实用下料问题

实用下料问题

摘要

本文是关于如何从下料方式，下料时间和所用原料块数这三个角度去考虑下料方案的优化问题，需要建立多目标整数规划模型进行求解。

针对问题一，首先采用贪心算法对4天内要完成和6天内要完成的零件单独分配，贪心策略为在下料方式最少的基础上尽可能的减少余料，这样得到四天内要完成的零件需要151块原料，原料利用率为98.3%，下料方式数为12，具体下料方式见表2；六天内要完成的零件需要121块原料，原料利用率为97.98%，下料方式数为12，具体下料方式见表10。对于其他零件首先以方式最少和原料使用最少为目标函数，以每种下料方式不得超过原料长度和余料长度不得超过最短的零件长度为约束条件，从而尽力多目标整数规划模型，然后对模型求解得到：其他零件需要原料525块，原料利用率为98.1%。因此问题一总共需要原料797块。

针对问题二，首先采用问题一的方法二同样利用贪心算法对4天内要完成的零件进行分配，得到需要零件361块，原料利用率为87%，下料方式为16种。

“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即

m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。

1.建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm.

据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48; 要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11, 24,29, 32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料最少的模型及增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。 (2).在解决具体问题时,先制定4天的下料方案,再制定6天的下料方案,最后制定53种零件的下料方案. 这一提示对第2题也部分适用.)

2.建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数据见表二，其中 i i i n w l ,,分别为需求零件的长度、宽度和数量. 切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i )为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.

针对问题一，首先采用贪心算法对4天内要完成和6天内要完成的零件单独分配，贪心策略为在下料方式最少的基础上尽可能的减少余料，这样得到四天内要完成的零件需要的原料，原料利用率和下料方式数；六天内要完成的零件需要原料，原料利用率和下料方式数。对于其他零件首先以方式最少和原料使用最少为目标函数，以每种下料方式不得超过原料长度和余料长度不得超过最短的零件长度为约束条件，从而尽力多目标整数规划模型，然后对模型求解得到：其他零件需要原料525块，原料利用率为98.1%。因此问题一总共需要原料797块。

针对问题二，首先采用问题一的方法二同样利用贪心算法对4天内要完成的零件进行分配，得到需要零件,原料利用率和下料方式。

三问题假设

1.对于第一问的假设

1）在每个切割处锯缝所产生的损耗为5mm；

2）一种融合方案就是一种切割方式；

3）锯缝所产生的损耗视为原料被利用；

4）任意两种或两种以上的零件可以相互融合切割；

5）假设工厂每天都可以以最大下料能力下料；

6）用料最少比方式最少考虑更侧重；

2.对于第二问的假设

1）切割引起的锯缝损耗忽略不计；

2）任意两种或两种以上的零件可以相互融合切割；

3）一种融合方案就是一种切割方式；

4）假设工厂每天都可以以最大下料能力下料。

四符号声明

：平均原料利用率；

X：规定时间内要完成零件总的下料方式；

N：最少需要的原料块数；

K：未规定时间内完成的零件总的下料方式；

a：第j种下料方式中切割第i号零件的数量

ij

x：按第j种下料方式切割的数量；

j

G：最终的目标函数。

五 模型建立与求解

5.1问题一模型建立与求解

（1）求在4天内需要完成的零件

四天内需要完成的零件总共11种，对象较少，首先只考虑方式最少，即每种零件不与其他零件搭配下料，共只有11种下料方式，不考虑用料节省，得到表1：

表1 4天内需要完成的零件方式最少的下料分配表

通过分析表1可知，如果9种材料不相互搭配，即只保证下料方式最少原则的情况下，

所需材料总块数：

16748

5==∑=i i N N

材料平均利用率：

)3000/()(148

5

N L N i i i ∑=-=η=88%

总下料方式：

X=11

由此可见上表中的分配方式是下料方式最少的一种分配，但是不是用料最省，需要加上用料最少的约束条件对其进行进一步优化分配。因此将该下料方式作为初始下料方式，然后采用贪心算法对其进行进一步优化，贪心策略为：在原有的分配基础上尽可能的重新分配以达到余料最少。因此进一步将各种材料融合分配，得方案为如表2：

通过分析表2可知所有融合方案都有剩余原料，且在按上表融合方案后，还剩余85块零件48没有安排下料，至少要安排9块原料去下料，同时至少需要2种下料方式，因此通过计算可得所需材料总块数：

