泰勒《课程与教学的基本原理》
泰勒《课程与教学的基本
原理》
读书汇报
112014308000568
秦思梦
一、本书结构
?泰勒的《课程与教学的基本原理》
——兼述美国课程理论的兴起与发展
?课程与教学的基本原理（共五章）
?附录（课程编制的新尺度；课程编制中的两个新重点；课程编制的具体方法；20世纪五项最有意义的课程事件；计划评价的基本原理）
二、主要内容
?1、学校应该达到哪些教育目标
?2、如何选择有可能有助于达到这些目标的学习经验?3、如何为有效的教学组织学习经验
?4、如何评价学习经验的有效性
?5、学校或学院的教师如何从事课程编制的工作
?行为
?在泰勒原理中, “行为”一直是被强调的核心概念。这里的“行为”是广义的,它“包括人的思维、情感以及外显的行动。”泰勒一方面非常强调行为目标, 另一方面他也重视学生的情感和能力的培养, 把“思维和情感”作为行为的表现形式。这是由于“思维和情感”具有复杂性和抽象性, 需要借助行为外显出来, 以便更好地把握和理解?目标
?在泰勒原理中, “目标”是“人们有意识追求的对象,即学校教职人员想实现的宗旨”, “目标”归根到底是一个“选择”的问题。学校的目标就是“提供有助于人们明智处理这些当代问题的知识、技能及态度等等”。泰勒提出, 目标要尽量具体化、清晰化, 具有可操作性, 最好包括行为和内容两个部分。这样不但限定了学生学习的内容, 而且还规定了学生对这些内容产生的结果。
在泰勒的模式中, 行为目标是学校在选择、创造和组织学习经验时, 根据学生的外显行为、思维、感情、心理等特点来设置的使学生行为发生改变的教育目标。该教育目标的评估, 是根据学生外显行为的改变来确定。所以泰勒的整个课程过程就是学生的行为发生变化以及以此作为教育目标评估的标准。
确定目标
三个来源（目标来源）
两道筛子（过滤目标）
?最有效的四种目标陈述（陈述目标）
①把教育目标作为教师要做的事情来陈述
②列举一门或几门学程所要涉及的课题、概念、概括或其他内容要素
③采用概括化的行为方式来陈述
④最为有效的陈述目标的形式是既指出要使学生养成的那种行为, 又说明这种行为能在其中运用的生活领域或内容
选择经验
从实质上说, 学习是通过学习者所具有
的经验而发生的, 因此, 教育的手段是学习
者已有的教育经验才能达到教育目标。泰
勒从以下几个方面来说明这个问题
?经验的含义
泰勒认为, 学习经验不同于一门学程所涉及的内容,也不同于教师所从事的各种活动, 它是指学习者环境中的外部条件之间的相互作用。学习是通过学生的主动行为而发生的, 学生的学习取决于他自己做了什么, 而不是教师做了什么。因此同一个班上的两个学生, 可能会有两种不同的经验。而对于教育, 其基本手段是提供的经验, 而不是向学生展示的各种事物。
?选择学习经验的一般原则
为了达到某一目标,学生必须具有使自身有机会实践这个目标所隐含的那种行为的经验
学习经验必须使学生由于实践目标所隐含的那种行为而获得满足感
学习经验所期望的反应,是在学生力所能及的范围之内的, 即学习经验应该适合于学生目前的成就水平和心理倾向等方面的条件
有许多特定的经验可用来达到同样的教育目标, 只要教育经验符合有效学习的各项准则, 它们便有助于达到所期望的目标
?有助于达到各类目标的学习经验的特征
①培养思维技能的学习经验
②有助于获得信息的学习经验
③有助于形成社会态度的学习经验
④有助于培养兴趣的学习经验
泰勒强调, 可以用多种学习经验达到某一目标; 同一学习经验也可以用来达到多个目标。因此, 设计学习经验的过程“并不是用一种机械的方法为每一个特定目标明确规定的学习经验, 相反,它是一种比较富有创造性的过程”。
组织经验
泰勒认为, 必须把学习经
验组合在一起才便于形成某种
连贯的教学计划, 因此提出需
要探讨把学习经验组织成单元、
学程和教学计划的程序
?组织的含义
为了使教育经验产生累积效应, 必须对它们加以组织, 使它们相互作用。组织被认为是课程编制中的一个重要问题, 是因为它极大地影响着教学的效率, 极大地影响主要教育变化在学习者身上的程度。在探讨学习经验的组织时, 可以从“一个时刻到另一个时刻”和从“一个领域到另一个领域”这两种角度来考察学习经验之间的关系, 即纵向关系和横向关系?组织的原则
连续性
顺序性
整合性
?这三个原则是构建一种学习经验的有效框架的基本指导准则。
?组织学习经验的一般程序
