连续统假设的否定11
连续统假设的否定11（简称否定11）
一、摘要：本文用否定连续统假设等价命题的方法来否定连续统假设。
二、关键词：（一）直线（二）曲线（三）平面
（四）空间（五）投影（六）可数
在否定（2）中，我们已经证明了可数条和坐标轴平行的直线不能覆盖XY平面，以此为基础，我们可以证明连续统假设的等价命题2（简称命题2）和等价命题2a（简称命题2a）都不成立，现在分别证明如下：
三、连续统假设的等价命题2（简称命题2）
平面是可数条平面曲线的并集，下面我们证明此命题不成立。
证:假设命题2成立，假设xy平面上可数条平面曲线可以覆盖xy平面，平面曲线可看作平面上的直线扭曲而成，把这可数条平面曲线拉直，变成可数条直线，然再令其平行与坐标轴，经过这样处理后，可数条曲线上的点既没增加，也没减少，由于假设可数条平面曲线可以覆盖xy平面，经过变动后原来曲线上的点没有减少，所以这样变动后的可数条直线仍然可以覆盖xy平面，这就和「否定（二）」矛盾，因为根据「否定（二）」中所证，xy平面上可数条和坐标轴平行的直线不能覆盖xy平面，此矛盾说明连续统假设的等价命题2（简称命题2）不能成立，即平面不是可数条平面
曲线的并集。
四、连续统假设的等价命题2a（简称命题2a）
空间是可数条空间曲线的并集，下面我们证明此命题不成立。
证：假设命题2a成立，可数条空间曲线可以填满整个空间，我们把整个空间投影到xy平面上，则空间就映射成xy 平面，可数条空间曲线就影射成可数条平面曲线，既然假设可数条空间曲线可以填满整个空间，则经过投影后的可数条平面曲线就可以填满xy平面，这就和刚才所证的结论矛盾，因为根据刚才所证，可数条平面曲线不能覆盖整个平面，此矛盾说明命题2a不能成立。
五、连续统假设的否定
否定了连续统假设的等价命题，或者否定了连续统假设的推论，就等于否定了连续统假设，到目前为止，笔者已否定了连续统假设的四个等价命题，六个推论（包括笔者发现的推论九、推论10、推论11），否定连续统假设的工作已基本完成。
参考资料连续统假设
张锦文王雪生著
沈阳辽宁教育出版社出版1989年4月
作者陈守仁河北大学数学系毕业
退休前担任天津市家电五厂业校教师
连续统假设的终结
连续统假设的终结 李明波 （中国辽宁鞍山） 提要：在以康托尔（Cantor）等数学家建立的集合论基础理论前提下，证明了实数集合是可数集合，并指出了康托尔证明实数集合不可数的错误所在。数学史上的连续统假设，其实是个根本不该存在的问题。 一、实数集合可数性的证明 在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[1,2,3]前提下，本文首先概括出所需的4个公设： 1、实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。 2、两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系；能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。 3、数轴上的所有点和全体实数一一对应；所有实数都可看成10进制数；无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；有限小数也可看成是后面有无穷多个0 或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。 4、数轴上全部10进制实数的生成过程如下：在规定长度单位1和数轴原点后，从数轴原点开始在数轴正向（负向同理）作出间距为1的刻度点0，1，2，3，…，n，…；将每段长度为1的线段进行10等分，加密到间距为0.1的刻度点；再将每段长度为0.1的线段进行10等分，加密到间距为0.01的刻度点；…；将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点；以此循环往复，次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的
刻度点位置，便与全体非负10进制实数一一对应。 证明：第4条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后3位小数、…、小数点后m位小数、…，以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数，从0起趋于无穷），写成数阵如下：0列 1列 2列 3列…， n列… 0行：0, 1/10^0， 2/10^0, 3/10^0，…， n/10^0，… 1行： 0, 1/10^1， 2/10^1, 3/10^1，…， n/10^1，… 2行： 0, 1/10^2， 2/10^2, 3/10^2，…， n/10^2，… 3行： 0, 1/10^3， 2/10^3, 3/10^3，…， n/10^3，… …………………… m行： 0, 1/10^m， 2/10^m, 3/10^m，…， n/10^m，… …………………… 例如：0行中有0，1行中有0.3和0.4，2行中有0.33和0.34，3行中有0.333和0.334，…，所以该数阵0、1、2、3、…行中依次含有有限小数数列{ 0, 0.3, 0.33, 0.333，… }和{ 0, 0.4, 0.34, 0.334，… }中的各个项，而数列{ 0, 0.3, 0.33, 0.333，… }和{ 0, 0.4, 0.34, 0.334，… }的极限，都是同一无限小数0.333… =1/3。 