《量子力学》几简作业题

量子力学作业（一）

一、在量子力学中, 微观粒子的波函数满足含时薛定谔方程。因此，求解薛定谔

方程是一个非常重要的基本问题。假设一个质量为m 的微观粒子在势场中运动，

其含时薛定谔方程为

它对应的定态薛定谔方程为

如果哈密顿算符存在一系列的能量本征值和本征态

证明:定态波函数的任意线性叠加

满足含时薛定谔方程。其中是任意常数。

证明：/(,)[()]n iE t n n n

i r t i c r e t t φ-??ψ=??∑

/)(t iE n n n n e t r c i -??=∑φ

/n

)(t iE n n n n e r E c -∑=

φ 又)()(?r E r H

n n n

φφ=

/n

)(?t iE n n n e r H c -∑=

φ

/)(?t iE n n

n n e r c H -∑=φ

),(?t r H ψ=

二、考虑一维粒子的运动，粒子的质量为m, 处在一个无限深势阱中：

)()(?)()(222r E r H r r U m ψψψ==??

????+?-),2,1,0()()(? ==n r E r H n

n n ψψt

E i

n n

n n

e r c t r

-∑=

ψ)(),(ψn c )(r U

它的能量是分立的

根据德布罗意假设，给出粒子的波长和势阱的宽度a 2之间的关系。 解：在势阱中)(x U 为零，则m p ma

n E n

2822

222== π， 又λ

h

p =

， 可得2

2λ

n

a =，即势阱宽度是半个波长的整数倍。

量子力学作业（二）

在一维情况下，微观粒子的本征能量和本征波函数可以通过解一维定态薛定谔方程

来得到。

（1）证明: 本征波函数可以取实数或者虚数

（2）证明：对于有限的规则势)(x U ，本征能量E 不存在简并的束缚态。（提示：假设对于同一个能量E 存在两个束缚态本征波函数)(1x ψ和)(2x ψ，则通过计算可以发现)()(21x C x ψψ=，其中C 是一个非零常数。这意味着)(1x ψ和)(2x ψ是线性相关的。

证明：（2）假设波函数1ψ、2ψ对应同一能量E ，并且U (x)无奇性，则有

22

11/)]([2/ψψ''=--

=ψψ''x U E m

,即2

211ψψ''=ψψ''. 进一步改写成0)(12

21

='ψψ'-ψψ'. 则

const =ψψ'-ψψ'12

21.在束缚态中对所有位置都成立，那么常数只能为零. 0-12

21=ψψ'ψψ',积分可得:)(ln ln 121121c

e c c c =ψ=ψ?+ψ=ψ.

（1）可知*

ψ满足0)]([2*

2

*2=ψ-+ψx U E m dx

d

,

)()()()(2222x E x H x x U dx d m ψψψ==??

????+-

根据上面的证明有ψ=ψc *

成立.

再对两边取共轭ψ=ψ=ψ=ψ

2

*

*

*

c c c c .

2

c

为1，则波函数ψ可为实数或者虚数.

量子力学作业（三）

一、粒子入射被势垒反射是量子力学中的一个基本问题。 (1)单方势垒模型（见图）

??

?<><<=0,00)(0x a x a

x U x U 是一个简单并且能精确求解的物理模型。

通过计算得到，当入射的能量 ,透射系数为

其中，2

12 mE

k =

，2

02)

(2

U E m k -= a)分析当入射粒子的能量E ,势垒的宽度和高度0,U a 满足什么条件，透射系数

1=D （这意味着，粒子能够无视势垒的存在，完全透射过去。）。

解：据题意D=1，有0)(sin )(222222

1=-a k k k .

解出πn a U E m a

k =-=

2

02)

(2 ,则...)2,1,0(,202

2

22=+=n U ma

n E π. b)根据德布罗意假设，当1=D 时，给出在势垒中，粒子的波长和势垒的宽度a 之间的关系，并解释其物理意义。 解：德布罗意波长)

(20U E m h

p

h -==

λ,

又从a)知D=1时，2

2

220

2ma

n U E π=-,则可得2λn a =. 即说明在共振投射的势垒中，势垒宽度为半个波长的整数倍。

(2)双方势垒模型（见图）。

?

??+<<<+>+<<+<<=b a x a x b a x b

a x

b a a x U x U ,0,202,0)(0

是单方势垒模型的一个简单推广。

0U E >2

2

21222222

12

2

214)(sin )(4k k a k k k k k D +-=

a) 给出当入射的能量 ,

粒子的反射和透射系数。 解：粒子的波函数ψ满足的定态薛定谔方程是：

022

2=+ψψE m dx

d (x<0,a

0)(202

2=-+ψψU E m dx

d (0

mE

k =

,2

02)

(2

U E m k -=,则上述方程可改写为：

02

12

2=+ψψk dx

d (x<0,a

02

22

2=+ψψk dx

d (0

x ik x ik e A Ae 1

1

1-'+=ψ (x<0),

x ik x ik e B Be 2

2

2-'+=ψ (0

x ik x ik e C Ce 1

1

3-'+=ψ (a

x ik x ik e D De 2

2

4-'+=ψ (a+b<2a+b),

x ik Ee 1

5=ψ (x>2a+b).

由波函数和波函数一阶微商连续可得：

,

,

,,

1

1

2

2

1

1

2

2

11222211a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik a ik e C k Ce k e B k Be k e C Ce e B Be B K B k A k A k B B A A ----'-='-'+='+'-='-'+='+

0U E >

.