组织课程内容——在组织课程内容时, 必须确定作为课程组织线索的课程要素。泰勒认为, 课程要素是指学科的基本概念和技能。要素应该有长远影响的内容, 而不是具体的事实、习惯或非常具体化的内容。
?确定组织原则
?泰勒指出组织的原则:
?是通过扩大学生识别与互相依赖的范围来伸展这一概念的内涵
?二是通过扩大人们互相依赖的方方面面的范围来伸展这一概念的内涵。
?组织的结构
?在探讨学习经验的组织原则后, 还需要探讨组织在学习经验之中的一些重要的结构要素。结构要素有若干个层次:
?在最高层次, 组织结构可以由下列任何一种组成, 如具体的科目、广域课程、核心课程, 一种完全未加分化的结构
?在中间层次, 各种可能的结构, 如按顺序组织的学程、以一学期或一学年为单位的学程
?在最低层次, 有若干种可能的结构, 如课、课题、单元。
?设计组织单元的过程
对课程组织的总体框架取得一致的看法
对已确定的每一个领域内所要遵循的一般组织原则取得一致的看法
对采用的低层次单元的种类取得一致的看法
制定一些灵活的方案或所谓的“资源单元”,供师生一起使用
由学生与教师共同设计班级从事的特定活动
?由此可见, 设计课程经验的组织,包括许多预先的计划, 同时还包括在工作进展期间做出的许多计划,只有这样,才可能从所使用的各种学习经验中获得最大的累积效应。
评价结果
?评价的基本概念
?泰勒指出, 评价是一个确定实际发生的行为变化程度的过程。这个概念有两个重要方面。
?一是它寓意评价必须评估学生的行为
?二是寓意评价在任何时候都必须包括一种以上的评估
?所以, 教育评估至少包括两种评估: 一次是在教育计划的早期进行; 另一次是在后期进行, 以便测量在这个期间发生的变化。
?评价的程序
?评价过程是从教育计划的目标着手的, 因此评价的程序理所当然应该从目标开始。评价的程序如下:?界说目标, 以便了解这些目标实际达到的程度?确保使学生有机会表现教育目标所隐含的行为的情境
?考察现有的各种评价手段, 以便发现获取有关证据的适当途径
?由此可见, 评价方法与教育目标必须相符合才能使评价的结果有效。
?评价结果的使用
从评价手段得出的结果, 不是一个单一的分数或一个单一的描述性术语, 而是表明学生目前成绩的一个分析图, 或者是一组综合的描述术语。对于评价结果, 先要分析结果, 提出假设,再对假设进行检验。所有这些都意味着课程设计是一个连续不断的过程, 当编制材料和程序时, 要对它们进行试验, 评价它们的结果, 发现它们的缺陷, 提出改进的措施。课程设计是一个重新设计、重新编制和重新评价的过程。只有在这种连环中, 课程与教学计划才能年复一年地得到改进
小结
泰勒的《课程与教学的基本原理》是现代课程理论的奠基之作，对后来课程理论研究者产生了巨大的影响，施良方的《课程理论— 课程的基础、原理与问题》就是在其理论基础上成书的，在泰勒课程理论的基础上进行了发展，很明确的表达了自己的观点, 他把课程编制定义为完成一项课程计划的整个过程, 它包括确定课程目标、选择和组织课程内容、实施课程和评价课程等阶段
三、《全球教育展望》2014年1-6月刊
?《全球教育展望》相较于《课程·教材·教法》而言整体内容更加
丰富，不仅包括课程、教材和教法方面的内容，等具有国际视野?课程与教学、教师教育、儿童研究、国际与比较教育、学科教育、课堂教学评价、教育政策与管理、素质教育与课程改革、会议综述
课程变革: 学生体验幸福的教育路径
主要从学科课程与综合实践活动课程入手阐述课程变革之
于学生幸福的内在关联，试图构建学科课程与综合实践活动课程一体化的“课程连续体”以实现学生在学科课程中领略学习的乐趣，在综合实践活动课程中体验探究的魅力。
?20 世纪初，从学科课程转向经验课程
?50 年代末到60 年代初，从经验主义课程转向注重学科结构以追求卓越知性的学科课程方向
?70 年代以来，则以“人性”、“个性”、“自我实现”以及“完整的人”等概念充斥着课程领域，预示着课程步入关注人本身，关涉人的自我实现以及人生幸福的方向
?课程变革之于学生幸福的内在关联
2000 年1 月31 日，我国教育部颁发了《全国普通高中课程计划》，新设综合实践活动课，其核心是“基于学生的直接经验，联系学生自身生活和社会生活，注重对知识技能的综合运用，体现经验和生活对学生发展价值的实践性课程，课程设计趋向“多元”、“生态”、“个性”以及“科学与生活”世界的整合，帮助学生在追求个性发展中“学会认知”，教诲学生敬畏自然，关爱环境，在科学世界与生活世界的对话中“学会做事”，引导他们理解并尊重人类的多样性与差异性，在不同的民族文化中认识共同的人性而“学会共同生活”，进而在自我、社会、自然的和谐发展中“学会生存”。实现学校教育对学生一生的幸福负责