15148

5

==∑=i i N N

材料平均利用率：

)3000/()(148

5

N L N i i i ∑=-=η=98.3%

总下料方式：

X=12

由此可见在材料利用率上升的同时，下料方式仅仅增加一种，因此该方案可以作为较优方案。但是对于剩余的85块零件48若安排9块原料去下料则原料利用率仅为91.2%，因此需要将此85块零件48与其他重新分配，观察表2发现原料利用率最低的融合为（2块零件18+1块零件20+1块零件48），利用率为97.1%，因此将剩余的85块

零件48尽可能的融合进去，重新进行安排方案，而重新需要融合的零件如下表3：

表3 剩余需要融合的零件

将上表中的剩余零件继续采用贪心算法的思想，其中48号零件较多，因此应当将48号零件尽可能多的穿插入其他零件中，同时使得利用率最高。未重排前这部分原料需要26+9=35块，利用率为95.3%，重新分配如下表4：

上表中所有融合方案都有剩余原料，且在按上表融合方案后，还剩余45块零件48没有安排下料，若安排5块原料去下料则这部分零件需要35块原料，则利用率不变，由此可见利用率不能再提高，剩余的85块零件48只能由9块原材料做。因此若单独考虑4天内完成的下料任务需要151块原材料，材料余料率为1.74%，且不到两天就能完成，分配方案如表2。

（2）求在6天内需要完成的零件

由于在6天之内完成的零件只有9种，所以我们先处理6天之内需要完成的9种零件。

首先，在保证9种工件的下料方式最少的原则下，根据附录1将9种工件所需材料块数与剩余材料长度做成表格，如表5所示。

表5 9种工件所需材料块数与剩余材料长度表

通过分析表4可知，如果9种材料不相互搭配，即只保证下料方式最少原则的情况下，所需材料总块数：

50

4130I i N N ===∑

材料平均利用率：

5050

4

4

1(*)(3000*)87.55%i i I i i N L N η===-=∑∑

总下料方式：

50

410i i X X ===∑

但是为了满足材料用量最少，下料方式最少，材料利用率最高三个条件，必须得将9种材料相互搭配，才能得到最优的结果。为了得到最优的搭配方案，我们采用三种方法：方法1是在保证下料方式最少原则下进行相互搭配，方法2与方法3的搭配方案都是在方法1上进行适度调整，即方法2是将9种材料中所需根数相同的工件归为一类，作为对方法1的调节，和方法3是将9种材料中所需根数相似的共建归为一类，作为对方法1的调节。然后比较3种方法，得出最优搭配方案。

方法1 保证下料方式最少原则

通过观察表1得知，在满足所用材料最少，材料利用率最高原则的前提下，11组与24组可以搭配，成为11类；29号与50号可以在一定程度上可以兼职，称为29类；32号，38号，40号与46号可以相互搭配，称为32类；40号与46号可以相互搭配，称为

40类。具体搭配方案见表6.

根据贪心算法，将新类别的所需材料根数与剩余材料长度重新计算，得到表7。

为了进一步提高材料利用率，通过分析表7可知，29类与32类两类在材料剩余长度上还可以进行搭配，因此将29类与32类进行搭配，称为新29类。具体搭配方案为将1块剩余长度为1545的零件与3块剩余长度为580的零件分配给50号零件，即加工50号零件只需22块3000的零件即可完成。然后根据贪心算法的原则，对表3再一次进行调整，得到表8：

材料利用率97.13%,下料方式为19种，所需材料根数114根。通过观察表8可知，

如果9种材料按照方法1相互搭配， 所需材料总块数:

50

4114I i N N ===∑

材料平均利用率:

5050

4

4

1(*)(3000*)97.13%i i I i i N L N η===-=∑∑

总下料方式:

50

419i i X X ===∑

方法2 在保证下料方式最少原则下，将所需根数相同的零件分为一类

按照方法2，根据附录1将9种零件进行分类，可分为7类；分别是4号；11号；24号，38号与46号一类，称为24类；29号；32号；40号；50号。然后将7类零件的所需材料根数与剩余材料长度制成表格，见表9,.