上述数阵把全部非负实数的生成过程，列成了可数个可数集合的并集，故仍然是可数的；用对角线法也可证明：实数集合是可数集合。二、李明波悖论 笔者编出一个悖论：自然数集合是不可数的。“证明”如下：
尔雅·数学文化(顾沛)作业答案
数学文化（二）作业 选择题 1.下列不属于开设数学文化课，学生收获的是（B） A．了解数学的思想 B. 提高解数学的能力 C.学会以数学方式的思维观察世界 D.都不对2.数学文化课的教学方式不包括（D） A．启发式教学 B. 讨论式教学 C.研究式教学 D.实验式教学 判断题 1.数学素养的高低决定一个人工作的成效（是） A是 B否 数学文化（七）作业 选择题 1.《静静的顿河》作者是（肖洛霍夫）。 2. 柯朗是（美）国著名数学家。 判断题 1.数学有大家所共识的定义（B否） A是 B否 数学文化（十）作业 选择题 1.上海陆家嘴发现的元朝玉桂，过去只有印度才发现过这种“完全幻方”，这个玉桂的发现时间是（B） A．1996 B.1986 C.1976 D.1982 2. 考古发现最早的计数方法是（狼骨刻痕）。 判断题 1.数学可以对文学作品进行分析。（是） A 是B否 数学文化（十四）作业 选择题 1.在中国大力推广优选法的是（华罗庚） 2.黄金矩形宽与长的比例是（0.618）。 判断题 1.卢卡斯数列和斐波那契数列无关。（否） A 是B否 数学文化（十七）作业 选择题 1.是谁提出“波浪理论”。（艾略特）
2.康托最重要的著作是（《超越数理论基础》）。 判断题 1.正整数集合是最“小”的无限集合。（是） A是 B否 数学文化（二十六）作业 选择题 1.我们可以把平面图形对称中用到的运动分为三类，下列不属于其中是（ A ）。 A.折射 B.平移 C.旋转 D.折叠 2.碳60的结构是由（ C ）组成的。 A.正五边形 B.正六边形 C.正五边形和正六边形 D.都不是 （有60个顶点和32个面，其中12个正五边形，20个正六边形，相对分子质量约为720）判断题 1.实数集是群。（是） A是 B否 数学文化（二十九）作业 选择题 1.5个平面最多把空间分为（C）部分。 A 22 B 25 C 26 D 30。 2. 公理化思想的萌芽体现在（《几何原本》） 判断题 1.归纳和类比一样，都是合情推理。 A是 B否 数学文化（三十三）作业 选择题 1.公理化三大体系不包括（ D ）。 A.相容性 B.独立性 C.完全性 D.相似性 2.有理数的性质包括（ A ）。 A.稠密性 B.有限性 C.连续性 D.都不对 判断题 1. “连续统假设”在上述在康托的集合论的系统内,既不能被证明,也不能被证否。 A是 B否
《离散数学》-教案.doc
《离散数学》教案 第一章集合与关系 集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普 遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的 一个分支。 G. Cantor( 康脱 ) 是作为数学分支的集合论的奠基人。1870 年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。 1874 年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立 一一对应的有名的证明。 1878 年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然 而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利 - 福尔蒂的最大序数悖论。 1901 年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932 年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908 年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称 为策梅罗 - 弗兰克尔集合论（ ZF），其中包括 1904 年策梅罗引入的选择公理。另外一种系 统是冯·诺伊曼 - 伯奈斯 - 哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗 - 弗兰克尔集合论与选择公理一起称为 ZFC系统。 一、学习目的与要求 本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。 通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运 算方法，为学习后续章节打下良好基础。 二、知识点 1．集合的基本概念与表示方法； 2．集合的运算； 3．序偶与笛卡尔积； 4．关系及其表示、关系矩阵、关系图； 5．关系的性质，符合关系、逆关系； 6．关系的闭包运算； 7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系； 8．序关系、偏序集、哈斯图。
