天津市耀华中学高三数学第二次月考试题 理【会员独享】

耀华中学2012届高三第二次月考考试 数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试用时l20分钟． 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1、若复数

i

i

a 213+- (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )． (A)6 (B)一6 (C)5 (D)一4

2、设函数()??

?

??>=<=,0),(,0,0,0,2x x g x x x f x 且)(x f 为奇函数，则g(3)= ( )

(A)8 (B)

81 (c)-8 (D) 8

1- 3、将函数)3

2sin(π

-

=x y 的图象先向左平移

6

π

，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为( )。 (A)y=cosx (B)y=sin4x (c)y=sin(x-

6

π

) (D)y=sinx 4、在△ABC 中，点P 在BC 上，且PC BP 2=，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，BC =( )．

(A)(-2，7) (B)(-6，21) (c)(2，-7) (D)(6，-21)

5、两个圆0422

2

2

=-+++a ax y x 与04142

2

2

=+--+b byx y x 恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，ab≠0则2

211b a +的最小值为( ) (A)

91 (B) 9

4

（C ）1 （D ）3 6、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,1]时，f (x)=x ，则函数

||log )(3x x f y -=的零点个数是 ( )

(A)0个 (B)2个 (C) 4个 (D)6个

7、若}{n a 是等差数列，首项0,0,020042003200420031+>a a a a a 则使数列}{n a 的前n 项和n s >0成立的最大自然数n 是( ) (A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008 8、已知函数

())R x (|

x |x

x f ∈+-

=1，区间M=[a,b](a

()},M x ,x f y |y {N ∈==则使M=N 成立的实数对（a,b ）有（ ）

（A ）0个 (B)1个 (c)2个 (D)无数多个 第Ⅱ卷(非选择题共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分，不需写出解答过程，请把答案填在题中横线上。

9、已知实数x ，y 满足??

?

??≤--≥+-≥-+,

033,042,

022y x y x y x 试求11++=x y z 的最大值是 。

10、在△ABC 中，,5

5

2cos ,52,4

=

==

C AC B π

则线段AB 的长为 ． 11、设集合,},0|{},0422|{2?≠<==++-=B A x x B m x x x A 若求实数m 的 取值集合是 . 12、函数

x e )x ()x (f --=323的单调增区间

是 .

13、如图，设P ，Q 为△ABC 内的两点，且,5

1

52AC AB AP +=

，AC AB AQ 4

1

32+=

，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为

14、已知定义在闭区间[-3,3]上的两个函数：。上的两个函数：)(,452)(2

3

x f x x x x g ++=在[-3,3]的值域为[-k-8,-k+120],若对于任意x 1∈[-3,3]，总存在x 0∈[-3，3]使得

g(x 0)=f(x 1)成立，求k 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共计80分。请在解答时写出必要的文字说明、证明过程或

A

B

C

演算步骤。

15、(本小题满分13分) 。

设函数)(2sin cos 2)(2R a a x x x f ∈++=。 (I)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间； (Ⅱ)当]6

,

0[π

∈x 时，f (x)的最大值为2，求a 的值，并求出y=f(x)(x ∈R)的对称轴方程．

16、(本小题满分13分)

已知函数

),x (log )x (g ,x x log )x (f a a

113

3

-+=+-= )x (g ),x (f 设1,a 0<<的定义域的公共部分为D,当

)],(),([],[)()(],[m g n g n m x f n m D n m 上的值域是在时，

17、(本小题满分13分)

一个多面体的直观图(正视图，、侧视图，俯视图)如图所示，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点， (I) 求证：MN //平面ACC 1A 1； (II) 求证：MN ⊥平面A l BC ； (Ш) 求二面角A —A l B —C 的大小。

18、(本小题满分13分) 已知函数).()()(),0()(,ln )(x g x f x h a x

a

x g x x f +=>=

=设

(I)求h (x)的单调区间；

(II)若在y=h(x)在x∈(0，3]的图象上存在一点P (x 0,y 0)，使得以P (x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≥

