有限元理论

1 文献综述

1.1 型钢的概述

型钢是各种塑性加工成形的具有一定断面形状和尺寸的直条实心钢材。型钢生产历史悠久，产品品种规格众多，断面形状和尺寸的差异大。据统计，各类型钢的形状有1500多种，尺寸规格达到3900多个，并而其生产方式也十分繁多。尽管钢材生产中钢板和钢管的比例在不断提高，但根据各个国家的具体条件，型钢仍占钢材总量的30%-60%。我国目前的型材产量占钢材总产量的50%左右。型钢广泛应用于国民经济的各个部门，如机械、金属结构、桥梁建筑、汽车、铁路车辆制造和造船等部门，在国民经济领域中仍占有不可缺少的地位[1]。

1.1.1 异型钢的简介

型钢按照断面形状可以分为简单断面型钢、复杂断面型钢和周期断面型钢。复杂断面型钢也称异形断面型钢，是指横断面由两个以上的简单几何形状组成的、具有长而薄的翼缘的型纲。复杂断面型钢按用途可以分成以下5类：(1)机械工业用复杂断面型钢；(2)纺织工业用复杂断面型钢；(3)仪表工业用复杂断面型钢；(4)电机制造工业用复杂断面型钢；(5)建筑结构材料。

复杂断面型钢按断面形状特点分有：(1)钢材断面具有水平和垂直方向两个对称轴的异形钢，如工字钢、H型钢等；(2)钢材断面有水平或垂直一个方向对称轴的型钢，如槽钢、T形钢和U形钢；(3)钢材断面没有对称轴的型钢，即在型钢各部分的组成上、在水平和垂直方向上均不对称，如球扁钢、钢商用钢和犁钵钢等。

型钢的生产方法很多，有冷、热轧制法，冷拔法，冷、热弯曲法，焊接法，挤压法，锻压法和特殊方法等。

(1)轧制法：采用适当的原料，在初轧机、钢坯连轧机和各种型钢轧机上通过不同形状的孔型轧制成众多简单断面和复杂断面型钢(包括初轧钢坯、小方坯、因管坯、各种异形断面钢坯等半成品)。目前各种中小型型钢轧机用的原料通常是连铸坯。根据温度不同，有热轧和冷轧型钢之分。热轧型钢具有生产规模大、生产效率高、能耗少和成本低等优点，是生产型钢的主要方法。

(2)弯曲成形法：用钢板或钢带，通过多对具有不同形状且旋转的轧辊，使轧件承受弯曲变形获得所需形状的钢材，这种生产方法称为弯曲成形，弯曲成形也有冷弯和热弯之分，其中冷弯成形法占主导地位。用弯曲型钢代替普通热轧型钢可以减轻结构质量，减少制造工作量并节省大量金属。弯曲型钢广泛应用于汽车、车辆、造船、农具、航空和自行车等部门。

(3)焊接成形法：焊接成形法是将中厚板或带钢焊接成型钢的方法，可生产特大断面型钢，目前多应用于生产H型钢。用焊接法生产型钢可以节省金属。随着钢板生产的发展，焊接型钢的比例也将日益提高。

(4)按压成形法：锻压型钢是原料在接锤往复冲击力或在压力机的压力作用下而成形的钢材。典型的锻压法生产的型钢有圆棒材、饼材、变断而和异形断面型钢，如连杆、曲轴、飞轮、螺旋桨和涡轮机叶片等。

复杂断面型钢其断面形状复杂，各部分之间的断面形状差异很大，首先给孔型设计带来困难；在热轧成形过程中，各部分金属变形严重不均，表现在孔型各

个部位的轧制速度不同，各部分金属受力条件木同，以及在时间上的不同时性等。这种严重的不均匀变形导致轧件在孔型中变形的复杂化，对轧件的质量、轧辊磨损、轧制能耗以及导卫安装和调整工作带来很多不利的影响。

复杂断面型钢在轧后自然冷却过程中，断面各部分的金属冷却条件不同，引起各部分金属温度不同，造成冷却收缩不均。这样就会使冷却后的型钢发生弯曲或扭转，造成轧件内部组织性能的不均匀和外部尺寸的变化，给后续精整带来困难，并导致成材率的降低。