集合论：无穷集合及其基数
第四章 无穷集合及其基数 4.1可数集 如果从自然数集合N 到集合X 存在一个一一对应 f: N X,则称集合X 是无穷可数集合, 简称可数集或可列集。如果X 不是可数集且X 不是有限集,则称X 为不可数无限集,可简称为不可数集 Tips: (1)可数集与不可数集是对无穷集合而言的,有限集既不称作不可数集合也不称 作可数集 (2)这里的自然数集采用{1, 2, …} (3)对等(X~Y)：集合X 到集合Y 存在一一对应 1.常见的可数集 (1)整数集Z (2)自然数集N (3)可数集的任一无穷子集 (4)有限集和可数集之并 (5)有限个可数集之并 (6)可数个可数集之并 (7)全体有理数之集Q (8)区间[0,1]中的一切有理数之集 (9)整系数代数多项式的全体(可数个可数集之并) (10)代数数(整系数代数多项式)的全体 2.判定 集合A 为可数集的充分必要条件是A 的全部元素可以排成无重复项的序列 a 1, a 2, ... , a n , ... 3.性质 (1)无限集A 必包含可数子集 (2)可数集的任一无限子集也是可数集 (基数) (3)设A 是可数集,M 是有限集,则A∪M 是可数集 --->从可数集A 中除去一个有限集M,则A\M 仍是可数集(差集) --->设M 是一个无限集, A 是有限或可数集, 则M~A∪M --->设M 是一个无穷不可数集，A 为M 的至多可数子集(即A 有穷或可 数),则M~M\A (4)设A 1,A 2, ... ,A n (n≥1)都是可数集,则它们的并集也是可数集 (5)可数个有限集之并至多是可数集。即可数个有限集之并可能有限，可能可数 (6)可数个可数集之并是可数集。即：设A 1,A 2,...,A n ,...为可数集合的一个无穷 序列,则是可数集 ?∞ n =1A n Tips: 1.可数集被认为是最小的无穷集 2.与自己的真子集存在一一对应是无穷集合独有的特点 --->由此，引出无穷集合的定义： 凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合,或无限集合 4.2连续统集-不可数的无穷集
希尔伯特23个问题
连续统假设
提示：本条目的主题不是连续体假设。 在数学中，连续统假设（英语：Continuum hypothesis，简称 CH）是一个猜想， 也是希尔伯特的 23 个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。 其为：
在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。
康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小， 也证明了整数集的基数绝对小 于实集的基数。康托尔也就给了出连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数 集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续 统就是实数集的一个旧称。 更加形式地说，自然数集的基数为 为 。而连续统假设的观点认为实数集的基数
。由是，康托尔定义了绝对无限。
等价地，整数集的序数是 出不存在一个集合 使得
("艾礼富数")而实数的序数是
，连续续假设指
假设选择公理是对的， 那就会有一个最小的基数 连续统假设也就等价于以下的等式：
大于
， 而
连续统假设有个更广义的形式，叫作广义连续统假设（GCH），其命题为：
对于所有的序数 ,
库尔特·哥德尔在 1940 年用内模型法证明了连续统假设与 ZFC 的相对协调性， 保罗·柯恩在 1963 年用力迫法证明了连续统假设不能由 ZFC 推导。也就是说连 续统假设成立与否无法由 ZFC 确定。
作为希尔伯特第一问题
主条目：希尔伯特的 23 个问题
1900 年, 大卫· 希尔伯特以 “连续统假设是否成立” 作为 “希尔伯特第一问题” 。 Kurt Godel 和 Paul Cohen 确定了连续统假设在 ZFC 系统下，加上了选择公理， 也不能证明或证否。 Cohen 的结果并没有被广泛认同作为连续统假设问题的解决，而希尔伯特的问题 依然为当代研究的热门课题。(见 Woodin 2001a).
