特殊三角形讲义(DOC)

特殊三角形讲义

【知识点精析】

一、等腰三角形

1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角

形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

二、直角三角形

1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。

如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。

3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。

4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。

5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。

难点：

在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

三、勾股定理及逆定理

一、勾股定理及其证明

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）

2c

2

2

+

∴

a=

b

（1）已知两边（或两边关系）求第三边；

（2）已知一边求另两边关系；

（3）证明线段的平方关系；

（4）作长为n的线段.

三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+那么这个三角形是直角三角形.

1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；

2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： 1．先找出最大边（如c ）；

2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等.

若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形. 若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形. 注意：（1）△ABC 中，若222c b a =+，则∠C=90°；而222a c b =+时，则∠A=

90°；222b c a =+时，则∠B=90°.

（2）若222c b a <+，则∠C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. 若222c b a >+，则∠C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形. 三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.

四、全等三角形的概念、性质与判定

1. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等。

3. 全等三角形的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS ”）；

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；

（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；

（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。

4. 常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。

（1）平移

（2）翻折

（3）旋转

5. 判定两个三角形全等所需条件：

（1）需要三个条件；

（2）至少有一个条件为边。

注意：“边边角”不一定成立。

反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC ＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。

【典型例题分析】

例1. （2005年苏州）

如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。

例2. 已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。

C

D

A B

E

例3. 已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。

A

E D

F

例4 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，

BD 210，求其斜边AB长。

A

G D

B E C

例5如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF 的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2∠E=∠A。

D

E B C

例 6 Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D在BC上，于，于；M为BC中点，请判断?M EF的形状，并说明DF AB F DE AC E

⊥⊥

你的理由。

C

例7作长为5

、的线段.

3

2、

例8

AD=8，求BC的长.

例9若a、b、c是△

三角形的形状.

，EF边上中

例11如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点.

求证：2

2AB

?

+.

AD=

DC

BD

例12. （2005年安徽）

如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。

例13. 如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。问：

在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。

【综合练习】

一. 填空题

1. 直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。

2. 已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。

3. 已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。

4. △ABC中，∠C＝90°，AB＝c, BC＝a, AC＝b,c＝34, a∶b＝8∶15,则a＝。

5. 在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折

叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=___________.

二. 选择题

6、等腰三角形的腰长为32， 底角等于30°，那么底边长为（ ） A. 3 B. 33 C. 63 D. 6

7、如图，BE 、CD 分别是△ABC 的两条边上的高，M 是BC 的中点，则△DEM 是（ ） A. 不等边三角形 B. 等腰三角形

C. 直角三角形

D. 等边三角形

8DF=89 A. 216 三、解答题1. 已知，如图，D 、E 是BC 上两点，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE

A

B D E C

2. 已知，如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，DE 交BC 于F ，又BD ＝CE ，求证：DF ＝EF

A

D

B C

F

E 3. 已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，

求证：AD＝CE

A

B D C

E

4. 已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC 于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。

A

D

B C

E

5、某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB ＝200,CD＝100,求AD、BC的长。

6、

如图所示，已知：∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD 的面积.

A

B

D

C

E

7、 如图所示，已知正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，F 在CD 上，且DF=3CF ，求证：AE ⊥EF.

A

B

C

D

E

F

8、如图所示，△ABC 中，2AD=DC ，且5BC 2CD 3BD ===，，，求AB 及高AE.

9、在正方形ABCD 中，F 是AD 上一点，且a AD 4

1DF ==，E 是CD

的中点.

求证：BE ⊥EF.

10. 已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，OB ＝OA ，求证：BC ＝AD 。

11. 已知：如图，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，BE ＝DF ，BC ＝AD 。图中共有多少对平行线？试选其中一对加以证明。