1.1.2 异型钢的轧制

型钢的热轧生产方式主要有孔型法和万能法两种。其中孔型法是在两个辊或多个辊轧机上，用其轧辊的辊身上车削的轧槽所形成断面轮廓即所形成的孔型对金属进行轧制。孔型按照在轧辊上的配置方式可以分为：开口孔型、闭口孔型、半闭孔型和对角孔型[2]。

由于孔型法轧制法采用的孔型是在上下轧辊上根据不同的轧制道次可制成成品形状的槽（孔型）所组成的，因此同一孔型中的轧辊的直径会发生显著的差异，沿轧辊直径方向各点的线速度也会发生有明显的变化，特别是在轧制异型断面型材时，闭口孔型或对角孔型的使用，会加剧速度差，造成型材的形状不对称，压下量分配不均匀，使得孔型内金属产生附加流动，导致轧制能耗增加，孔型局部磨损严重。目前，用孔型法生产型材的孔型系统设计，经验因素尚占重要地位。这种生产方法需在轧辊上车削轧槽，轧槽都存在斜度，其作用是使轧件易于正确进入孔型、利于轧件脱槽、轧辊重磨后能恢复孔型原有尺寸，延长轧辊的使用寿命。另外，侧壁斜度大，侧压量大，利于轧件的孔型延伸，但轧槽的斜度就使得用孔型法无法生产出内外侧平行的经济断面型材，特别是刻槽深度受轧辊强度的限制，无法生产宽翼缘的工字钢[3]。

普通热轧法可生产简单断面型钢、复杂断面型钢及其他型钢。尽管这种方法在轧制异形断面型钢时会产生辊径差和不均匀变形，引起孔型内各部分金属相对附加流动，从而使轧制能耗增加，孔型磨损加速，成品内部产生较大的残余应力，影响轧材质量，但这种乳制方法设备比较简单，故仍是主要的生产方法。

型钢的对称性是孔型设计必须考虑的重要因素，它对轧件在孔型内的稳定性有很大的影响。一般情况下，对称轴两侧的变形和压力分布是比较均匀的。在轧制过程中，如果断面对称轴垂直于轧辊轴线，则在断面宽度方向上的变形和压力分布是对称的，一般不会引起轧件的侧弯和扭转。若断面对称轴平行于轧辊轴线，则沿高度方向上的变形是对称的，轧件与上、下辊的接触面积接近相等，形状基本相同，一般不会在纵向垂直面上产生弯曲。槽钢有一个与轧辊轴线垂直的对称轴，所以一般不会产生轧件的侧弯和扭转。

由于大多数异形断面轧件由方坯或矩形坯轧成，以及由于异型孔型的结构特点，所以在异形孔型中几乎不可避免地存在着不均匀变形，这种不均匀变形使孔型中的金属流动复杂化。孔型设计者利用以下不均匀变形来帮助异形断面的形成：(1)利用不均匀变形产生强迫宽展把较窄的钢坯轧成较宽的产品；(2)用加假帽的方法加大角钢或槽钢角部的压下系数，使角部有充裕的金属并提高角部的温度，以获得具有清晰尖角的产品；(3)加大断面某部分的变形系数，产生强迫宽展而得到宽的翼缘；(4)利用不均匀变形来加强轧件某部分的压缩比，以改善该部分金属的质量[4]。

在异形孔中轧制时，由于存在不均匀变形，引起金属从孔型的一部分流动到

另一部分的现象称为金属的转移。其转移为：延伸大的部分受到延伸小的部分的牵制产生强迫宽展，而延伸小的部分，在张应力的作用下，金属断面有拉缩的趋势，因此延伸大的部分横向流动的金属便乘虚面入，形成了金属的转移，即金属总是由变形系数大的部分向变形系数小的部分转移，各部分之间延伸量也就越大。

虽然同一种断面的轧件可以采用不同的孔型系统来轧制，但一旦确定了某种孔型系统，则该种孔型系统就决定了整个变形过程。所以选择较为合理的孔型系统是孔型设计极其重要的一个环节。孔型系统选择后，接着即选择一定数量的切分孔、控制孔、异形孔、成品前孔、成品孔，并且确定其合理的形状、结构、开口位置，并根据其变形特点按顺序排列起来。面各种孔型的数量决定于设备的能力、坯料断面尺寸、成品断面尺寸、形状、公差要求等因素。对连轧机来讲，选择孔型数目的多少主要决定于尽可能减少轧件剧烈变形，使相邻机架孔型磨损较为均匀，轧制稳定，产品尺寸及表面质量容易掌握，达到较高的作业率，并降低轧辊和导卫的消耗。