集合的大小
主条目：基数 要正式地列出这个猜想， 我们需要一些定义：假如两个集合 S 与 T 之间存在着一 个双射，我们会说这两个集合拥有相同的基数。直观的意思是在“T 的每个元素 只能配上仅仅一个 S 的元素，反之亦然”这个前提下，把 S 与 T 的元素拿出来配 对是可能的。因此，集合{蕉, 苹果, 橙}与集合{黄, 红, 绿}拥有相同基数。 当情况去到如整数集或有理数集等无穷集的情况时，事件就变得复杂得多。当考 虑所有有理数的集合时， 有些门外汉可能会天真地认为有理数理所当然地多于整 数，而有理数又显然少于实数，因此把连续统假设证否。但透过简单集合论的方 法， 我们能证明有理数集能与整数集形成一双射，因此有理集跟整数集有着一样 的大小， 而它们都被称为可列集。 对角论证法则证明了整数集跟连续统 （实数集） 的基数并不一样。 连续统假设亦指出，实数集中每一个子集，要么和整数集有相同的基数，要么和 实数集有相同的基数。
证明或证否的不可能性（在 ZFC 系统下）
康托尔相信连续统假设是对的，花了很多年尝试证明它，结果徒劳无功。它成为 了希尔伯特那重要难题名单中的第一条，并在 1900 年巴黎的国际数学家大会上 宣布此事。在那个时候，还没有公理化集合论的概念。 库尔特·哥德尔在 1940 年指出连续统假设不能在 ZFC 系统下证否，即使接受了 选择公理为前提。这个定理称为哥德尔定理。Paul Cohen 在 1963 年证明了连续 统假设同样不能在 ZFC 下被证明。因此，连续统假设“逻辑地独立于”ZFC。这 些结果都是以 ZFC 的公设系统本身并不存在自相矛盾（相容性）为假设大前提， 而这个大前提是被广泛接受为对的。 连续统假设并非被证明跟 ZFC 互相独立的第一个命题。 哥德尔不完备定理一个立 即的结论在 1931 年被发表，那是“‘存在着一个正式命题表达 ZFC 的相容性’ 乃独立于 ZFC”。有别于纯粹数学的，这个一致的命题乃是有着在数学之上的特 性。连续统假设和选择公理乃是最先被证明跟 ZF 集合论独立的命题。在 Paul Cohen 在 1960 年代发展出力迫法以前，这些独立性的证明并没有完成。
关于图灵机的三个问题
写这篇文章，是想尝试回答学习图灵机模型中遇到的三个问题： 1) 为什么图灵机有不可判的问题？ 2) 为什么强大的图灵机会不停机？ 3) 为什么图灵当初要设计图灵机？ 图灵机（Turing machine）是英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing）于1936年设计的一种抽象机器，用于定义和模拟计算（computing）。图灵机虽然构造简单，但却及其强大，它能模拟现代计算机的所有计算行为，堪称计算的终极机器。然而即便是这个终极机器，也有令它无能为力的问题，这便是第一个要回答的问题：为什么图灵机有不可判的问题？ 首先明确什么是图灵可识别（Turing recognizable）和图灵可判定（Turing decidable）。图灵机的识别对象是语言，图灵可识别当然不是说图灵本人能识别的语言（照这样说汉语可能是图灵不可识别的~），事实上这只是简称，全称应该是图灵机可识别语言（Turing machine recognizable language）和图灵机可判定语言（Turing machine decidable language）。 一台图灵机在读取一个串后可能进入三种状态：接受、拒绝、循环，如果图灵机进入循环状态，那它将永不停机。现在假设有语言A，如果能设计出一台图灵机M，对于任意字符串ω，如果ω∈A，那么M读取ω后会进入接受状态，那么A是一个图灵可识别语言。注意这个定义对于ω不属于A的情况没有做出限制，所以M读取到不属于A的ω，那么它有可能拒绝，也有可能循环。 图灵可判定语言的要求更严格，它要求对于语言A能设计出一台图灵机M：如果ω∈A，M 进入接受状态；否则进入拒绝状态。如果一个语言是图灵可判定的，总能设计出一台图灵机，能在有限步数内判定一个字符串是不是属于这个语言。如果一台图灵机对所有输入总是停机，那么称它为判定器（decider）。然而第一个问题指明一定有所有判定器都不能判定的问题，要证明这一点，得从康托（Georg Cantor）说起。 康托最大的贡献可能是创建了现代集合论，他认为某些不同的无穷集合有不同的大小。1891年，康托发表了一篇只有5页的论文，证明实数集的基数大于自然数集，并在这篇论文中提出了传说中的对角线方法（方法虽然巧妙但很简单，wiki上有我就不赘述）。图灵机的不可判定问题便需要借助对角线方法。而实数集“大于”自然数集这个事实，可以这么想：“无限×无限”比“无限×有限”大。每个自然数是有限的，集合是一阶无限，自然数集就是一阶无限；相较之下，一个实数是一阶无限，集合又是一阶无限，那么实数的集合就是二阶无限。这个一阶二阶只是我个人的说法，关于不同集合之间的大小关系，康托提出连续统假设，即希尔伯特第一问题，认为不存在一个基数绝对大于可数集而绝对小于实数集的集合，不过这跟今天的话题没有关系，不再展开。 回到正题：图灵机。图灵机能够识别语言，而图灵机本身当然也可以由语言描述。什么是语言？给定一个字母表∑，一个{[由∑中的字母组成的序列]的集合}就是∑上的一个语言（为了消除歧义，算式可以加括号，语言当然也可以）。必须清楚这些概念中哪些是有限的，哪些是无限的：一个语言包含的字符串数可以是有限的也可以是无限的，但一个字母表上的所有语言的数目是无限的，而语言中任意一个字符串的长度是有限的。 首先要证明的是：一个字母表上所有语言构成的集合不仅是无限的，而且是不可数的。 这里需要借助无限二进制序列的集合来帮助证明。一个无限二进制序列（即{0,1}组成的无限序列）是一阶无限，那么这些序列组成的集合就是“无限×无限”，可以通过对角线方法证明无限二进制序列是不可数的，也可以将实数集的元素唯一地映射到无限二进制序列集合。