?学科课程之于学生幸福的价值诉求
随着知识经济与信息社会的到来，学科课程的学习已经不再是人们获得各种知识、技能和能力的唯一渠道，也不再是人们谋求生存和工作所必需。教育更为关注学生的生活质量与生命品质，如何体会学科课程之于个体成长的内在价值，如何在学科课程中领略学习的乐趣乃是学科课程之于学生幸福的价值诉求，毕竟，健康的身体与健全的身心对于任何一个人的人生幸福都是不言而喻的。
?综合实践活动课程之于学生幸福的现实蕴涵
“综合实践活动课程”的内容主要涉及研究性学习、社区服务与社会实践、信息技术教育、劳动与技术教育等。具体目标包括: 学习解决问题的基本方法，掌握基本的生活技能; 参与家庭、社区活动，体验社会责任; 走进并认识大自然，增进关爱自然、保护环境的意识; 培养积极而负责的生活态度，发展主动获取知识和信息的能力，养成自主解决未知问题的态度与习惯。作为以“问题”为中心的综合实践活动课程，乃是一种开放性的课程形态，一种广延性的课程形式，一种创生性的课程存在。通过创造，学生领略到创生的神奇、体验到了探究的魅力，并因此而获得了对幸福的真实理解。因为人之所以幸福，是由于他可以设计着自己的梦想; 人之所以幸福，是因为他可以实践着自己的梦想; 人之所以幸福，是因为他可以创造着自己的梦想。
“课程不是为课程本身而存在, 不是为教师生存而存在,也不是为了学生急性的、偶发的需求而存在, 课程要顾及到孩子将来的生存与发展, 要为其一生莫定基础, 最终要归及到终极意义—— 幸福上”
泰勒公式的证明及应用(1)
一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)
Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同
泰勒管理理论核心
泰勒管理理论核心 泰勒于1856年出生在美国费城一个富裕的家庭里，19岁时因故停学进入一家小机械厂当徒工。22岁时进入费城米德维尔钢铁公司，开始当技工，后来迅速提升为工长、总技师。28岁时任钢铁公司的总工程师。1890年泰勒离开这家公司，从事顾问工作。 1898 年进入伯利恒钢铁公司继续从事管理方面的研究，后来他取得发明高速工具钢的利。1901年以后，他用大部分时间从事写作、讲演，宣传他的一套企业管理理论，即“科学管理----泰勒制”。代表作为《科学管理原理》泰勒的科学管理的内容概括起来主要有5条：工作定额原理、能力与工作相适应原理、标准化原理、差别计件付酬制、计划和执行相分原理。 1、泰勒认为，为了发掘工人们劳动生产率的潜力，首先应该进行时间和动作的研究。 所谓时间研究，就是研究人们在工作期间各种活动的时间构成，它包括工作日写实与测时。 所谓动作研究，是研究工人干活时动作的合理性，即研究工
人在干活时，其身体各部位的动作，经过比较、分析之后，去掉多余的动作，改善必要的动作，从而减少人的疲劳，提高劳动生产率。 所谓能力与工作相适应原理，即主张一改工人挑选工作的传统，而坚持以工作挑选工人，每一个岗位都挑选第一流的工人，以确保较高的工作效率！ 标准化原理是指工人在工作时要采用标准的操作方法，而且工人所使用的工具、机器、材料和所在工作现场环境等等都应该标准化，以利于提高劳动生产率！ 2、泰勒认为，工人磨洋工的重要原因之一是付酬制度不合理，计时工资不能体现按劳付酬，干多干少在时间上无法确切的体现出来；他认为，要在科学地制定劳动定额的前提下，采用差别计件工资制来鼓励工人完成或超额完成定额！ 3、泰勒认为应该用科学的工作方法取代经验工作方法；应该把计划和执行分离开来。计划由管理当局负责，执行由工长负责，这里的计划包括三方面的内容： (1)时间和动作研究 (2)制定劳动定额和标准的操作方法，并选用标准工具 (3)比较标准和执行的实际情况，并进行控制 二、泰勒科学管理的二重性 列宁认为：“泰勒制——也同资本主义其他一切进步的东西一样，有两个方面，一方面是资产阶级剥削的最巧妙的残酷手
《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc
《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极
限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）
