Frattini子群的一些推广

幂子群与循环群的充要条件

幂子群与循环群的充要条件摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。关键词：幂子群循环群充要条件代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。一、幂子群与循环群概述（一）幂子群设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得 H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G

的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。 1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的； 2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。（二）循环群设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。当然，G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型：

由一道习题谈子群的乘积是子群的判定条件

Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(4), 546-550 Published Online June 2019 in Hans. https://www.360docs.net/doc/ad10528842.html,/journal/pm https://https://www.360docs.net/doc/ad10528842.html,/10.12677/pm.2019.94072 The Subgroup’s Judgment Conditions Based on Subgroup Product from an Exercise Qian Sun, Xiaolian Liao Department of Mathematics, Hunan University of Humanities and Technology, Loudi Hunan Received: Jun. 5th, 2019; accepted: Jun. 15th, 2019; published: Jun. 27th, 2019 Abstract Since the product of a subgroup of a finite group G is not necessarily a subgroup of G, how to judge the product of a subgroup as a subgroup is a question worthy of discussion. Starting from an after-class exercise, we will explore that the product of two subgroups of a finite group is the judgment condition of the subgroup, mainly deduce that the product of two subgroups of a group is the judgment condition of the subgroup, and generalize the number of groups to three cases. Keywords Group, Subgroup, Invariant Group, Product of Subgroups 由一道习题谈子群的乘积是子群的判定条件孙倩，廖小莲湖南人文科技学院数学系，湖南娄底收稿日期：2019年6月5日；录用日期：2019年6月15日；发布日期：2019年6月27日摘要由于有限群G的子群的乘积不一定是G的子群，如何判断子群的乘积为子群是一个值得探讨的问题。我们将从一道课后习题出发，来探索有限群的子群的乘积是子群的判定条件，重点推导一个群的两个子群的乘积是子群的判断条件，并将子群个数推广到三个的情形。

正规子群

§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。 3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下： a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a； (2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a； (3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。 3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。 (1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。 (2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。 (2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。显然F是满射。任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。因为F是双射，所以|a| = |H|。■ 因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。 1

不变子群判别条件

不变子群判别条件摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用. 关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系 1.判断一个子群为不变子群的条件. 1.1．与定义等价的判别条件 1.H G，即?a∈G, 有aH=Ha 2.?a∈G,有aHa1-=H 3.?a∈G,有aHa1-?H 4.?a∈G,?h∈H,有aha1-∈H 5.?a∈G,有aH?Ha 6.?a∈G,有H?a1-Ha 7.aHbH=abH, ?a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集 8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集 9.?a∈G,有a1-Ha=H 10.?a∈G,有a1-Ha?H 11.?a∈G,?h∈H,有a1-ha∈H 12.?a∈G,有Ha?aH 13.?a∈G,有H?aHa1-

14.HaHb=Hab, ?a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集 15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在） 17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系 18.N (H)=G G 19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)?H。即H由G的若干整个的共轭类组成。 1.2.直接判断一个子群为不变子群的条件 1．指数为2的子群为不变子群. 证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2 ∴G=eH∪aH=He∪Ha ?aH=Ha ?a∈G, 即H G 2．设G为群，H是G的子群,?a∈G, a1-ha?H, 则H是G的不变子群. 证明:a1-ha?H ? a(a1-Ha)a1-?aHa1-? H?aHa1-又 (a1-)1-Ha1-?H 即aHa1-?H ∴?a∈G,a1-Ha=H ? aH=Ha ?a∈G 即H G 3.群G的中心C是G的一个不变子群. 证明:∵C与G中的每个元素都可交换∴对?a∈G,有aC=Ca ∴C G 4.交换群的子群都是不变子群. 证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H }=Ha ?a∈G ∴H G 5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B 是G的不变子群.