希尔伯特的23个问题
希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973
计算机起源的数学思想
发信人: phylips (星星||一年磨十剑), 信区: Algorithm 标题: 【合集】计算机起源的数学思想 发信站: 兵马俑BBS (Fri Nov 13 13:07:56 2009), 本站(https://www.360docs.net/doc/be4892274.html,) ☆──────────────────────────────────────☆phylips 于Fri Aug 21 12:35:16 2009提到： 说明：转载请保留全部信息作者phylips@bmy bbs 序 人类的历史可以看做一部关于解放的历史。也有这样的说法，懒惰是人类进步的动力。为了偷懒，人类不断的做着各种努力，发明了各种机器工具，将自己从繁重的劳动解放出来，另一方面，每一次大的进步，都需要解放思想，同时也带来了全人类思想的大解放。在这样的历程中，计算机的出现无疑将人类从很多繁重的作业中解放了出来。与此同时，有些人开始思考能否制造出可以像人类一样进行思考的机器，以将人类从创造性的劳动和逻辑思考中解放出来，交给机器去完成。 虽然计算机的出现，不到百年，然而为了它的出现，所进行的探索和研究，早已经历经数百年的历史。当然准确的说，这些探索和研究在当时实际并不是为了计算机产生而进行的，绝大多数只是做了一个无意的铺垫。或许我们并不熟悉这样的一个过程，老实说现代的大学教育中也很少提及计算机出现之前的那些历史。实际上，了解这样的一个过程，更有助于我们理解一个事物是如何产生出来，它背后的科学原理又是如何，让我们可以透过复杂的电路外表，接触到最本质的东西。可以让我们除了对科学家们的工作表示赞叹之外，也可以深入他们当初的思想过程，近距离地进行跨越时间和空间的沟通。这对于我们自己应该如何思考问题，创造性地提出自己的想法也是有所帮助的。 实际上在离散数学的学习中，我们已经了解到这样的一些人物，乔治.布尔,康托，哥德尔，图灵，冯诺依曼。而我们实际的离散数学的教学中，本身太注重于知识本身的学习，而忽略了知识是如何被发现产生出来，以及不同的知识之间曾经的渊源和启发关系。而对于启迪思想来说，后者显然更为有力。 莱布尼茨之梦 早在17世纪的莱布尼茨就有一个伟大的构想，他希望可以将人类的思维像代数运算那样符号化，规则化，从而让笨的人通过掌握这样的规则变得聪明，更进一步的制造出可以进行思维运算的机器，将人类从思考中解放。从莱布尼茨为微积分所确定的依然在今天被沿用的符号中，我们可以看出他对符号具有良好的感觉，通过选择良好的符号，可以大大的简化运算的复杂性，甚至将这样的运算变成一种天然的过程。除了构想之外，莱布尼茨本身为了发展一种逻辑演算也进行了很多尝试，他得到的一些结果已经具有后来布尔的逻辑代数的雏形。
康托的连续统基数问题
集合论的创建者Cantor(康托尔，1845-1918)惊人的创造了超限基数与超限序数。 对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。可列集的基数通常记作(阿列夫0)，用a表示。与实数集R1对等的集的基数又称 为连续基数或连续势，用c表示。Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中 a^a=c，c^a=c。诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c。下一个便是序数的概念。Cantor抽象地来引进这个概念。一个集合叫做全序的(simply ordered)，假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是 m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1。再则，若m1〈m2与m2〈m3，则 m1 1.专业“数学素养”有几点() A.两点 B.五点 C.四点 D.三点 答案：B 2.属于中国古代数学著作的是() A.《几何学》 B.《几何原本》 C.《孙子算经》 D.《自然哲学中的数学原理》 答案：C 3.几时发现斐波那契数列() A.1200年 B.1201年 C.1202年 D.1203年 答案：C 4.属于非对称关系的是() A.足球 B.夫妻 C.父子 D.照镜子 答案：C 5.初等数学时期分为的阶段不包括() A.东方 B.欧洲 C.非洲 D.古希腊 答案：C 6.人体中的黄金分割不包括() A.肚脐 B.膝盖 C.鼻子 D.印堂穴 答案：C 7.三次方程的求根公式是在哪个国家的学者找到的() A.古埃及 B.印度 C.阿拉伯 D.意大利 答案：D 8.晶体有几种空间群() A.210种 B.220种 C.230种 D.240种 答案：C 9.读书报告不包括哪些要求() A.摘要 B.关键字 C.参考文献 D.可以完全摘录网上东西 答案：D 10.中国勾股定理的证明最先在哪部著作中出现() A.《五经算术》 B.《海岛算经》 C.《周髀算经》 D.《孙子算经》 答案：C 11.第一个提出群的概念的人是() A.高斯 B.雅可比 C.伽罗瓦 D.拉格朗日 答案：C 12.最小的“无限”集合是() A.自然数集 B.正整数集 C.实数集 D.有理数集 答案：B 13.数学起源于四个“河谷文明”地域，以下不是的是() A.尼罗河 B.印度河 C.亚马逊河 D.黄河 答案：C 14.以下是数学思想的是() A.问题一般化 B.问题特殊化 C.归纳总结找出规律 D.以上全部是 答案：D 15.