量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο

A ）。

2．

索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振

子的能级=n E （ ηωn ）。

3．

德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍

射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ

= ）。

4．

三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p

ρ

ρψ=（ r p i e ρ

ρη

η?2

/3)

2(1π ）， ()

()=?

+∞

∞

-*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ

ρ-'δ ）。 5．

动量算符的归一化本征态=)(r p ρ

ρψ（

r p i e ρ

ρηη?2/3)2(1π ），='

∞

?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ

ρ-'δ ）。

6．

t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e

x e

x ωωψψ2

522

0)(2)(--+ ）。

7．

按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2

），几率流密度=

（

()

**

2ψ?ψ-ψ?ψμ

ηi ）。 8．

设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F

?的平均值为F =（ ??dx dx F

ψψψψ*

*? ）

。 9．

波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ），

δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。

10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为

零）的状态。

11．

)i exp()()i exp()(),(2211t E

x t E x t x η

η-+-=ψψψ是定态的条件是

（ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。

14．

3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e

x e

x ωωψψ2

732

0)()(--+ ）。

15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

（ 2

2

22a

μπη ）

x a π2 ）。 16． 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ 2

/02

2x e N α

- ）。

17．

一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ηω2

3

）、第一激发态的波函数

为（ 2

/12

22x xe N α

α- ）。

18． （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋

时，氢原子的第n 个能级的简并度为（ n 2 ）。 19． 一维无限深势阱第n 个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原

子的第n 个能级的简并度为（ n 2

）。

20． 一维线性谐振子第n 个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原

子的第n 个能级的简并度为（ 2n 2

）。

21． 氢原子的状态为),()(1223?θY r R ，角动量平方是 26η ）、角动量z 分量是（ η ）。

22．

厄密算符F

?的定义是：对于两任意函数ψ和φ, 等式（ ??=dx F dx F φψφψ**)?(? ）成立。

23． 力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。

24．

力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 25． 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。

26．

算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在z σ表象中z σ

?=（ ???

? ??-1001 ）

。 27． 如果[G F ??，]=0，则G F ??，存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，Z

L L ??2，的共同本征态是（ ),(?θm l Y ）。

28．

如果G F ??，存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[G F ??，]=（ 0 ）， Z

L L ??2，的共同本征态是（ ),(?θm l Y ）。 29． 对易子=],[

x

e dx

d （ x

e ），=]?,?[x

y L L （ z L i ?η- ）。 30． =]?,[y p x （ 0 ），=]?,[x p x （ ηi ），=]?,?[y x L L （ z L i ?η ）。 31． =-],[

x

e dx

d （ x

e -- ）

。=]?,[y p y （ ηi ），=]?,[x p y （ 0 ）。 32．

能量与时间的测不准关系是（ η~t E ?? ），x 和x p 的测不准关系是

（ 4

2____

2____

2

η≥???x

p

x ）。 33．

在一维情况下，若粒子处于状态),(t x ψ中，则在动量表象中的波函数为

=),(t p C （ dx e

t x px i ?+∞

∞

--ψη

),( ）

。 34．

一维线性谐振子处在H ?的本征态)(x n ψ的迭加态)(5

4)(53)(4

2x x x ψψψ-=中，则在H

?表象中一维线性谐振子的波函数为+ψ=（ （0，0，3/5，0，-4/5，0,…） ）。

35．

斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只

能取两个值（ 2η ）和（ 2

η

- ）。

36． x y y x σσσσ????-=（ z i σ?2 ），S S ??ρρ?=（ S i ?ρη ）。 37． x y y x σσσσ????+=（ 0 ），[z

L L ?,?2]=（ 0 ）。 38． 在z s 表象中，粒子处在自旋态???

? ??=ααχsin cos 中，z s =（ α2cos 2η

）。 39． 在z σ表象中，粒子处在自旋态???

?

??=ααχsin cos 中，x σ=（ α2sin ）

。 40．

在z s 表象中，???

? ??=01102ηx s ，则在状态????