论泰勒的科学管理理论及其应用
泰勒的科学管理理论 ——论泰勒科学管理理论及其在实际中的运用 一、泰勒科学管理理论的产生背景和主要内容 19世纪末20世纪初，美国的工业化发展达到了相当高的程度，一方面是生产规模和科学技术的迅猛发展，另一方面是企业间的竞争日益加剧。当时，人们缺乏管理现代化大工业的方法和技术，导致劳动生产率增长缓慢，劳资关系日益紧张，工人缺乏生产积极性。如何真正有效地提高劳动生产率，已成为当时各个企业共同关心的问题。当时，在米德威尔钢铁厂任总工程师的泰勒致力于企业管理的改革，创造了一套科学的管理方法，并于1911年出版了理论著作《科学管理理论》，从而开辟了一个新的管理时代。 泰勒的科学管理是一个内容十分丰富的知识体系，其根本目的是谋求最高效率，而最高的工作效率是雇主和雇员达到共同富裕的基础，使较高工资和较低的劳动成本统一起来，从而扩大再生产的发展。其基本主要内容包括以下几个方面： （一）工作定额原理。 泰勒科学管理的中心问题是提高劳动生产率。他认为，科学管理如同节省劳动的机器一样，其目的在于提高每一个单位劳动力的产量。在当时的经营管理下，不论工人和雇主都对一天应该干多少活心中无数。工人因对资本家的剥削不满，普遍采用“磨洋工”的斗争形式，没有充分发挥出自身的劳动力；而雇主也凭一般印象或不完整记录来确定标准，因而常引起劳动纠纷。所以，泰勒提出，要制定出有科学依据的工人的“合理的工作日程”。 （二）为工作挑选“第一流的工人”。 在泰勒看来，人具有不同的天赋和才能，只要工作对他合适，都能成为第一流的工人。所以问题的关键在于要努力使每一种类型的工人都能找到能够使其成为第一流工人的工作。而培训工人成为“第一流的工人”，是管理者的职责。企业管理当局的责任在于为雇员找到合适的工作，培训他们成为第一流工人，激励他们尽最大的力量来工作。 （三）标准化原理。 泰勒认为，必须用科学的方法对工人的操作方法、使用的工具、劳动和休息时间的搭配，以至机器的安排和作业环境的布置等进行分析，消除各种不合理的因素，把各种最好的因素结合起来，形成一种最好的方法。当企业管理当局把这些应用到工人的工作中去之后，将会大大提高工人的产量。 （四）实行刺激性的工资报酬制度。 为了鼓励工人努力工作，完成定额，泰勒提出了这一原则。把定额制定从以估计和经验为基础改变为以科学为基础，然后采用“差别计件制”的刺激性付酬制度，而工资的支付对象是工人而不是职位。虽然企业的工资支付确实增加了，但由于生产率的提高大于工人工资提高的幅度，所以总体来说这一做法是有利于雇主的。 （五）工人和雇主另方面都必须来一次“精神革命”。 泰勒认为劳资双方相互指责、怀疑、对抗会阻碍生产效率的提高，因而要转为相互信任和协作，共同为提高劳动生产率而努力。劳资双方的精神革命是从事协调和合作的基础。他还就为了实现这种精神革命工人和企业管理者双方各自的职责作了具体说明。 （六）把计划职能和执行职能分开，变原来的经验工作法为科学工作法。 泰勒认为，单靠工人自身的经验是不能找到科学的工作方法的，而且他们也没有时间和条件去从事这方面的实验和研究，所以必须把计划职能和执行职能分开。这种分工，可以促进企业管理当局与工人的合作，减少工人罢工的可能性，增强管理者的服务意识和责任感，
泰勒公式的证明及应用
摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用
绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函
泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application
泰勒公式的证明及应用 开题报告
题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；
泰勒公式及其应用
目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)