以下不是初等数学的主要分支的是() 以下列出希尔伯特的23个问题： 第1题连续统假设部分解 决 1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设 不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。 第2题算术公理之相容性已解决库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。 第3题两四面体有相同体积之证明法已解决希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的。第4题建立所有度量空间使得所有线段为测地线太隐晦希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。 第5题所有连续群是否皆为可微群已解决1953年日本数学家山边英彦已得到完全肯定的结果。 第6题公理化物理非数学对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。 第7题若b是无理数、a是非0、1代数数，那么a b是否 超越数 已解决分别于1934年、1935年由盖尔范德与Schneider独立地解决。 第8题黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想未解决虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况（详见各条目），三个问题均仍未被解决。 第9题任意代数数域的一般互反律部分解 决 1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin） 各有部份解答。 第10题不定方程可解性已解决1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。 第11题代数系数之二次形式已解决有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。 第12题扩展代数数已解决1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。 第13题以二元函数解任意七次方程已解决1957年柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺德证明其不可能性。 第14题证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决1962年日本人永田雅宜提出反例。 （十三） 第四节“相容性、独立性和完全性”的观点 一、相容性、独立性和完全性 表述数学理论的经典方法，是形式的公理化方法，即从一批公理、定义出发，通过逻辑推理，得到一系列结论（称为命题、定理或推论）的方法。形式的公理化方法在逻辑上的要求，是相容性、独立性和完 全性。 1.相容性：不允许从公理系统推出矛盾来 ２.独立性：每一个公理不可由其它公理推出 ３.完全性：该形式系统中所有命题都能判定真伪 【含有“不可判定命题”的系统是不完全的。所谓不可判定命题，是指该命题和其反命题都不能由该系统中的公理推导出来。（A 与非A都能导出叫“不相容”，A与非A都不能导出叫“不完全”）】 150 二、哥德尔的不完全性定理 1关于.数学证明与科学证明的再认识 （图） 数学证明是依靠逻辑推理导出结论，定理一经证明就永远是对的，除非发现证明本身有误。 而其它学科的证明，往往是在某些依据下提出一种假说，当观察和实验与该假说相符，就成为假说成立的证据。如果该假说不仅能描述已知的现象，而且能预见未知的事实，就成为假设成立的更强的证据。证据积累到一定的数量，假设就改称为理论而被人们接受。 观察和实验是可能出错的，或者可能是不精确的，从而只能提供近似的证据，导出相对正确的理论。所以其它学科的理论，可能在后来会被证明是错的，从而导致科学上的革命，以至用新理论去代替旧理论。数学证明却与此不同，数学证明不是依赖于观察和实验，而是依赖于逻辑，所以，数学证明具有“绝对的意义”。 151 这些，是我们过去的认识。但是，形式的、公理化的、逻辑的推理方法确实是无懈可击吗？数学真理一定是绝对真理吗？ 1931年，年仅25岁的奥地利数学家和逻辑学家哥德尔（Kurt .Godel 1906年－1978年）在《数学物理期刊》上发表了一篇题为“论《数学原理》和有关系统中的形式不可判定命题”的论文。他当时在维也纳大学。论文刚发表时并未受到重视，但仅过了几年，就被数学界认为是数学和逻辑的基础方面的划时代文献。哥德尔的论文提出了公理化方法的局限性，这是人们始料不及的。哥德尔证明了两个重要的定理，即哥德尔第一定理和哥德尔第二定理。 ２.哥德尔第一定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系Ｓ，Ｓ中都有不可判定命题，从而该体系是“不完全”的。 （这里，“包含自然数系”不是特别的要求，一般的形式体系都包含自然数系。） 哥德尔第一定理表明，相容的体系一定是不完全的，这太令人吃惊了！例如哥德巴赫猜想，至今未被证明，也未被推翻，它是不可判定的命题吗？那样我们就永远也不能证明它了！ 152 集合论悖论的解决V7.5 2010.12.25 QQ:165442523 摘要：实数集R的所有幂集：P(R),P(P(R)),P(P(P(R))),...,Pn(R),...因为所有Pn(R)都是不包含自身的集合，罗素悖论中“所有不包含自身的集合”必包含所有Pn(R),也就是包含广义连续统假设中的全部基数{X0,X1,...Xn...}，从而无意义。 简而言之，集合可以包含自身，但集合不可以包含自身的幂集，这就是我与公理集合论最大不同点。 虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的. 广义连续统假设:无限集合的基数必是X0,X1,...Xn...之一. 其中的基数X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了. 无意义公理:一个无限集的基数是极限limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的. 这个公理是我引入的，我还没在别处见到过。 这个公理是易理解的，它就相当于公理集合论中的真类的概念，但公理集合论引入这个类的概念后就误入岐路了，至少作者是这样认为的。 李均宇第一定理：如果一个集合包含广义连续统假设中全部的基数，也就是集合{X0,X1,...Xn...},则这个集合的基数是limXn(n→∞) 这个定理是显而易见的，用反证法不难证明的。 李均宇第二定理:如果一个无限集合又包含自身的幂集,也就是集合 A={......,P(A)),则这个集合A的基数是limXn(n→∞) 证明:设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的基数是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成 X(n+1),这与原先假设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的基数是limXn(n→∞). 李均宇第三定理: 如果一个集合包含一个无穷集的所有幂集，也就是集合 B={P(A),P(P(A)),P(P(P(A))),...,Pn(A),...},则这个集合B的基数是 limXn(n→∞),尤其是当A为实数集R时，集合 B={P(R),P1(R),P2(R),...,Pn(R),...},则这个集合B的基数是limXn(n→∞) 所有幂集,假设无穷集A，则其幂集P(A),幂集的幂集P(P(A)),幂集的幂集的幂集P(P(P(A))),...Pn(A).....称为其所有幂集。 因为一个无穷集的所有幂集的基数就是广义连续统假设中全部的基数，所以由李均宇第一定理知此定理成立。 李均宇第四定理: 假设集合P'n(A)与幂集Pn(A)等势，也就是基数一样，则P'n(A)也相当于幂集Pn(A)一样适用于李均宇第二和第三定理中。 一。基数悖论 定理1:所有集合的集合的基数是limXn(n→∞). 这个显而易见，这在<<集合论>>中早已有之，这里重述而已。因为所有集合的集合包含自身幂集，由李均宇第二定理知其基数是limXn(n→∞).所以这种集合在公理集合论中称为真类。 康托居士 关于连续统假设的评论 康托居士 https://www.360docs.net/doc/be4892274.html,/u/1452947787 2010-04-06 17:37:11 关于连续统假设的评论 1. 连续统假设的来源及其历史演变 连续统假设（简称CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就必须了解康托是怎样建立集合论的。 康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。[1]第一种方法是利用幂集合，他证明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势（即元素个数相等）。这样，从自然数集N开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大的无穷幂集合 N, P(N), P(P(N)), …… 第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始，任何序数α加1后仍是一个序数。这样，从1开始，就可以形成一个无穷序数序列 1, 2, 3, …, n, …… 在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，如果一个无穷序数序列中没有最大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数。这样，从ω开始反复加1，又可以得到一系列无穷极限序数 ω, …, 2ω, …, ω2,…, ωn,…… 但这些极限序数都是等势的。第三原则，康托认为，这个极限序数序列中也没有最大序数，所以必然存在一个更大的超穷序数ω1，它比上述序列中任何一个极限序数的势都要大。这样，反复利用这三条原则，就可以形成一系列越来越大的无穷极限序数（又被称为超穷基数） ω1, …, ω2, …, ωn, …… 康托自然就提出这样一个问题：实数集R的基数2ω到底和上述哪个超穷基数等势呢？他认为2ω等于ω1，这就意味着在N和R之间不存在其他无穷集合。但康托不能给出证明，这一问题就被称为连续统假设。后来人们把CH进行了推广，认为对于任何一个超穷基数ωn,都有2ωn=ωn+1成立，这就是广义连续统假设GCH。 康托尔 康托尔，G．F．L．Ph．(Cantor，Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷．数学、集合论． 康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根，1807年英国炮击哥本哈根时，他们家几乎丧失了一切，随后迁往俄罗斯的圣彼得堡，那里有康托尔祖母的亲戚．康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔(George Wold emar Cantor)年轻时，曾在圣彼得堡经商．