通过分析表9可知，在满足所用材料最少，材料利用率最高,原则的前提下，需要对7类零件相互搭配，4号单独作为一类；11号，24类，29号，32号，40号与50号部分兼职，可归为一类，称为11类；剩余的50号单独归为一类，50归为类。具体搭配方案为将4块11号零件，4块24类零件，23块290号零件，53块32号零件和7块42号零件分别与50号零件搭配，则搭配后为完成50号零件的加工还需3000mm 的材料11块。具体的所需材料块数与剩余材料总长度见表10。

所需材料总块数

50

4121I i N N ===∑

材料平均利用率

5050

4

4

1(*)(3000*)97.98%i i I i i N L N η===-=∑∑

总下料方式

50

416i i X X ===∑

方法3 在保证下料方式最少原则下，将所需根数相似的零件分为一类

按照方法3，根据附录1将9种零件进行分类，即分为4类；4号单独归为一类称

为4号；11号， 24号，38号与46号一类，称为新11类；29号与40号归为一类，称为新29类；32号与50号归为一类，称为新32类。然后将4类零件的所需材料根数与剩余材料长度制成表格，见表11.

通过分析表11得知，在满足所用材料最少，材料利用率最高原则的前提下，4号单

独作为一类；新11类，新29类与新32类可以兼职，称为最新11类。

具体的分配方案为4块新11类零件，10块新29类零件分别与18块新32类中的50号零件搭配，则为完成50号零件的加工，还需3000mm 的材料7块。根据贪心算法的思想，将新类别的所需材料根数与剩余材料长度重新计算，得到表12。

材料利用率96.69,下料方式为16种，所需材料根数135根。 所需材料总块数

50

4135I i N N ===∑

材料平均利用率

5050

4

4

1(*)(3000*)96.69%i i I i i N L N η===-=∑∑

总下料方式

50

416i i X X ===∑

为了比较清晰，我们将三种方法得到的所需材料总块数，材料平均利用率，总下料方式绘成表格，如表13所示。

通过比较方法1和方法2可知，方法1虽然材料用量最少，但材料利用率和下料方式均比方法2多；通过比较方法3和方法2可知，方法3虽然下料方式最少，但材料利用率和材料用量均比方法2多。

综上所述，方法2最优。即在满足工件最少完成所需时间的约束下，既能满足材料用量最少，又能保证下料方式最少。 （3）求剩余零件的最佳方案

将4天要完成的零件与6天内要完成的零件除开后剩下的没安排的零件如下表14.

要尽可能节省材料，尽可能用少的下料方式。 因此多目标函数为

∑==531

j j x MinN ，∑

==53

1

j j

j x x MinK )53,...,10,8,6,3,2,1(=j

其中约定当采用了第j 种下料方式，则j x 为大于0的整数，因此j

j x x =1；若没有采用第j

种下料方式，则j x =0，此时定义j

j x x =0，这样就能合理表示下料方式。而在在融合切割

时，下料的长度不得大于原料长度L ,同时为了节约材料，每次原料切割后的余料不得超过任意零件的长度，即余料不得超过最短的零件长度。因此约束条件方程如下：

??

??

?????

??

≥≥=<+-≤-+∑∑∑==≤≤=且均为正数

,.0,0),()5(,5)5(.53153153153

1

m i n j ij i j j ij i i i i ij j i x a n x a l l a L L l a T S ij 在求解多目标整数规划模型时，往往先转化为单目标整数规划，再由假设可以将用料最

少设权重0.6，方式最少设权重0.4，因此转化为单目标函数为：

∑∑

==+=531

53

1

4.06.0j j j

j x x x MinG j

将表中数据代入并用LINGO 软件求解结果为：需要原料525块，原料利用率为98.1%。

5.2问题二模型假设与建立

（1）求4天内完成的最佳分配

根据问题1中的模型，我们用方法2对二维下料中4天内需要完成下料的零件同样用贪心算法进行计算。

首先，根据方法2对附录1中二维下料的数据进行归类，由于 18号与36号；9号与28号的所需根数相同，因此将他们分为两类，即总共分为3号，18类，7号，9类，12号，15号，20号和25号8类。具体的分类后所需材料及剩余长度和宽度见表14.