2

1

成立，求实数a 的最大值； （Ⅲ）是否存在实数m,使得函数

的图象的图象于)x (f y m )x a

(g y 111

222+=-++=恰好有四个不同的交点？

若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由。 19、(本小题满分14分)

设21F F 、分别是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，满

足|PF l |+|PF 2|=8，△PF 1F 2的周长为l2， (!)求椭圆的方程；

(II)求21PF ?的最大值和最小值；

(III)已知点A(8，0)，B(2，0)，是否存在过点A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C,D ，使得|BC |=|BD |?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． 20、(本小题满分14分)

定义：若数列}{n A 满足2

1n n A A =+则称数列}{n A 为“平方递推数列”，已知数列}{n a 中，

21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数

(1)证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列； (2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即)12)12)(12(21+++=n n a a a T （ 求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式； (3)记，

项和的前求数列n n n a n S n }b {,T log b n

12+= 并求使n S >2008的n 的最小值。

2010届耀华中学高三年级第二次月考考试 数学试卷(理科)

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分- ADDBC CBA

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9、3 10、 22

11、

（-∞，-2) 12、（-1， 3) 13、5

4

14、9≤k≤13 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。 15、(本小题满分13分) 、 (I)

a

)x sin(a x sin x cos a x sin x cos )x (f +++

=+++=++=14

22221222π

则

)x (f 的最小正周期ππω

π

==

=

2

22T ，

且当)Z k (k x k ∈+

≤+

≤-

2

24

22

2π

ππ

π

π

时，)x (f 单调递增。

即Z)](k 8

π

k π,83π[k π∈+-

∈x 为)x (f 的单调递增区间。 (Ⅱ)当]6

π[0,∈x 时1274

424πππ

≤+≤x ，

当2

4

2π

π

=

+

x ，即8

π

=

x 时14

2=+

)x sin(π

。

所以

21212-=?=++=a a )x (f max ．

)Z k (k x k x ∈+=

?+

=+

8

22

4

2π

ππ

ππ

为)x (f 的对称轴。 16、(本小题满分13分)

3}x |{x 13303

3

>=>-<>>+-D ,x x x ,x x 且或

)x (log )x (f a 3

6

1+-

=单调递减 ??

?==)

n (g )n (f )m (g )m (f )x (g )x (f =两根m,n , )x (a x x 133

-=+- 033122

=+--+a x )a (ax

两根均大于3

???????>-->>?<<321

20

301

0a

a )(f a ),(a 43

20-∈ 17、(本小题满分13分)由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC ⊥BC ，AC=BC=CC l ． (I)连结AC l ，AB l ．

由直三棱柱的性质得，AA ⊥平面A 1B 1C 1， 所以AA 1⊥A 1B 1，则四边形ABB 1A 1为矩形． 由矩形性质得AB 1过A 1B 的中点M ． 在△AB 1C 1中，由中位线性质得MN//A C l ， 又AC 1?平面ACC 1A l ，MN ?平面ACC 1A l ， 所以MN//平面ACC 1A 1．

(II)因为BC ⊥平面ACC l A 1，AC ?平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥AC l ．

在正方形ACC 1A l 中，A 1C ⊥AC 1．

又因为BC A l C=C ，所以AC 1⊥平面A 1BC 。 由MN//AC l ，得MN ⊥平面A 1BC 。

（Ⅲ）由题意CB ，CA ，CC 1两两垂直。故可以以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系。

