行程专题：第一讲 多人(或多次)相遇与追及问题

第一讲 多人(或多次)相遇与追及问题

1. 学会画图解行程题

2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题

3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题

专题一、【多人相遇与追击】

多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：

=?路程和速度和相遇时间；

=?路程差速度差追及时间；

多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

板块一、多人从两端出发——相遇、追及

【例 1】 （难度级别 ※※）有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，

丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途

中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?

【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：()1007561050+?=(米)；

甲、乙相遇的时间为：()10508075210÷-=(分钟)；

东、西两村之间的距离为：()1008021037800+?=(米).

【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B 地、

乙和丙从A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A ，B 两

地的距离．

【解析】 甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60

＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150

（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A 、B 之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．

【例 2】 （难度等级 ※※※）甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，

它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，

1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。

【解析】 甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间＝路程差；路程差为 72 千米；

72 千米就是1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间＝路程和，得到速

度和为 72 千米／时，所以卡车速度为 72-40=32 千米／时。

【例 3】 （难度等级 ※※※）李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处

的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。

又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。

问骑车人每小时行驶多少千米？

【解析】 老师出发时，李华已经走了40.52?=（千米）。接下来相遇所需要的时间为

()()20.4244 1.22-÷++=????（小时）

。相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算：()40.5210?+=（千米）。所以张明要用2 1.50.5-=小时感到距离学

校10千米处，张明的速度为100.520÷=（千米/时）

板块二、多人从同一端出发——追及问题

【例 4】 （难度级别 ※※※）张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人

一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出

发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?

【解析】 甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上6时到，用了12小时，每小时5千米，

所以甲、乙两地距离51260?=千米。赵的速度：早上8时出发，晚上6时到，用

了10小时，走了60千米，每小时走60106÷=千米。所以，赵追上李时用了：

()42644?÷-=小时，即中午12时。

【巩固】 （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三辆车先后从A 地开往B 地，乙比丙晚出发5

分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速

度比是多少？

【解析】 根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9。甲和乙的

时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为 25：20：18。

甲和丙的速度比为25：18

【例5】（难度级别※※※）甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B 还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：（1）A，

B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？

【解析】

a)乙跑最后20米时，丙跑了40-24＝16（米），

丙的速度是乙的164

= 205

。

因为乙到B时比丙多跑24米，

所以A、B相距

4

241-=120

5

÷（）米

b)甲跑120米，丙跑120-40=80米，

丙的速度是甲的

802

= 1203

甲的速度是

2 12024=7.5

3

÷÷

（）（米/秒）

【例6】（难度等级※※※）甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上

骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速

度是多少？

【解析】甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了

这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），

骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离

为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙

车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）。

【巩固】（难度级别※※※）快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前

面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知

道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米?

【解析】 快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为()2460206060.4÷-÷?=(千

米)，中车追上这段路用了1064-=(分钟)，所以骑车人与中车的速度差为1064-=(千米/小时).则骑车人的速度为1064-=(千米/小时)，所以三车出发时与骑车人的路程差为1064-=(千米).慢车与骑车人的速度差为1064-=（千米/小时），所以慢车速度为14519+=（千米/小时）.

专题二、【多次相遇与追击】

板块一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题

所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多次相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

【例 7】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒

钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出

发点？

【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，

为300103000?=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54

?

=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．

【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒

2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？

【解析】 17

板块二 运用倍比关系解多次相遇问题

1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；

第2次相遇，共走3个全程；

第3次相遇，共走5个全程；

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N-1个全程；

注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；

第2次相遇，共走4个全程；

第3次相遇，共走6个全程；

…………，………………；

第N次相遇，共走2N个全程；

3、多人多次相遇追及的解题关键

多次相遇追及的解题关键几个全程

多人相遇追及的解题关键路程差

【例8】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，

再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【解析】画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.

而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个

倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.

但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.

少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.

8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

【例9】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、

B两地间的距离是多少千米？

【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两

车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离

时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个

95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25

千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．

【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B

地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

【解析】4×3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。

【例10】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60

米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．

【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1

2

圈的路程，当甲、乙第

二次相遇时，甲乙共走完1+1

2

＝

3

2

圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所

需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－

60)+300，为3

2

圈，所以此圆形场地的周长为480米．

【巩固】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求

这个圆的周长.

【解析】360

模块三解多次相遇问题的工具——柳卡

柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

【例11】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约

前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？

【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．

他先画了如下一幅图：

这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示

纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中

的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航

行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．

从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约

开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是

在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），

剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．

【例 12】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速

度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？

【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！

首先，甲跑一个全程需30130÷=（秒），乙跑一个全程需300.650÷=（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：

从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5420?=（次）

【例 13】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100

千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到

达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相

同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．

【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．

一个周期内共有5次

相遇，其中第1，2，

4，5次是迎面相遇，