出的4条半径为直径再画个小圆。 （5）涂上颜色。 4、展示学生的作品，供全班学生欣赏。
画出美丽的图案
画出美丽的图案 [教学目标] 1．让学生通过欣赏和绘画圆形图案，进一步加深对圆的认识，体会图形的变换，增强空间观念。 2．让学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，接受美育熏陶，培育创新意识，提高数学学习的兴趣和自信心。 [教学重点]通过操作，进一步培养学生的动手操作能力。 [教学难点] 感受到由圆组成的图形美。 [教学准备]多媒体课件、圆规、尺。布置学生收集圆形图案。 [教学过程] 一、展示图片，激发兴趣 1．谈话：我们已经学习了圆的一些知识,对圆的知识有了一定的了解。我们还发现不管是自然现象、工艺品、建筑物还是运动现象中都有圆的影子，真可谓“圆无处不在”。正像一位古希腊数学家所说：“在一切平面图形中，圆是最美的。”我们用圆还可以设计很多的漂亮图案，来装点、美化我们的生活。 2．欣赏: 课件出示圆形图案，提问：看了这些图案后，你有什么想法？ 3.展示:你也有收集到的这样的图案吗？请你来展示。 可以用磁铁把学生收集比较好的作品贴在黑板上。 二、图案观察，感悟方法 1．谈话：观察这些图案，我们可以发现它们都是由圆组成的，你知道它们是怎样画出来的吗？让我们以下面的图案为例，一起分析一下怎样画成的。 2．提问：你能看出它是由几个圆组成的吗？小圆和大圆之间又存在怎样的关系？这个图案共由1个大圆（外框）和8个同样大小的小圆组成的，大圆的半径就是小圆的直径。 3．四人小组讨论、交流，说说每一步应该怎样操作吗？ 你能说说画图操作的步骤吗？ 按这样的操作步骤，我们一起在白纸上来试一试吧！ 演示操作过程。 （1）画出一个直径4厘米的圆，再轻轻地画出两条互相垂直的直径。 （2）以画出的4条半径为直径画4个小圆。画圆关键是找圆心，这4个小圆的圆心分别在哪里？怎么找到圆心呢？半径应该是多少呢？ （3）经过每两个小圆的交点再画出4条大圆的半径。每两个小圆的交点指的是什么？ （4）以新画出的4条半径为直径再画4个小圆。圆心在哪里？半径是多少呢？指出：圆规两脚间的距离要准确，圆心定位要准确。
画出美丽的图案 (3)
课题：画出美丽的图案 教学内容：教材114-115的内容。 教学目标： 1．让学生通过欣赏和绘画圆形图案，进一步加深对圆的认识，体会图形的变换，增强空间观念。 2．让学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，接受美育熏陶，培育创新意识，提高数学学习的兴趣和自信心。 教学重点：通过操作，进一步培养学生的动手操作能力，感受平面图形的应用价值。教学难点：进一步培养学生的动手操作能力 课前准备：课件 教学程序： 一、先学提纲。 阅读教材第112页的示意图，试着画一画，并说说画的时候应注意些什么。 二、学情预判： 三、探究交流。 （一）指导作图。 1．谈话：观察这些图案，我们可以发现它们都是由圆组成的，你想知道它们是怎样画出来的吗?让我们以这个图案为例，一起来分析一下这个图案是怎样画成的吧! (1)提问：你认为应该怎样入手进行分析?你能看出它是由几个圆组成的吗?小圆与大圆之间又存在怎样的关系? (2)小组交流讨论。 (3)全班交流：明确这个图案中共由1个大圆(外框)和8个同样大小的小圆组成，大圆的半径就是小圆的直径。 (4)怎么画呢?我们一起来试试。学生跟教师示范进行制作。 ①画一个直径4厘米的圆，再画两条互相垂直的直径。 ③经过每两个小圆的交点再画出4条大圆的半径。 ②以画出的4条半径为直径画4个小圆。 ④以新画出的4条半径为直径再画4个小圆。 (5)谈话：画好后，我们涂上颜色就可以得到一个美丽的图案了，请同学们选择你喜欢的色调进行修饰。 (6)展示学生作品，学生互评。
2．小结：通过我们的认真观察、仔细分析、细心绘制，终于制作成功了一幅很漂亮的图案。 （二）独立模仿制图。 1．谈话：刚才这幅图是在老师的指导下完成的，如果请你自己观察、分析，你能模仿下面的这两张图进行绘制吗? 2．学生独立分析。 (1)这个图案分几步完成? (2)在图中，各个圆的圆心分别在哪里?怎样确定它们? (3)各个圆的半径或直径间有什么关系? 3．交流。 4．选择其中一幅完成并涂上颜色。 5．展示作品，互相评价。重点引导学生自主分析，弄清图案分几步完成。各圆的圆心分别在什么位置、是怎样确定的、各个圆的半径或直径间存在着怎样的关系等问题。（三）创作图案。 1．谈话：同学们比较成功地模仿画出了两个图案。当然，我们都不满足于只是模仿，很多同学都已经跃跃欲试了，想自己创作一幅美丽的图案。接下来，就请同学们发挥想象，设计一幅美丽的圆形图案。看谁设计的图案美观、大方、整洁? 2．学生自由创作。 3．交流展示学生作品，互相评价。 四、反思总结：通过今天这节课的学习，你有什么感想与体会?你感受到成功的喜悦了吗？ 五、课堂作业。《补》P83