通过分析表14得知，在满足所用材料最少，材料利用率最高原则的前提下，将12

块3号零件和10块9类零件分别与25号零件搭配；即为了按时完成25号零的加工，还需要236块长3000mm 宽100mm 的材料；将40块20号零件与40块12号零件归为一类。

根据贪心算法的思想原则，将归类后的零件所需材料和剩余长度绘制成表格，如表15所示。

表15 调整后分类得到的所需材料及剩余长度和宽度表.

所需材料总块数

25

3361I i N N ===∑

材料平均利用率

2525

3

3

1(**)(3000*100*)86.92%I i I I i i N L W N η===-=∑∑

总下料方式

25

316i X X ===∑

（2）剩余材料最佳配置方案

1 禁忌搜索算法实现

禁忌搜索引入了人工智能的记忆机制，对于一些复杂问题，显示出极强的寻优能力．禁忌就是禁止重复前面的操作．为了防止搜索陷入局部最优，用一个叫禁忌表的结构记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点，以此来跳出局部最优点，同时“遗忘”又使禁忌在一定时间后失效，最终达到全局优化．

TS 算法一般描述：

1)确定初始排序变量f0，并计算其目标函数值f 0．令i=i 0，f=f 0，设定禁忌表中的每一操作的禁止期限为0．

2)如果禁忌表中的禁忌期限不为0，将其减1．在当前解的邻域中选出一定数量的最好的解，并按由优到劣次序排列．如果第一个解不是被禁忌的解或者它的函数值比目前找到的最优解好，则把它作为当前解，在禁忌表中设定该解的禁忌期限值，否则检查第二个解是否满足条件，依此类推．

3)如果不满足终止判据，转(2)；如果满足终止判据，停止计算，输出问题的优化解． 1．1编码

要用禁忌搜索算法求解集装箱装载问题，首先要将原问题的可行解空间转化到禁忌搜索算法所能处理的搜索空间，搜索空间中的元素就是代表解的数字串，编码就是设计问题解数字串如何表示的过程．与遗传算法类似，解的编码方案一般用二进制串形式，具体到三维集装箱装入问题，常规的想法是将物体的三维坐标用二进制串来表示，但这种方案会形成很长的编码，导致搜索空间剧增，同时因为坐标值的调整变化仅描述了放入零件本身位置的改变，可能会使待放入零件之间出现干涉现象．为避免干涉，编码调整前需要进行判断，即编码的变化是受限的，而处理干涉判断的计算代价是巨大的，为此，有必要设计一种更好的编码方法．对所有零件进行编号，按其装入的顺序进行排列，

即123()n P PP P P =????P 。)，其中n 为放入零件的数目，(1)i P i n ≤≤代表零件编号的整数．例如，假设有100个零件，先将这100个零件按体积从大到小降序排列，并按此顺序进行放入，则禁忌搜索算法的初始解可定义为P=(1，2，3，…，100)．数字串P 是解的运算处理形式，能否简单、快速地将其转换成空间规划图的表现形式，从而求出其相关评价函数值，就成为禁忌算法能否有效应用的关键，为此，本文提出以下解码方法． 1．2解码

解码是编码的逆过程，将搜索空间中的解转换到原问题的可行解空间，然后再对得到的可行解求出评价函数值，对于集装箱装入问题就是按照得到的装入顺序把物体按照一定规则实际装入一遍，评价函数值就是按照这种装入方式得到的空间利用率．三维装入问题的难点之一就是待布入空间形状复杂，难于描述．本文布局空间的描述采用三叉树数据结构表示，初始的当前布局空间是整个集装箱，对应于三叉树的根结点，将第一个可放入的小物体定位于当前布局空间后部的左下角，这样原布局空间被分解成3个子空间，分别对应于三叉树根结点的左、中、右3个子结点．按深度优先的原则分别对这3个独立的子空间重复上面过程．结束条件是集装箱没有可利用的剩余空间或是小物体已全部装入．用三叉树结构处理集装箱布局问题的空间分解可避免空间干涉．为了更好地利用布局空间，结合了空间合并的方法．定义剩余空间栈和废弃空间链表2个数据结构，每次装入都是从剩余空间栈顶弹出一个元素作为当前空间，对于一个给定的解，附加定义一个标记数组Order 与之对应，将其全部元素初始化为l ，表示小物体还未放入．将解中编号代表的小物体按照从前往后的顺序尝试放入当前空间，若能放入则将其放入，并把当前空间按三叉树结构分解，将新生成的空间压入剩余空间栈，将Order 数组中与该小物体对应的元素置为0，表示小物体已放入．对于所有小物体都不能放入的剩余空间，先不将其丢弃，将其放入废弃空间链表，目的是再次从剩余空间栈中选出当前空间后，看当前空间能否与相邻的废弃空间合并从而使当前空间最大化，以便大物体放入或空间充分利用．