泰勒公式及其应用 （河南城建学院数理系河南平顶山 467044） 摘要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛.本文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述.文章除了对泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、外推和求曲线的渐近线方程上作解求证明外，特别地，泰勒公式还对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题这4个领域的应用做详细的介绍. 关键词泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项
Abstract Taylor’s formula is the mathematical analysis of the important part, it has become a research function theory method and estimat-ed error limit of the indispensable tools such as a concentrated exp -ression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This paper introduces the Taylor formula and its applications in mathema -tics for discussion on several applications. In addition to Taylor’s article in the commonly used approximation formula, find the limit, Inequality, extrapolation, demand curve equation and determine the asymptotic line on the Convergence of Solutions of applications as shown, in particular, the Taylor formula also Convexity and the in flection point of the function to judge, Generalized Integral Converg -ence application, industry estimates and launched the only problem the application of these four areas a detailed introduction. Keywords：Taylor formula，Peano remainder，Lagrange Remainder
泰勒地科学管理系统理论
泰勒的科学管理理论 本章的基本内容： 一是关于科学管理理论的产生 1．科学管理理论产生的条件。 ⑴美国的工业化初期造成的劳资矛盾激化对管理提出了新的要求。 ⑵经济危机的出现引发了大批企业破产，失业人数猛增。为此，需要建立有效的管理体制，来维护资本主义的社会关系矛盾。 ⑶大量外来移民的涌入，既为美国提供了劳动力，这些移民大多来自农村，只会干体力活，无法适应大机器生产的要求。因此迫切需要一种新的管理方法，能在较短的时间内，把这些劳动力培养成适应工业生产需要的熟练工人。 ⑷工业革命以来管理思想的积累为科学管理理论的产生提供了思想基础。 2．泰勒及其对科学管理理论的探索。 ⑴泰勒是西方古典管理理论的主要代表，科学管理理论的创始人。1856年，泰勒出生于美国宾夕法尼亚州。1878年，22岁的泰勒来到费城的米德维尔钢铁厂，在短短的六年时间里，泰勒从一个普通工人升为机工班长、车间工长、总技师，最后成为总工程师。1890年，泰勒离开米德维尔钢铁厂，先后担任过投资公司总经理，从事过工厂的管理咨询工作，1906年，泰勒担任了美国机械工程师协会的主席， 1915年，在一次发表演讲的归途中，泰勒患了肺炎，在刚度过五十九岁生日的第二天于医院病逝。泰勒被埋葬在一座能俯视费城钢铁厂的小山上，墓碑上刻着“科学管理之父弗雷德里克·温·泰勒”。 ⑵泰勒对科学管理理论的探索。泰勒在一生中从事了大量的生产实践活动，对车间的生产活动和工人的劳动状况非常熟悉。他还是生产技术的行家，在技术上有许多发明创造，拥有100多项专利权。19世纪末，泰勒亲身参加了企业管理工作，这些经历从实践上为他积累了丰富的经验，从而使他与科学管理结下不解之缘。
泰勒的课程理论教学内容