小学美术四年级《美丽的圆形纹样》公开课教案
美丽的圆形纹样 教学目标： 1.通过教学，掌握描绘圆形纹样的基础技法，经过观摩、欣赏、想象、构思、设计，动手描绘出美丽的圆形纹样。（了解） 2.充分发挥主观能动性，能大胆灵活地运用色彩，描绘出较好的圆形纹样，培养创造美的能力。（练习） 教学重点： 通过教学让学生掌握一般圆形纹样的描绘技法，从中培养学生审美和创造美的能力，进一步懂得圆案艺术与人民生活有比较密切的联系。学好基础图案，创造出更新更美的图案，美化我们的生活。 教学难点: 掌握圆形图案创作的特点与规律。 教具准备: 幻灯机，幻灯片五张，录音机，古筝曲音乐带，范图一张。 学具准备：彩色水笔，油画棒，9cm半径的圆形作业纸。 教学过程 一、组织教学 师生问好，稳定学生情绪。 二、引题谈话，导入新课 今天，陈老师要告诉大家一个好消息。有一家美化生活设计公司，听说我们402班的同学画画得特别漂亮，他们正好要开发新产品，想请我们小朋友帮助搞设计，你们有没有信心？等会儿，我们在班里进行评选，挑出最佳的设计送往公司去，你们说好吗？ 大家肯定很想知道，他们要求我们设计些什么呢？ 别急，也让我们来看一幅画。 （出示范图）你们知道，这是什么画呢？ 生:…… 对！图案画。图案又可称纹样。这幅纹样是什么形状的？ 生:…… 对！我们把这种圆形的纹样称为圆形纹样，里面所画的纹样，必须适合圆形，所以也称为圆形适合纹样。 （板书:适合纹样） 谁知道日常生活中哪些物品用得上圆形纹样？ 生：…… （根据学生回答，适当地出示实物欣赏） 这家美化设计公司，就是想开发设计这些日常生活用品，并且要把它们画得美丽一些。好！这节课就让我们一起来学习，设计美丽的圆形纹样。 出示课题：美丽的圆形纹样 三、讲授新课 1.那么，你们知道这些圆形纹样是怎么画出来的呢？（出示幻灯片） 同学们还记得三年级我们学习了美丽的花边，片中所画骨架是用来表示纹样的方向性的。圆形纹样也有它的规律，也就是也有它的骨架。骨架既表示方向，同时也帮助我们绘制纹样。下面，我们看一看这几幅纹样，找一找它们的方向性有什么特征？ 2.（出示四幅不同形式的圆形纹样，请学生在黑板上画出骨架图） 我们给这一种纹样的骨架一个名称叫直立式。（板书：直立式）
第十课时画出美丽的图案
第十课时画出美丽的图案 教学内容： 教科书第112~113页。 教学目标： 1、知识与技能： (1)能从生活实际出发初步认识圆。 (2)知道圆心、半径的意义，并会用字母表示。 (2)知道用圆规画圆的方法，会正确使用圆规画圆。 2、过程与方法： 通过实践操作活动初步认识圆，进一步发展空间观念和初步的探索能力，能发现问题并进行探究。 3、情感态度与价值观： 体验到圆在日常生活中的应用并感受到圆的美。 教学重点： 通过操作和观察活动初步认识圆。 教学难点： 正确使用圆规画圆。 教学准备： 多媒体课件、圆的物品(垫圈、棋子、硬币)、线、小钉子、圆规、直尺、铅笔等 教学过程： 一、激趣导入： 1、(课件1)出示：在我们生活中经常能看到圆。 2、举例：你还在哪些地方看见过圆？(学生介绍) 3、师举例动态的圆：水滴落在平静的水面泛起的一个个圆形的波纹，这其实是一个动态的圆。(也可以用钥匙圈转几圈展示动态的圆) 4、揭示课题：生活中处处有圆。今天我们就来学习有关圆的知识。(板书课题：圆的初步认识) 二、尝试探索： (一)探究画圆 1、在日常生活中你们见过别人画圆吗？怎样画的？ 2、实物画圆 a.在日常生活中,可以拿些圆的物体来就画圆,先请同学们分组打开1号信封，每人用老师给你们准备的东西任取一样，画一个圆。 b.交流你是怎么画的？要注意什么? c.小结：生活中，我们可以就地取材，画圆的实物是很多的。只要紧贴圆形物品的轮廓描一圈就可以了。 3、辅助工具画圆 (出示一张大纸)现要在这张纸上尽可能大的画一个圆，怎么画呢？ a 交流画法:(你们交流的方法都很不错，老师也帮你们准备了一些材料来画圆，现请组长打开2号信封，大家一起来看看有些什么材料？ b 下面就请你们以小组为单位，先讨论如何用这些材料来尽可能大的画一个圆，有了方案后，就到大纸上去实践，大家可分工合作。 C 总结画法：(成功与失败的,说说出现画不圆的原因) D 老师总结：在用这些辅助工具画圆时，要用图钉把绳子的一端固定住，还要把绑有