3。2 正规子群与商群

§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN N a ≠，（见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ?∈=。例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当 a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN N a =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==， (13){(13),(23),(12)}(13)N N ==， (23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ?∈=，都有aN N a =。再比如，交换群的子群总满足上述性质。设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ?∈=有，则称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S 交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。 {}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子群称为非平凡正规子群。

定理1. 设N G ≤，则 1 ,N G a G aNa N -??∈? 有； ?,,a G x N ?∈?∈ 都有1 .axa N -∈ 例1 证明：次交错群n A 是次对称群n S 的正规子群：n n A S 。例2. 设(){|(),||0}n n G G L R A A M R A =∈≠ 且， (){|||1}n N SL R A A R A =∈= ，且，证明：N G 。证明：,X G A N ?∈?∈，则 111 ||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S = 。证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2 阶偶置换。现44,x K S σ?∈?∈，则1 x σσ -的阶为2且是偶置换，从而1 4 x K σσ-∈，故44K S 。由,H K K N H N ≤≤?≤，即子群具有传递性。但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H N 。例如，由例3，44K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是交换群，显然有4 4B K 。但是4 B 不是4S 的正规子群，因为取 4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。

特殊群的子群,不变子群与商群

他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程. 1 群及其同态与同构定义1.1 设G 是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有 ()()**a b c a b c =； Ⅱ.中有元素e ，叫做G 的左单位元，它对G 中每个元素a 都有 ea a =；

论述全特征子群特征子群与正规子群之间的关系

本科生代数论文课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系班级：2011级应用数学班姓名：xx 学号：xxxxxxxx 专业：xxxxxxxxxxx 学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx

摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。一．陪集的引入定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH 定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。即有：c（H∩K）=cH∩cK。定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ?3。定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。二．自同构群的定义定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的

不变子群的判别条件

不变子群的判别条件高海燕 (西北师范大学数学系2003届) 摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用. 关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈?,都有Ha aH =,那么，就说H 是 G 的一个不变子群. 记为：G H . 设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭. 3．正规化子：N G (H)={g ?G ︱H g =H}={g ?G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。 4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系 R 满足：aRb, cRd ? acRbd ?a,b,c ?A 则称R 为A 的一个同余关系。一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程. ㈠．与定义等价的判别条件 1.H G ，即?a ?G, 有aH=Ha 2.?a ?G,有aHa 1-=H

3.?a?G,有aHa1-?H 4.?a?G,?h?H,有aha1-?H 5.?a?G,有aH?Ha 6.?a?G,有H?a1-Ha 7.aHbH=abH, ?a,b?G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集 8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集 9.?a?G,有a1-Ha=H 10.?a?G,有a1-Ha?H 11.?a?G,?h?H,有a1-ha?H 12.?a?G,有Ha?aH 13.?a?G,有H?aHa1- 14.HaHb=Hab, ?a,b?G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集 15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在） 17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b?H，所定义的关系R为同余关系 (H)=G 18.N G 19.若n?N，则所属的G的共轭元素C(n)?H。即H由G的若干整个的共轭类组成。证明上述条件的等价性，在此采用两种证法. 证法1：

(完整版)循环群讲义

§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ΛΛ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂. 一、循环群的概念 1.定义 G 称为循环群?群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂???倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ?=)(是群，且???==∈?∈?)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】 2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-?a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】 3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=?=±n n Θ】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=?∈==∈?=k Z k n nk k k Z 】 *实际上可进一步证明：)()(a G a o =?∞=只有两个生成元1 ,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=?=?=?==∈∞=or s st a a b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z . 问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】 *实际上可进一步证明：)()(a G n a o =?=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =?====?=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=?-?=?=?===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a Λ. ◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元. 二、循环群的种类 1.结构定理设循环群)(a G =同构于???=+∞=+n a o if Z a o if Z n )(),,()(),,(. 证明注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=?=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:?，可证?是同构映射.(证略) 【?是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =?=-?=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证?是满射/单射. 再证?的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k |?=】此时，令][,:k a Z G k n →→? ?是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =?-?==-，说明对应元唯一. ?是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===?=-?-=-)()(|. ?是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈?∈?? 再证?的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.

正规子群,商群与同态基本定理

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群） G H G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈?≤,,1 ·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。 ·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） H aHa H aHa H h G a H aha G H G H =?∈∈?∈? ≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法 Eg1.)()(R GL R SL n n Eg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈?== Eg3.44S A Eg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G H G bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/} |{/,1?∈?=?∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群（当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理 1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，

同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im （2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态?群同构：f f G Im ker /? 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ?ker /