按照孔型的用途，把孔型分为延伸孔和变形孔两种。延伸孔的用途主要是压缩轧件的断面，使其满足切分孔的要求。为使两腿切分准确，建议取方坯断面为宜。变形孔的作用主要是使断面逐渐接近成品。按照变形的特点，变形孔又可分为粗轧孔和精轧孔两种。在祖轧孔内．轧件被迫切入，具有很大的不均匀变形，同时使断面具有成品的雏形。在精轧孔内，轧件的变形相对比较均匀，变形量逐渐减小，其作用是对断面进行相加工，使表面光洁，尺寸精确，最后生产出符合产品标准的成品[5]。

1.1.3 引导轮简介

1 文献综述

1.1 型钢生产的一般特征

1.1.1 热轧型钢的品种分类及其特征

钢材的品种规格是指钢材的断面形状和尺寸的总称。据统计各类型钢的形状有1500多种，尺寸规格达3900多个。型钢用于国民经济中的各个领域，占有不可缺少的地位[1]。

按照型钢的生产方式可以分为热轧型钢，冷轧、冷拔型钢，热弯、冷弯型钢，焊接型钢和用特殊方法生产的型钢(如火车车轮、轮箍、钢球、变断面阶梯轴、齿轮、钻头)等。

热轧型钢是冶金生产中最后一个生产环节的产品之一，它的品种繁多，断面几何形状及尺寸差异很大。按照型钢断面形状及用途，热轧型钢可以分成三类。

1）简单断面型钢

简单断面型钢是指钢材横断面对称，外形比较均匀、简单，如圆钢、线材、方钢和扁钢等。这类型钢多用于机械制造、金属结构、桥梁建筑等部门，大部分线材则作为拉拔材的原料[2]。

2）复杂断面型钢

复杂断面型钢也有称为异形断面型钢，是指横断面由两个以上的简单几何形状组成，具有长而薄的翼缘。复杂断面型钢可以分成以下几种，

（1）钢材断面具有水平及垂直方向二个对称铀的型钢，如工字钢、H形钢

等；

（2）断面上有一个对称轴的型钢，如槽钢、T形钢和U形钢有垂直方向的对称袖，钢轨在水平方向上对称；

（3）钢材断面上没有对称轴的型钢，即在型钢断面各部分的组成上、在水平和垂直方向上均不对称，如球扁钢、钢窗用钢和犁铧钢等。

复杂断面型钢在热轧成形过程中各部分金属变形严重不均，表现在孔型各个部位的轧制速度不均，各部分金属受力条件不同，变形时间的不同时性等。这种严重的不均匀变形导致轧件在孔型内变形的复杂化。严重的不均匀变形对轧件的质量、轧辊磨损、轧制能耗以及导卫装置安装和调整工作带来很多不利影响[3]。

复杂断面型钢在轧后自然冷却过程中断面各部分的金图冷却条件不同，引起各部金属温度不同，造成冷却收缩不均。这样，就会使冷却后的型钢发生弯曲或扭转，造成轧件内部组织性能的不均匀和外部尺寸的变化，将给后部精整带来困难以及成材率的降低。

复杂断面型钢的部分产品有工字钢、H型钢、槽钢、钢轨、Z字钢、T字钢、窗框钢、钢桩、球扁钢、履带钢和轮毂钢等。

3）周期断面型钢

周期断面型钢的断面和尺寸呈周期性沿轧材纵铀方向变化。这种型钢可用纵轧、斜轧、横轧或楔横轧方式生产。周期断面型钢的部分产品有热轧、冷轧带助钢筋、变断面轴、变断面扁钢和机械零件用的变断面轧件[4]。