专题1 泰勒的课程论教育 泰勒：美国著名教育学家、课程理论专家、评价理论专家。他是现代课程理论的重要奠基者，是科学化课程开发理论的集大成者。“当代教育评价之父”、“现代课程理论之父”《课程与教学的基本原理》被誉为“现代课程理论的圣经”。 “泰勒原理”的基本内容是围绕四个基本问题的讨论展开的： 第一，学校应该达到哪些教育目标？ 第二，提供哪些教育经验才能实现这些目标？ 第三，怎样才能有效组织这些教育经验？ 第四，我们怎样才能确定这些目标正在得到实现？ 这四个基本问题可进一步归纳为“确定教育目标”、“选择教育经验”、“组织教育经验”、“评价教育计划”，这就是“泰勒原理”的基本内容。泰勒的研究，围绕着解决这些问题的方法和程序进行，他对于每个问题分别从教育的实际状况进行了分析，提出主要问题所在，然后进一步提出解决问题的思路和方法。 （一）学校应该达到哪些教育目标？ 在泰勒看来，确定教育目标是课程开发的出发点。课程开发的整个过程都决定于预定的教育目标，目标是课程的灵魂。 1．目标的三个来源 （1）对学习者自身的研究。教育目标表征着教育机构试图在学生身上所引起变化，因此，对学习者自身的研究自然是确认这种变化的前提。泰勒认为，对学习者的研究是经由两个步骤实现的：一是了解学生的现状；二是把学生的现状与可接受的常模作比较，从中找出差距。这种差距既是学生的需要，也是教育的需要，也即教育所要达成的目标。 （2）对当代生活的研究。对当代生活的研究之所以成为教育目标的来源，这是由现代社会的特点决定的。工业革命之后适应数量的迅速增长，使得教育目标已不能再局限于原来的文化遗产。为使学生适应社会变化和为成人生活作准备，学校必须把精力放在当代社会生活中最重要的方面。 怎样通过分析当代生活确定教育目标？总结泰勒的论述，可以得到如下建议：一是通过“工作分析”和“活动分析”等方法，分析出复杂的当代生活的决定性及其中的重要方面；二是通过分析当代生活，揭示出使学生有机会在其中运用的知识领域；三是致力于使学生理智地理解当代生活问题中的基本原理；四是研究当代生活以确定教育目标的方向时，要考虑特定年龄阶段儿童的需要与兴趣；五是通过研究当代生活所制定的教育目标，要经过可接受的教育哲学的选择。 （3）学科专家的建议。把学科专家作为教育目标的来源，是一般学校和学院通用的做法，也是被普遍接受的观点。但是许多人批评由学科专家建议的教育目标太过专门化、专业化，在许多方面对大多数的学生是不合适的。因此泰勒指出，学科专家在建议目标时必须考虑：你这门学科对哪些不打算成为该学科领域专家的学生的教育能作出什么贡献？你这门学科对外行和一般公民有何价值？ 2．两个筛选器 从上述三个所得到的教育目标，其数量必然是极为可观的，而学校教育所指向的目标只能是少数的。为此，泰勒提出“我们必须对已经获得的大量庞杂的目标进行筛选，以便剔除那些不重要的和互相矛盾的目标。”根据什么进行筛选呢？泰勒提出了两个筛选器：一是教育和社会哲学；二是学习心理学。 （1）教育和社会哲学 泰勒认为，每一个社区、每一所学校都有其独特的哲学价值观。即关于什么是良好的教育、什么是良好的生活、什么是良好的社会的界定。这种哲学可以用来检验所建议的每一项教育
泰勒公式的应用
泰勒公式及其应用
摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用
一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：
泰勒科学管理理论
波士顿沃特敦兵工厂大罢工 1911年，泰勒受聘担任陆军军械部的顾问，在兵工厂推广泰勒制，他的助手梅里克在沃特顿兵工厂进行工时研究时，一个铸工以工会会员为由拒绝配合，兵工厂的领导人惠尔上校同这个工人谈话后，该工人依然不合作。于是，工厂以“不服从命令”为由解雇了这个工人，由此引发了工人的罢工，工会领导人乘机推波助澜，要求国会调查此事。 暴乱原因分析： （1）政治因素（2）待遇不够（3）管理问题（4）工人内在因素“祸首”费雷德里克·泰勒 （1）“科学管理之父” （2）影响了流水线生产方式产生（福特制）卓别林《摩登时代》讽刺 （3）加速了工业革命进程，影响了人类工业化进程。 （4）创造了具有划时代意义的“泰勒制” 泰勒制： 劳动方法标准化；制定标准时间；挑选和培训工人；实行有差别的计件工资；管理和执行分工。 劳动方法标准化：通过对工作的分析仔细研究工人的操作顺序和方法，以求找出最合理的肢体运动路线和加工方法以及应用的工具，剔除多余和不合理的动作。 