??=1122χ中，x s =（ 2η ）。 41． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换

不引起物理状态的改变 ）。

42． 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）。 43． 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。

44． 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波

函数只能是（ 反对称 ）波函数。

45． 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋

波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

46． 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

47． 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的

波函数只能是（ 对称 ）波函数。

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二、计算、证明题

1．粒子在一维势场?

??<>∞+≤≤=0,,0,0)(x a x a

x x U 中运动，试从薛定谔方程出发求出

粒子的定态能级和归一化波函数.

解：当0)0(,,,0=∞→><ψU a x x

当.2?,0222ψψμψψE dx

d E H a x =-?=<<η

令22ηE k μ= 得 02

2

2=+ψψk dx

d kx c kx c x cos sin )(21+=ψ

0)0(=ψΘ，,02=∴c kx c r sin )(1=ψ ),3,2,1(,,0sin ,0)(ΛΘ===∴=n n ak ax a πψ

,22

2

22a

n E n μπη=),2,1(,sin )(1Λ==n x a n c x πψ

a

c d a

n 2

112

=

?=?τψ 2．一粒子在一为势场()bx x x U -=

222

1

μω中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。 解：

bx x dx d H -+-=22222212?μωμη222222222)(212μω

μωμωμb b x dx d --+-=η 令2μωb

x x -=' 则 2

2

22x d d dx d '

= 2

22

22222212μωμωμb x dx d H -'+-='η ψψμωμωψμE b x dx d =-'+-)221(2222

2222η 2

22

22222,212μω

ψψμωψμb E E E x dx d +=''='+-η ),21

(+='n E n

ηω),2,1,0(),()(22

2Λ='=''-n x H e N x n x n n αψα

,

2)21(2

2

μωωb n E n -+='η),2,1,0(),(2exp )(222Λ=-'?????

????? ??--=n b

x H b x N x n n n μωααμωαψ 3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

()???≥∞+<=.

,;

,000r r r r r U

试从薛定谔方程出发求粒子在s 态中的能级和定态波函数（不必归一化）。

{ 提示：在s 态中)(12

22

f r r

d d r f =? } 解：

当0)(,,0=∞→≥r U r r ψ

当().22?,222220ψψμψψμψψE r dr

d r E E H r r =-?=?-?=<ηη

令22ηE k μ= 得 0)()(2

2

2=+ψψr k r dr

d r kr c kr c r )sin cos ()(21+=ψ

)0(ψΘ有限，,01=∴c kr r

c

r sin )(2=ψ

),3,2,1(,,0sin ,0)(000ΛΘ===∴=n n k r k r r πψ

,22

222r n E n μπη=

),2,1(,sin )(0

2Λ==

n r r n r c r n πψ

4．粒子在一维势场()()?

??><∞+≤≤>-=a x x a x U U x U ,00000

当当中运动，试从薛定

谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。

解：1．当0)0(,,,0=∞→><ψU a x x

当.2?,002

22ψψψμψψE U dx d E H

a x =--?=<<η 令20)(2ηU E k +=μ 得 02

2

2=+ψψk dx

d kx c kx c x cos sin )(21+=ψ

0)0(=ψΘ，,02=∴c kx c r sin )(1=ψ ),3,2,1(,,0sin ,0)(ΛΘ===∴=n n ak ax a πψ

,202

2

22U a

n E n -=μπη),2,1(,sin )(1Λ==n x a n c x πψ

a c d a

n 2

112

=

?=?τψ 5．利用力学量算符F

?本征函数)(x n φ的正交归一完全性，证明 2*)(?)(∑

?

=n n

n c dx x F

x λψψ式中，n λ为F ?本征值。 解：

,?n

n n F φλφ=∑=n

n n c φψ

=?dx x F x )(?)(*

ψψ?∑∑dx x c F

x c n

n

n m

m

m )(?)(*

*φφ

=dx x x c c n

m

m n

n

n m ?∑∑)()(**φφλ =mn

m n

n n

m c c δλ∑∑*

2

∑=n

n n c λ

6．求证：如果算符F ?和G ?有一组共同本征态n

φ，而且n φ组成完全系，则算符F ?和G

?对易。 解：设,?n

n n F φλφ=,?n

n n G φμφ=任一波函数ψ可展开为 ∑=n

n n c φψ