1.2型钢轧制技术研究

型钢的热轧生产方式主要有孔型法和万能法两种。

1)孔型法孔型法是生产简单断面型材的主要方法。这种方法一般是在两个辊或多个辊轧机上，用其轧辊的辊身上车削的轧槽所形成断面轮廓即所形成的孔型对金属进行轧制。轧制型钢的孔型系统按照形状可以分为两大类：简单断面孔型（箱形孔型、菱形孔型、六角孔型、椭圆孔型、方孔型、圆孔型）和异型断面孔型（工字形孔型、槽形孔型、轨形孔型、T字形孔型等）[3]。孔型按照在轧辊上的配置方式可以分为：开口孔型、闭口孔型、半闭孔型和对角孔型—开口孔型：辊缝位于孔型周边之内，其水平轧辊辊缝一般位于孔型高度中间，开坯或轧制简单断面型材一般采用这种孔型；闭口孔型：辊缝位于孔型周边之外；半闭孔型：通常称为控制孔型，如控制槽钢腿部高度等，其轧辊辊缝常靠近孔型的底部或顶部；对角孔型：辊缝位于孔型的对角线上。孔型按用途可分为开坯孔型（也称延伸孔型）、预轧孔型（也称毛轧孔型）、成品前孔型和成品孔型。开坯孔型的作用是将钢坯断面减小，使其延伸，形状不发生很大的变化，为后续孔型提供合适的扎件尺寸；预轧孔型的作用是在继续减小轧件断面的同时，使轧件断面逐渐与成品具有相似的形状和尺寸；成品前孔型的任务主要是为在成品孔型中轧出合格产品做准备；成品孔型是一套孔型系统中扎出成品的最后一个孔型，其主要针对轧件进行的精加工，使轧件达到成品所要求形状和尺寸[5]。

由于孔型法轧制法采用的孔型是在上下轧辊上根据不同的轧制道次可制成成品形状的槽（孔型）所组成的，因此同一孔型中的轧辊的直径会发生显著的差异，沿轧辊直径方向各点的线速度也会发生有明显的变化，特别是在轧制异型断面型材时，闭口孔型或对角孔型的使用，会加剧速度差，造成型材的形状不对称，压下量分配不均匀，使得孔型内金属产生附加流动，导致轧制能耗增加，孔型局部磨损严重。目前，用孔型法生产型材的孔型系统设计，经验因素尚占重要地位。

这种生产方法需在轧辊上车削轧槽，轧槽都存在斜度，其作用是使轧件易于正确进入孔型、利于轧件脱槽、轧辊重磨后能恢复孔型原有尺寸，延长轧辊的使用寿命。另外，侧壁斜度大，侧压量大，利于轧件的孔型延伸，但轧槽的斜度就使得用孔型法无法生产出内外侧平行的经济断面型材，特别是刻槽深度受轧辊强度的限制，无法生产宽翼缘的工字钢。

2)万能轧制法万能轧制法是1902年在卢森堡的Arbed工厂，从轧制平行翼缘工字钢(由于其形状像英文字母H，故称H型钢)开始发展起来的。万能轧制法的孔型是由三个或三个以上轧辊所围成，故亦称多辊轧法。这种方法多用于生产H型钢、平行腿槽钢及钢轨(T字钢一般由H型钢剖分得到)。轧制H型钢时，其轧辊配置如图1所示[4]。

图1万能辊系配置

孔型由布置在同一铅垂面的上、下水平辊和左、右立辊组成。四个轧辊可以在两个方向上加工所要求的H型钢的断面尺寸，实现水平和垂直方向的同时压下。这种万能轧制法的特点是：轧件与轧辊之间相对滑动小，避免了钢材表面开裂，钢材表面质量得到了改善；万能法孔型速度差较小，孔型各部位磨损均匀，轧制尺寸稳定，尺寸精度比孔型法高30%以上；由于孔型磨损均匀，轧辊消耗低，据资料统计，每吨钢材轧辊消耗比孔型法降低约2公斤，并且轧辊的共用性增加；由于金属变形均匀，轧件的残余应力减小，提高了轧材的机械性能；可以用较小的辊径轧制较大规格的型材，尤其是可以生产孔型法无法生产的经济断面型材，如H型钢，从而扩大了产品品种范围[6]。

1.2 刚塑性有限元的变形理论

异型钢轧制发生复杂的三维金属流动，因此用数学解析法研究轧制过程中轧件的金属流动、应力场、应力场的变化规律是十分困难的，从而计算机模拟成了金属塑性变形模拟的有效方法。刚塑性有限元是塑性变形量很大，相对弹性变形量很小，并且刚塑性比弹塑性在模拟计算时可以节约时间，由于热轧时，轧件温度导致了轧件的变形抗力减小，并且轧件比较厚，而轧件的弹性变形相对于塑性变形而言占得比例可以忽略不计，所以，该异型钢轧制变形过程有限元模拟采用刚塑性变形理论。