制定标准时间：泰勒研究了工人操作时间，要求他们紧张地操作，加上适当的休息、调整、熟悉操作过程等额外时间，经过周密分析，制定出完成每个标准动作所需要的标准时间，作为定额管理和支付工资的依据。 实行有差别的计件工资：对按操作标准和工时定额完成计划工作量的工人，以较高的工资率支付工资，对不能完成定额的工人，以较低的工资率支付工资，以鼓励工人提高生产效率。 挑选和培训工人：严格挑选工人，使他能胜任所承担的工作，对选定的工人采取课堂教育和现场操作相结合的方式，按规定的操作标准进行技术培训，改变师傅带徒弟的传统做法。 管理和执行分工：泰勒主张一切工作都应通过考察，明确职责分工。他对管理人员和工人的工作进行了研究，明确划分管理职能和执行职能，并建立生产控制、成本计算和质量控制的基本制度。 泰勒制的缺陷——导致暴乱的原因： （1）泰勒对工人的看法是错误的。他认为工人的主要动机是经济的，工人最关心的是提高自己的金钱收入，即坚持“经济人”假设，这个假设是片面的，因为人的动机是多方面的，既有经济动机，也有社会，心理动机等。 （2）科学管理理论的诸项原则，在实际推行过程中没有得到很好的贯彻，很多企业的工时研究都没有建立在科学的基础上，往往收到企业主和研究人员主观判断的影响，由此确定的作业标准仅反应了企业主追求利润的意图，为工人确定的工资率也是不公正的 （3）泰勒对工会采取怀疑和排斥的态度，在他看来，工会通过是工人和管理部门不和来进行对抗和鼓励对抗，而科学管理则提倡利益一致性，所以他认为，工人参加工会，组织起来就容易发生怠工情况，但实际上，在通过工
泰勒公式证明及应用讲解
泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.
泰勒的+课程与教学的基本原理+
泰勒的《课程与教学的基本原理》 拉尔夫·泰勒于1949 年出版了《课程与教学的基本原理》。该书详细说明了课程编制的一般原理,并围绕四个问题展开论述: 学校应该达到哪些教育目标? 提供哪些教育经验才能实现这些目标? 怎样才能有效地组织这些教育经验? 我们怎样才能确保这些目标正在得到实现? 如图1表示。泰勒指出, 这些原理并不能回答实际中所存在的种种问题,但它通过对以上四个问题回答的程序的阐释, 本身就构成了课程与教学各种问题的基本原理。 一、学校应该达到哪些教育目标 泰勒指出, 任何单一的信息来源, 都不足以为明智而又全面地选择学校教育目标提供基础。因此, 在设计一项全面的课程计划时, 应该对信息的每一种来源都给予考虑。关于教育目标的来源可用图2来表示。 从图2 可以看出教育目标主要有以下三个来源:
来源一:对学习者本身的研究泰勒指出, 教育是一种改变人的行为方式的过程。这个行为是从广义上说的,既包括外显的行为,也包括思维和情感。因此,当人们以这种方式来看待教育时,教育目标显然代表着教育机构寻求使学习者发生的各种行为变化。故对学习者本身的研究，就是要找出确定教育机构想要产生所需要的学生行为方式的变化。对于如何才能从对学习者的研究中提示出教育目标的问题，泰勒指出，只有把有关学习者的信息与某些理想的标准以及对公认常模的某些看法进行比较，从而确认学习者目前的状况与公认的常模之间的差别时，对学习者的研究才可能提示出教育目标。这种差别就是通常所讲的“需要”。 来源二:对校外当代生活的研究工业革命促进了科学技术的迅猛发展, 学校要在课程中包容所有有用的知识、技能已不再可能，因此根据对社会生活的意义来选择知识、技能就摆到议事日程上来了。泰勒认为，由于社会生活千变万化，因而学校就有必要把精力放在当代社会生活中最重要的方面。在对校外生活进行研究时，就像在对学习者进行研究时一样，必须把生活分成各个不同的方面，以便对各个领域进行调查。在对生活进行研究时应该包括个体生活和群体生活。因为只有通过自己收集和分析资料的样本，才能最好地了解对当代生活进行研究的潜在价值。泰勒建议要收集若干种样本信息。 来源三:学科专家对目标的建议教育目标的这一来源，是一般学校和学院常用的，他们所用的教科书通常是由学科专家编写的，而且基本上反映了其意见。也有许多人批评利用学科专家来制定教育目标，认为他们提出的目标太专门化和专业化，或在其他方面对大多数在校生不适宜,但是，他们
(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)
第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得