1．3解的评价函数

禁忌搜索算法得到的解要用评价函数来评价好坏，所谓解的评价函数就是对解所代表的物体的装入方案按照一定指标进行衡量的规则．与遗传算法类似，禁忌搜索算法在搜索过程中基本不使用外部信息，利用解的评价函数值进行搜索，评价函数值越大，解越好．集装箱装载是一个多目标、多约束的组合优化问题，根据优化目标可以将集装箱空间利用率、布入物体重量和货物重心分布等一起参与评价函数的计算．这比一般启发式方法先将约束考虑到启发式规则中的方法要好，因为有些复杂的布局很难凭经验检查出约束条件是否满足．本文仅做试验研究，用零件利用率为评价函数，计算公式定义为

1

1

1(*)(3000*100*)n n

I i I i i N V N η===-∑∑

式中：η一零件的材料利用率；i V 一剩余的第i 个零件的面积；i N ——第i 个零件所需材料数目；n 一最后一个零件

多目标优化时可将评价函数定义成如下形式

11223344ValueParam k V k V k V k V =+++??????+ 公式(1)

式中：ValueParam ——总体评价函数；i k ——加权系数，凭经验和实验确定；K —

—各目标的评价函数，f=l，2，…，n．

在解码过程中计算各优化目标的评价函数，解码结束后利用公式(2)计算当前解的总体评价函数．将集装箱装载问题的约束条件体现在解的评价函数中，简化了计算．1．4邻域解生成算子

由当前解生成邻域解的方法可任意设计，但如果邻域解和当前解差别太大，会使禁忌搜索过程趋于随机搜索；而变化太小会使收敛速度缓慢，且易于陷入局部最小．因此要设计合适的邻域算子，既保证搜索的收敛性，又保证解的优越性．对于本文这种类似于TSP问题的以符号编码的基因串，采用在串长范围内随机生成2个交换点(解内的2个交换点位置不同，且不同邻域解的交换点位置不同)，将位于交换点上的2个小物体交换位置．对于这种互换操作，每个解的邻域解有咒(n—1)／2个，并称从一个解状态转移到其邻域中的另一个解状态为一次移动．显然每次移动将导致评价函数值的变化．1．5计算过程

TS算法求解集装箱装载问题的实现步骤：

1)设定算法参数，包括邻域解个数、候选解个数、禁忌表长度和迭代次数r等．

2)将小零件按体积降序排列，然后对其按升序编号形成当前初始解．

3)根据当前解和邻域算子，生成邻域解集．

4)计算邻域解评价函数(即解码)．

5)根据评价函数值生成候选解集．

6)依据候选解集及禁忌表，更新当前解、当前最优解及禁忌表．

7)迭代计数器t加l，判断终止条件，若t小于r，转(3)；若t大于r，则以此刻的当前最优解作为最优解输出，终止计算．

8)判断最优解是否满足要求，若是，则算法结束，否则，转(1)设定参数，重新计算．说明：迭代的终止条件也可设置为计算时间是否超过规定值，本文测试中将计算时间作为终止条件．

六模型评价及推广

模型优点

（1）贪婪算法求解对象少的问题，方法简单，模型简易，同时能尽可能考虑全面得到最优解；

（2）在整数规划前单独考虑了4天和6天的零件分配，减少了整数规划的约束条件，降低了多目标规划的求解难度，同时使整数规划的解尽可能达到最优

模型缺点

（1）对贪婪算法的结果剩余的85块零件48没有做进一步优化，没有得到最优解；（2）禁忌搜索方法没有得到最优解。

七参考文献

[1] 肖宇谷，《数学》，北京：中国财经经济出版社，2010年

[2] 于秀林任雪松，《多元统计分析》，北京：中国统计出版社，1999年

[3]百度文库，数学建模竞赛中应当掌握的十类算法

,https://www.360docs.net/doc/b610972128.html,/view/4b9a5ceef8c75fbfc77db283.html，2012-09-10

八附录