量子力学填空简答证明复习资料

填空

第一章 绪论

第二章 波函数和薛定谔方程

波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。

4、玻恩提出波函数的统计解释是波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）与粒子

2

),,,(t z y x

5、dr r r 22

),,(??θψ

第三章 量子力学中的力学量

2如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 0 。

3、设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量力学量

有确定的值 ，

则力学量算符

与态矢量

的关系为。 5、在量子力学中，力学量

10.坐标和动量的测不准关系是。

11自由粒子体系，_动量____________角动量____守恒

设

为归一化的动量表象下的波函数，则

的物理意义为___

1、 在p —p+dp 范围内发现粒子的几率______________。 3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。

10、=]?,[x p x

=]?,?[z

y L L

第四章 态和力学量的表象

量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量____；算符是希尔伯特空间的__算符______ 力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的

第五章

微扰理论

第七章 自旋与全同粒子

7.

为泡利算符，则=2?σ

，=]?,?[y x

σ

σ

8、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。

2、 对氢原子，

3、 S ? 为自旋算符，则 =2

?S ， =]?,?[y x S S 简答

第一章 绪论

什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。

答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。这些逸出的电子被称为光电子 用来解释光电效应的爱因斯坦公式：2

2

1mv A h +

=ν

第二章 波函数和薛定谔方程

1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2

211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。 答，由态叠加原理知此判断正确

4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=

（1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗？为什么？

答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态

经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？

答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的

几率分布；

（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在

空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不

影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；

6、若)(1x ψ是归一化的波函数，问： )(1x ψ， 1)

()(12≠=c x c x ψψ

)()(13x e x i ψψδ

= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。

答：是描述同一状态。 （2分） )()()

()(1*

12

11x x x x W ψψψ== （1分）

2

12*

22*

22)()

()()

()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==

?

（1分）

2

13*

33)()()()(x x x x W ψψψ== （1分）

第三章 量子力学中的力学量

2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。

答：不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态

3、在量子力学中，自由粒子体系，力学量

p

? 守恒；中心力场中运动的粒子力学

量L

? 守恒.

答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。

自由粒子体系，0]?,?[=H p

所以力学量p ? 守恒.中心力场中运动的粒子0]?,?[=H L 所

以力学量L

?

守恒.

1、量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，电子在均匀电场)

0,0,(E E =

答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。 （2分）

y p 和 z p 是守恒量 （2分）

因为：[]

0]?,?[0]?,?[0]?,[0?,22====z y z y

p p

p p p

x P x 则有： 0]?,?[=H p

y 0]?,?[=H p z （4分） 且y p

?、z p ?不显含时间。所以，z p 、y p 是守恒量 3、量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？

答：力学量守恒的条件：（1）力学量不显含时间，即

0?=??t

F （1分）

（2） 0]?,?[=H F

（1分） 经典力学中如果物理量不随时间变化则称这个物理量为守恒量。 （2分）

3、在量子力学中，自由粒子体系，力学量p ?

守恒；中心力场中运动的粒子力学量L

?

守恒；在定态条件下，守恒的力学量是能量 。

答：判断力学量是守恒量的条件：算符不显含时间，且与哈密顿算符对易。

自由粒子体系，0]?,?[=H p

所以力学量p ?

守恒 中心力场中运动的粒子0]?

,?[=H L 所以力学量L ? 守恒.

在定态条件下，0]?,?[=H H

所以能量守恒

2、 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系

答：全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变，全同粒子在重叠区的不可

分性 泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 它是全同性原理的自然推论。

乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？表明电子有自旋的实验事实有哪些？

答：乌伦贝克关于自旋的的基本假设是

每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2

±

（3分）

每个电子具有自旋磁矩s M ? ，它和自旋角动量S ? 的关系是S e M

s

??

μ

-=

实验事实有：（1）斯特恩－盖拉赫实验 （2）（碱金属）原子光谱的精细结构

（3）反常塞曼效应 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？

答：实验事实有:斯特恩－盖拉赫实验;（碱金属）原子光谱的精细结构 ;反常塞曼效应

自旋特性：① 内禀属性 ② 量子特性，不能表示为

③满足角动量的一般对易关系，

6．

（12分）简述量子力学的基本假设。

答：(1) 微观体系的状态用波函数完全描述。（3分）

(2) 体系的状态波函数满足薛定鄂方程：?i H t

ψψ?=?

（3分） (3) 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，

当体系处于波函数()x ψ时，()x ψ可用某力学量算符?F

的本征函数()n φ展开，()n n

n

x c ψφ

=

∑，测量力学量?F 所得的数值必是算符?F 的本征值之一n λ，测得n

λ的几率为2

n c 。(3分)

（4）全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。

证明：0]?

,?[2=x L L

证明：]?,?[2x L L

[]

x

z y x L L L L ?,???222++=

[][][][]

z

x z x z z y x y x y y L L L L L L L L L L L L ??,??,????,??,??+++=

z y y z y z z y L L i L L i L L i L L i ???????? ++--=0=

证明0]?,?

[2=y L L

证明：]?,?[2y

L L []

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[][][][]

z y z y z z x y x y x x L L L L L L L L L L L L ??,??,????,??,??+++=

z

x x z y z z x L L i L L i L L i L L i ???????? --+=

0=

证明：z i y L x =],

?

[

y y z z y z x

p y z y p z p y y y p y y p z p y y L ?],[],?[?],[],?[],??[],?[--+=-=

]?,[y p y z =z i = （2分） 证明

i z y x =σσσ

???

证明：0}?,?{?2]?,?[==y x z y x i σσ

σσσ （1分） 即：z x y y x i σσσσσ

?2????=- （1分） 0????=+x y y x σσσσ

（1分） （1）式+（2）式得：z y x i σσσ

?2??2= （1分） 等式两端同乘z σ?得：i i z z y x 2?2???22

==σσσσ

（1分） 故：i z y x =σσσ

???