后来，在汉堡、哥本哈根、伦敦甚至远及纽约从事国际买卖．1 839年由于某种原因破产了．但不久，他又转到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼与们婚后有六个孩子，康托尔是他们的长子．1856年，康托尔随同全家移居德国的威斯巴登，并在当地的一所寄宿学校读书．后来在阿姆斯特丹读六年制中学．1862年，开始了他的大学生活．他曾就学于苏黎世大学、格丁根大学和法兰克福大学．1863年，他父亲突然病逝，为此，康托尔回到了柏林，在柏林大学重新开始学习．在那里，他从当时的几位数学大师K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，库默尔(Kummer)和L．克罗内克(Kro-nechen)那里学到了不少东西．特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学．从此，他集中全力于哲学、物理、数学的学习和研究，并选择了数学作为他的职业．可是，最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学，而是力促他学工．但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引．1862年，年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定．尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业．同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，他还极力培养康托尔在文学、音乐等方面的兴趣．康托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪． 由于康托尔一开始就具有献身数学的信念，这就为他创立超穷集合论，取得数学史上这一令人惊异的成就，奠定了基础．尽管19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责，但是他不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫了超穷集合论．也正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路并真正取得了成就． 1866年12月14日，康托尔的第三篇论文“按照实际算学方法，决定极大类或相对解”(In re mathema tica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他获得了博士学位．这时，他的主要兴趣在数论方面．1869年，康托尔在哈雷大学得到教职．他的授课资格论文讨论的是三元二次型的变换问题．不久，任副教授，1879年任教授，从此一直在哈雷大学担任这个职务直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大学的数学讲座． 集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。 1 无穷集合的早期研究 集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。例如美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。集合论的全部历史都是围绕无穷集合而展开的。 早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。 在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。希腊哲学家亚里士多德（前384－前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1 总能得到一个新数。对他来说，无穷集合是不存在的。 哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。 公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。为了解释这个在许多人看来是一个矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。其实，他这里是接受了亚里士多德的潜无穷的概念，而否认实无穷的概念，对这种对应关系采用了回避的态度。 到了中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。例如，数学家们注意到把两个同心圆上的点用公共半径联结起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。近代科学的开拓者伽利略（1564－1642）注意到：两个不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他说，所有无穷大量都一样，不能比较大小。 到了十七世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起，而微分法则是两个无穷小量相除。由于无穷小量运算的引进，无穷大模大样地进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数南开20秋《数学文化(尔雅)》在线作业-2
以下列出希尔伯特的23个问题
数学文化(13)
集合论悖论的解决V7.5
连续统
康托尔 集合论
集合论的孕育与诞生