1.2.1 塑性方程

塑性方程是塑性变形中的物理方程，在一定的变形条件时受力物体内设定的

屈服条件就是此点各应力分量的函数，其方程为(1)所示：

()0ij f σ= (1)

()ij f σ称为屈服函数，此函数与坐标选择、对应的塑性体积变化球应力分量

无关，此函数只与对应形状的偏差应力分量有关[6]。

1.2.2 刚塑性材料的增量与全量理论

1）刚塑性的增量理论

对于小应变速率下进行的热变形材料或是预先加工硬化材料，其变形抗力曲线都有基本水平的部分，把水平部分抽象成刚塑性材料[7~12]。如果加载函数?取 Mises 屈服函数()0ij f σ=则 Levy-Mises 流动法则为：

p ij

ij d d s λε= (2)

2）刚塑性的全量理论

材料进入塑性阶段后加载和卸载的规律不相同，那样应力应变就不是一一对应的单值关系，但是如果知道初始状态到某时刻的全部变形历史及每时刻应力增量和应变全量之间的关系即为全量理论。虽然有时不太符合简单的加载条件的变形过程，也可以用全量理论，计算结果和实际符合很好[13]。

1.2.3 虚功原理

虚功原理：对于一个静态平衡系统，所有外力作用经过的虚位移所做的虚功总和为零。轧件在变形过程中变形在每一瞬间都应该满足平衡，即所有对物体的外力做的虚功总和为零。虚功原理是拉格朗日力学的基础，但是在进行刚-塑性材料进行力学极限分析的时候应该利用应力间断和速度间断来简化计算，此原理适用于任何的线性或是非线性的变形体，适用于任何的结构[14~21]。为了便于讨论下边为以变化率表示的虚功方程 ：

ij ij e i i i i

v v e dv s p v ds F v dv σδδδ=+???…………………………(3) 式中：

V —求解域；

i p —对应的表面应力；

e s —应力边界条件；

i F —体积力；

ij σ —Eulaer 应力张量的分量；

i v δ —物体内质点的虚速度分量；

ij e δ —虚速度应力分力；

ij e —Almansi 应变张量。

1.2.4 显式动力学分析原理

假设在t 时刻体积为V 的物体的表面积为S ，则：

a u S S S =+ (4)

式中：

a S —为外力为i T 已知的表面；

u S —为位移面或为位移约束的表面，其中位移是已知的。

在物体V 发生变形时，必须满足以下的基本方程和条件[22~29]。

应力边界条件：

ij j i n T σ= (5)

平衡方程：

,,ij i i u i l f u u σρμ+=+ (6)

物理方程：

ij ijkl kl D σε= (7)

作用于a S 上位移边界条件：

i i u u = (8)

式中：

ij σ —应力张量；

kl ε —应变张量；

i u —位移值；

i T —外力；

i f —单位体积受力情况；

μ —阻尼系数；

ijkl D —弹塑性矩阵分量；

,i u u —位移i u 对t 的二次导数；

,i l u —位移i u 对t 的一次导数。

把(5)、(6)、(7)Galerkin 提法的等效积分，带入到式子(8)可得到如下式子：

(),,ij ijkl i i u i i l i i i i V S V

D u u u u dV u T dS u f dV δεδρδμδδ++=+???……………(9) 由于位移变分的任意性，离散化位移空间，于是可得到系统求解方程：

()()()()Ma t Cv t Ku t Q t ++= (10)

式中：

M —质量刚度矩阵；

C —阻尼矩阵；

K —刚度矩阵；

()a t —节点加速度向量；

()v t —节点速度向量；

()Q t —节点载荷向量。

忽视阻尼的影响和几何的非线性式(10)可以改写成：

()t t t t t t t L NL M a K K u Q F +?+?++=

- t

t T t L L L V K B D B dV =?

t t T t t NL NL NL V

K B S B dV =? t

t t T L V F B SdV =?…………………………………(11) 式中：

t L B —线性应变的位移转换矩阵；

t NL B —非线性应变的位移转换矩阵；

t

S —第二类Piola-Kirchhoff 应力矩阵； D —本构矩阵；

t S —第二类Piola-Kirchhoff 应力向量。

加速度的中心差分法位移式为[30]：

()()22t t t t t a t u u u t -?+?=-+?…………………………(12) 把式(12)带入式子(11)可以得到中心差分递推公式[31~37]：

()2222t t t t t t t t L NL M u t Q K K M t u M u t +?-??=-+-?-? (13)