分形拓扑几何学
欧几里德几何学、分形拓扑几何学与设计 经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以这些基本形（方、圆、锥、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。 这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。 为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，Mandelbrote提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100％的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。 比较经典几何学与分形，发祥它们对自然形体描述的差别在于：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。 事实上，这两种对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异。经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本
几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。 建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。 静态的数学中，没有时间变量；动态的数学中，存在时间变量，尽管有时它不是以时间的含义出现（比如迭代的次数，在本质上，就是时间变量）。 分形对形态的描述精度，是通过单位面积中留下的间隙或密度来衡量的。如果留下的间隙越小或密度越大，则描述的精确度越高。 经典几何学是通过距离来描述精确度的。距离越小，精确度越高。 在经典几何学下，艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家
人教版-数学-六年级上册-《用圆设计美丽的图案》备课教案
用圆设计美丽的图案 教学目标： 1．通过图案设计加深对圆的特征的认识。 2．在画图的过程中提高画圆的技能，发展学生的观察能力与操作能力。 3．学会欣赏数学的美，热爱数学学习的情感。 教学重点：利用圆设计图案。 教学难点：确定圆心与半径。 教学准备：课件。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 教师：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片） 教师：构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？ 【设计意图】呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中第3、4两幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。 二、教学例题，探究画法 1．出示例题。 用圆可以设计出许多漂亮的图案。下面的图形就是用圆规和直尺一步一步画出来的。
2．探究画法。 教师：请同学们拿出圆规和尺子在练习纸上试一试。 学生尝试后，教师选择典型性错误在黑板上展示，引导学生分析错误原因。 教师：这位同学遇到了什么困难？怎么帮助他？ 学生：他画的圆太大了。 教师：说明要完成图形，对圆的大小有要求。圆的大小由什么决定呢？ 学生：半径。 教师：请看屏幕，通过观察分解图，你能确定圆的半径吗？ 学生：在圆内画一个最大的正方形，正方形的边长就是小圆的直径。 教师：如何画出圆内的最大的正方形呢？ 教师：可以以圆心为交点，画两条互相垂直的直径。这两条直径分别与圆相交，所形成的4个交点，就是正方形的四个顶点。（也可以把这个过程反过来，先画两条互相垂直的线段，再以垂足为圆心画圆，圆与两条垂线分别相交，连接4个交点，即可得到圆内最大的正方形。）