又AC=BC=CC 1=a ，

则C （0,0,0）,B （0,a,0）,B 1（0,a,a ）, A （a,0,0）C 1（0,0,a ）

则AB 的中点E 的坐标为（022,a ,a ），),,a

,a (CE 02

2=

),a ,,a (AC 01-=

B AA 1为平面的法向量。

又AC 1⊥平面A1BC ，故1AC 为平面A 1BC 的法向量， 设二面角A-A 1B-C 的大小为θ

则2122

221

2

111=?-=?=><=|a a a |||

AC ||CE |AC CE |AC ,CE cos ||cos |θ

由题意知，θ为锐角，所以θ=o

60，即二面角A-A 1B-C 为o

60 18、(本小题满分13分) (I) ）

，其定义域为（∞++=+=

0,x

a

x ln )x (g )x (f )x (h ， ,a x x

a x )x (h ,x a x x a x )x (h ==-=-=-=，则令‘

‘

01222

于是，当x>a 时，h ’(x)>0，h(x)为增函数， 当0

所以h(x)的单调增区间是(a ，+∞)，单调减区间是(0，a)

(II)因为，‘

k x a

x )x (h =-=2

00 所以在区间x∈(0，3]上存在一点P(x 0，Y 0)，使得以P(x 0，Y 0)为切点的切线的斜率

成立，‘212

00≥-=

x a x )x (h 即，02

021x x a +-≤等价于])3(0，2

1

020∈+-≤x ()x x (a max 因为

，211212120020+--=+-)x (x x 2

1]3021020的最大值为在所以,(x x x ∈+-， 于是a≤

21，a 的最大值为2

1

。

（Ⅲ）若

的图象于

的图象恰好有

四个不同的交点，

即有四个不同的根，亦即方程有四个不

同的根。

构造函数，则的图象与x 轴有四个不同的交点，

令

当x 变化时F ’(x)和F(x)的变化情况如下表：

所以当且即时，F(x)的图象与x 轴有四个不同的

交点。解得，所以存在使得两个函数的图像恰好有四个不同的交

点。

19、(本小题满分14分)

(I)由题设2a=8，2a+2c=12，则a=4，c=2，b 2

=12，

所以椭圆的方程是112

162

2=+y x

(II)易知F 1=(-2，0)，F 2(2，0) 设P(x,y)，则4222221

-+=--?---=?y x )y ,x ()y ,x (PF

84

1

44312222+=--+=

x x x

因为x∈[-4，4]，所以x 2

∈[0,16]，8≤21

PF ?≤l2，

点P 为椭圆短轴端点时，21PF ?有最小值8； 点P 为椭圆长轴端点时，21

PF ?有最大值l2．

(Ⅲ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所以若直线l 存在，则直线l 的斜率也存在，设直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y=k(x-8)．

由方程组?????-==+),

x (k y ,y x 8112162

2得,)k (x k x )k (0316*******

222=-+-+

则2

1

21-

0316346464

2242

<<>-+-=?k ,)k )(k (k 解得． 设交点C(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，CD 的中点为T(x 0，y 0)，

则3

432234642

2

2102

221+=+=+=+k k x x x ,k k x x ’ ,k k

)k k (k )x (k y 342483432522200+-=-+=-=

），

，（于是3

4243432222+-+k k

k k T 因为|BC|=|BD|，则BT ⊥CD ，，6

24242

3

43234242222--=-++-=k k k k k k k BT

于是16

24242

2

-=--==?k k k k

BT

，方程无解， 所以不存在满足题目要求的直线l . 20、(本小题满分14分) ‘ (1) 22

121

1212221222)a ()a a (a ,a a a n n n n n n n +=++=++=++

)a lg()a lg(n n 122121+=++

(2) 1

2

11155221212-==?+=+--n lg lg )]a [lg()a lg(n n n

)(a ,a n n n n 152

1

5

121

1

22-==+--

1

2

15

5121212-=-=++++=n n n n n T ,lg )()a lg()a lg(T lg

(3) 1

12

1

25251212---=-=+=n n n n n n lg lg )()a lg(T lg b 100510052

1

200821221=>+>+

-=-min n

n n n ,n ,n S

发展性试题答案(每题5分，共15分)

1、a≥

2

5 2、2005

3、3

22