八上培优5 半角模型

八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求

证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。

下面是新观察第34页1~4题

1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．

2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．

3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.

勤学早第40页试题

1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;

N

N

G

B

A

N

证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,

证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.

证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)

(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.

F

解:不成立，结论是:MN=CN一BM,

证明略.

基本模型二 120°套 60°

2. 如图，△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°， 求证:DE=BE

C

F

证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.

3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.

C

B

A

E

C

B

A

E F

证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.

比较：新观察培优版27页

例4如 图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.

A B

D

P

分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,△AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.

新观察培优68页例5 如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分∠ACB.

(1)求A点坐标;

(2)如图1, AQ在∠CAB内部，P是AQ上一点，满足∠ACB=∠AQB, AP=BQ. 试判断△CPQ 的形状，并予以证明;

(3)如图2. BD⊥BC交y轴负半轴于D. ∠BDO=60°, F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足∠CFD+∠E=180°. 当F在AC上移动时，结论: ①CE+CF值不变; ②CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.

x

分析:(1)由∠A0C≌△BOC得AO= BO=2, A(- 2,0).

(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.

(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA ⊥AC, 连结DA, 加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF △BDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.

2

半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？

1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）

（1）求B 点坐标；

（2）如图2，若C 为x 正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连接OD ，求∠AOD 的度数；

（3）如图3，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式AM=FM+OF 是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由． 解：（1）如图所示，作AE ⊥OB 于E ， ∵A （4，4）， ∴OE=4，

∵△AOB 为等腰直角三角形，且AE ⊥OB ， ∴OE=EB=4， ∴OB=8， ∴B （8，0）；

（2）如图所示，作AE ⊥OB 于E ，DF ⊥OB 于F ，

∵△ACD 为等腰直角三角形， ∴AC=DC ，∠ACD=90° 即∠ACF+∠DCF=90°， ∵∠FDC+∠DCF=90°， ∴∠ACF=∠FDC ，

又∵∠DFC=∠AEC=90°， ∴△DFC ≌△CEA （AAS ）， ∴EC=DF=4，FC=AE ， ∵A （4，4）， ∴AE=OE=4，

∴FC=OE ，即OF+EF=CE+EF ， ∴OF=CE ， ∴OF=DF ，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB 为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在

AM上截取AN=OF，连EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF（SAS），

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM（SAS），

∴MN=MF，

∴AM-MF=AM-MN=AN，

∴AM-MF=OF，

即AM=FM+OF；

【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0 （1）求A、B两点坐标；

（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足∠OCP=45°，求P点坐标；

（3）在（2）的条件下，过B作BD⊥OC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠CEA=∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

（1）解：∵（a-b）2+|b-4|=0，

∴a-b=0，b-4=0，

FG

2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）求证：∠PAC=∠PBC；

（2）作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，求S△PCE：S△PBE；

（3）若M、N分别是边AC、BC上的点，且∠MPN=1

2

∠APB，则线段AM、MN、BN之间有何数量关

系，并说明理由．

解：（1）如图1，过点P作PE⊥BC于E，PF

⊥AC于F，

∵PC平分∠DCB，

∴PE=PF，

在Rt△

PAF和Rt△PEB中，

PF＝PE

P A＝PB，

∴Rt△PAF≌Rt△PEB，

∴∠PAC=∠PBC，

（2）如图2，过点P作PF⊥AC于F，∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分线，∴PE=PF，∠PCF=∠PCE，

∵PC=PC，

∴△PCF≌△PCE，

∴CF=CE，

由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，

∴AF=BE，

∵AF=AC+CF，BE=BC-CE，

∴AC+CF=BC-CE，

∴5+CF=11-CE，

∴CE=CF=3，

∵△PFC≌△PEC，

∴S △PFC =S △PEC ，

∵Rt △PAF ≌Rt △PEB ， ∴S △PAF =S △PEB ，

∴S △PCE ：S △PBE =S △PFC ：S △PFA =

12CF ×PF ：1

2

AC ×PF =CF ：AC=3：（3+5）=3：8；

（3）如图3，在BC 上截取BQ=AM ， 在△PMA 和△PQB 中，

PA PB PAM PBQ MA BQ ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△PMA ≌△PQB ，

∴PM=PQ ，∠MPA=QPB ，

∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB ， 即：∠APB=∠MPQ ，

∵∠MPN=

1

2∠APB ， ∴∠MPN=1

2

∠MPQ ，

∴∠MPN=∠QPN ，

在△MPN 和△QPC 中，

PN PN MPN QPN MP QP ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△MPN ≌△QPC ， ∴MN=QN ，

∴BN=AM+MN ．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF ，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ ，是一道中等难度的中考常考题．

AB＝CA

∠GAB＝∠ECA，

∴△GBA≌△EAC，

∴CE=AG；

②如图1，取BF的中点K连接AK，∵BF=2AF，

∴AF=BK=FK=1

2 BF，

∴△FAK是等腰三角形，

∴∠F AK=∠FKA，

∵∠BFD=∠F AK+∠FKA=2∠AKF，∵∠BFD=60°，

∴∠AKF＝1

2

∠BFD＝30°，

∵△GBA≌△EAC，

∴AG=CE，BG=AE，∠AGB=∠AEC，∴KG=BG-BK=AE-AF=FE，

在△GAK与△EFC中，

AG＝CE

∠AGB＝∠AEC （2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，

∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，

∵∠BFE=∠BAC，

∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF，

∴∠EAC=∠FBA，

在△ABK与△ACF中，

AB＝AC

∠ABK＝∠F AC

BK＝AF，

∴△ABK≌△AFC，

∴S△

ABK

=S△

ACF

，∠AKB=∠AFC，

∵∠BFE=2∠CFE，

∴∠BFE=2∠AKF，

∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF，

∴∠AKF=∠KAF，

∴△FAK是等腰三角形，

∴AF=FK，

∴BK=AF=FK，

∴S△

ABK

=S△

AFK

，

∵S△

ABF

=S△

ABK

+S△

AFK

=2S△

ABK

=2S△

ACF

，

∴

ABF

ACF

S S V V =2 故答案为：2．