,

,

,

)2(1)2(2)2(2)2()2()2()(2)(2)(1)(1)()()()(1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik b a ik Ee k e D k De k Ee e D De e D k De k e C k Ce k e D De e C Ce ++-+++-++-++-++-++-+='-='+'-='-'+='+

解得：

,

2,

2)

2)((2

12)

2)((2

2121

21

E e

K K K D E e K K K D b a K K

i b a K K

i ?-='?+=

+++-

,

])[(4,

])()[(42

2

1

2

2

1

-22212

1)23(221-2212

1E e e K K K K e C E e K K e K K K K e C a

iK a iK b a iK a

iK a iK a iK ?--='?--+=+

,

22,

22)(2

21)(2

12)(221)(2

2112

21

21

21

C e

K K K C e

K K K B C e

K K K C e

K K K B a

K K

i a

K K

i a

K K

i a

K K

i '?+-?-=''?--?+=-++--

则透射系数

}

]2cos )6()(-)2cos 1(2cos )[(]2sin )(4)2cos 1(2sin )/{[(642222212221222212122221222221212122221212

2

a K K K K K K K a K

b K K K a K K K K K a K b K K K K K A

E J J D D +++---++---===反射系数R=______

b) 分析粒子的透射是否出现完全透射，如果出现，给出参数满足的条件。（期末考试题）

.

])()[(4))((4,

))((4])()[(42

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2212212

12

2212122212

122122121C e K K e K K K K e C e e K K K K e A C e e K K K K e C e K K e K K K K e A a iK a iK a iK a iK a iK a iK a iK a iK a iK a

iK a iK a iK '?+---?--=''?--+?--+=------

解：根据透射系数可知，当

{

,12cos ,

02sin 22==a K a K

即...)2,1,0(2==n n a

K π时，透射系数D=1，此时出现完全透射，且与

双方势垒的间距b 无关。

量子力学作业（四）

一、在量子力学中，求解薛定谔方程是一个基本问题。一维含时薛定谔方程描述

一维微观粒子的运动，

， 如果哈密顿算符 不显含时间，在初始时刻 0=t ,粒子的波函数处在两个能量

本征态的叠加态上

其中， 111?φφE H

=，

(1) 给出 t 时刻的波函数),(t x ψ;

解：由作业（一）知：定态波函数的任意线性叠加

满足含时薛定谔方程。其中是任意常数。

又2/)()0,(21φφ+=ψ

x ,得2

121==c c .

可得)(2

1),(/2/121

t iE t iE e

e

t x --+=ψ

φφ

(2) 在(1）中的叠加态下),(t x ψ ，测量粒子的能量，求所得能量的可能值和相

应的概率。

解：由（1）知，粒子处于状态1ψ的概率为

2

1

2

12

=

,处于状态2ψ的概率为2

12

12

=

. 即粒子的能量可能为E 1、E 2，其概率各为2

1

.

),(?),(t x H t x t

i ψψ=??

H ?2

/)()0,(21φφψ+=x 222?φφE H =

/)(),(t iE n n

n n e r c t x -∑

=ψφn c

二、在量子力学中，一个基本的对易关系为 （1） 求对易关系 ，. 解：22

22?)??(x x p x

x ??-=ψψ ,222

22?2)??(x x x x p x ??-??-=ψψψ 则x

x p p x p x

x x x ??

=-≡22

222????]?,?[ 或

x

x i i i x i p p x p x p p x x x x x x ??=??-+??-=+=22

22)()(?]?,?[]?,?[?]?,?[

同样，]?,?[n

x p x

1

1

1

1

1112211)

()

1(?

]?,?[?]?,?)[1(]?,?[?...

?]?,?[2]?,?[??]?,?[]?,?[?----------??-==-+=+=+=n n n

n n x

x n x

x x n x

n x

x n x x n x

x n x x x i n p p x n p p x n p x p p p x p x p p p x p x p

（2）如果算符)?(x p

f 是x p ?的整函数，求)]?(,[x p f x 解：整函数即在全平面处处解析的函数，其总可以在原点展成泰勒级数。则

n

x n n x p n f p f ?!)0()?(0

)(∑∞

==.

]?!)0(,?[)]?(,?[0

)(n

x n n x p n f x p f x ∑∞

==

]?,?[!)0(0

)(n

x

n n p x n f ∑∞

== 11

1

)(1)!1()0()()1(--∞

=-??--=∑n n n n n n x n f i 量子力学作业（五）

1、不考虑电子的自旋，设氢原子的状态为

i p x x

=]?

,?[]?,?[2

x p x ]

?,?[n

x p x

),()(),()(2

1

10211121?θ?θψY r cR Y r R +=

求：(c 是展开常数)

（1）氢原子能量，角动量平方以及角动量z 分量的可能值和这些可能值出现的概率；

解：根据波函数的正交归一性，可以求得4

32

=

c

. 在本征态

m n ψ中，能量本征值为21/n E E n

=（2

4

12

s e e m E -

=为氢原子基态能量），

角动量平方的本征值为2)1(

+，角动量Z 分量的本征值为 m .

可得分布情况

（2）氢原子能量，角动量平方以及角动量z 分量的平均值。 解：由上表可得能量的期望值为

2

41111

22

841

414341411

s e m

n e m E E E E n c E -==?+?==

∑. 角动量平方的期望值为

22222

2224

3

241)1( =?+?=

+=

∑m n c L . 角动量Z 分量的期望值为

4

1

043412

=?+?==

∑m c L m

n z .

2、接上题，如果考虑电子的自旋，电子处在态),()

(1121?θY r R 上电子的自旋态为???? ??01，电子处在态),()(1021?θY r R 上电子的自旋态为????

??10，

请给出电子的波函数。 解：

????

? ??=????

??

+????

?

??=???? ??+???? ??=),()(),()(21),()(00),()(2110),()(01),()(21

102111211021112110211121?θ?θ?θ?θ?θ?θψY r cR Y r R Y r cR Y r R Y r cR Y r R