留数在定积分计算上的应用

定积分的应用

定积分的应用

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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?

留数定理在定积分计算中的应用论(参考模板)

留数定理在定积分计算中的应用 引言 在微积分或数学分析中，不少积分( 包括普通定积分与反常积分) 的计算用微积分教材里的知识很难解决或几乎是无能为力． 如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论解决这类问题，会达到化难为易、化繁为简的效果．本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，首先我们来给出留数的定义及留数定理． 1留数定义及留数定理 1.1 留数的定义 设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R

证明:以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ?=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，利用复周线的柯西定理得 ()()1k n k C f z dz f z dz =Γ=∑??， 由留数的定义，有 ()()2Re k k z a f z dz i s f z π=Γ=?． 特别地，由定义得 ()2Re k k z a f z dz i s π=Γ=?， 代入（1）式得 ()()1 2Re k n z a k C f z dz i s f z π===∑?． 2．留数定理在定积分中的应用 利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分． 2.1形如 ()20 cos ,sin f x x dx π ?型的积分 ()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，且在[]0,2π上连续，解决此类积分要注意两点，一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。满足这两点之后，我们可以设ix z e =，则dz izdx =， 21sin 22ix ix e e z x i iz ---==，21 cos 22ix ix e e z x z -++== 得 ()22210 11cos ,sin ,22z z z dz f x x dx f z iz iz π =??--= ????? ()1 2Re k n z z k i s f z π===∑．

定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2－2≤x <0， 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B ．2 | C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) ￥ A ．2 3 B ．9－23 答案： 详解：

注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的 面积为??－3 1(3－x 2－2x )d x ＝? ???? 3x －13x 3－x 2??? 1 －3＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3×－3－1 3×－3 3 ]－ －3 2 ＝32 3，选D. 题二 ^ 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

不定积分计算的各种方法论文.doc

不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为

?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.

§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积

３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成

正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

最新定积分及应用61887

定积分及应用61887

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 第六章 定积分及其应用 习题6-1 1、利用定积分的定义计算下列定积分： (1) ?-2 1 xdx ； 解：①令]2,1[)(-∈=C x x f ,因此]2,1[)(-∈R x f , ②取?为]2,1[-的n 等分,此时有 ]31,)1(31[],[1n i n i x x i i i +--+-==?-,n x i 3=?=?,.,,2,1n i = ③取i i i n i x ?∈+-==31ξ,于是 )3(33)31()(],[11 1∑∑∑===+-=+-=?=?n i n i n i i i i n n n n n i x f S ξξ 2 )1(932++-=n n n , ④2 3293]2)1(93[lim ],[lim 20||||2 1 =+-=++-=?=∞→→?-?n n n S xdx n ξ. (2) ?1 0 dx e x . 解：①令]1,0[)(C e x f x ∈=,因此]1,0[)(R x f ∈, ②取?为]1,0[的n 等分,此时有 ],1[],[1n i n i x x i i i -==?-, n x i 1=?=?,.,,2,1n i =

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢24 ③取i i i n i x ?∈==ξ,于是 ∑∑∑ =====?=?n i n i n i n i n i i i e n n e x f S 11111)(],[ξξ, ④n n n n i n i n x e e e n e n S dx e 11 10||||1 0 1 11lim )1(lim ],[lim --==?=∞→=∞→→?∑?ξ 11lim )1(1 1 lim )1(01-=--=--=→∞→e e t e e n e t t n n . 2、利用定积分的几何意义,说明下列等式： (1)121 0 =?xdx ； 解：因x y 2=,1=x 及0=y 围成的三角形的面积为1, 因此由定积分的几何意义知121 0 =?xdx . (2)411 0 2π=-?dx x ； 解：因圆形122=+y x 的面积为π,那么122=+y x ,0=x 及0=y 围 成的是圆形在第一象限的部分,其面积当然为4 π,因此由定积分的几何意义知 4 11 0 2π=-?dx x . (3)0sin =?-π πxdx ；

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，

定积分方法和应用

例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，

例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积

= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。

解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为

= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。

解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线

§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积

２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长

８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

定积分的应用练习题

定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积

题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 ． 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 31 B ． 32 C ． 21 D ． 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 223a π B ． 243a π C ． 2 8 3a π D ． 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）

专升本高等数学 第五章定积分及其应用

第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2, ,i n =），并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即

1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质

高数 定积分的应用

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以

[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.

数学分析(2)：定积分计算与应用

数学分析（2）：定积分计算与应用 1、4 01cos 2x dx x π +? 2 、 ln 0? 3 、 (211x dx -+? 4 、1? 5、32122dx x x -? 6、21(1)dx x x +∞+? 7、 21arctan x dx x +∞? 8 、10? 9、120ln(1)1x I dx x +=+? 10 、设1 20()3()f x x f x dx =，求()f x . 11、设21,0(),0x x x f x e x -?+<=?≥? ，求30(2)f x dx -? 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积. 13 、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小. 14 、求函数2 y = 1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积 16、求摆线1cos sin x t y t t =-?? =-?一拱()02t π≤≤的弧长.

17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求 0()(0)x S t dt x ≥?. 19、设()0sin x t f x dt t π=-?，计算()0f x dx π?. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2 a Ma f x dx ≤?，其中{}'max ()a x b M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明： 1 10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--??

不定积分的计算

不 定义：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f （x ），即对任一x ∈I ，都有 ()()dF(x)=f(x)dx F x f x '=或 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数F （x ），使对任一x I ∈都有 ()()F x f x '= 简单地说：连续函数一定有原函数。 一、换元积分法 1、第一类换元法 定理：设f （u ）具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式：()[()]()[()]u x f x x dx f u ???='=?， 设要求()g x dx ?，如果函数g （x ）可以化为g x [()]()x x ??'?（）=的形式，那么 ()()[()]()[()]u x g x dx f x x dx f u du ???='==?? . 这样，函数g （x ）的积分即化为函数f （u ）的积分，如果能求得f （u ）的原函数，那么也 就求出了g(x)的原函数。 例，求 ? 解：被积函数中，cos2x 是一个复合函数：cos2x=cosu ，u=2x ，常数因子恰好是中间变量u 的导数，因此，作变换u2x ，便有： 2cos 2cos 22cos 22()cos sin 22cos 2sin 2xdx x dx x x dx udu u c u x xdx x c =?=?= =+==+?????即 将代入得 2、第二类换元法 定理：设()x t ?=是单调的可导的函数，并且()0t ?'≠，又设[()]()f t t ??'具有原函数，则有换元公式：1 x ()[[()]()]t f x dx f t t dt ???-='=??（） （2） 其中1 x ?-（）是()x t ?=的反函数。 证明：设[()]()f t t ??'的原函数为()t Φ，记1 [()](x F x ?-Φ=），利用复合函数及反函数的 求导法则。得到：1 F ()[()]()[()]()() d dt x f t t f t f x dt dx t ????Φ''= ? =? ==' 即F(x)是f （x ）的原函数，所以有：1 ()()[()]f x dx F x c x c ?-=+=Φ+? =1 () [[()]()]t x f t t dt ? ??-='?

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12

浅谈复积分的计算方法

山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 浅谈复积分的计算方法

摘要 复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来. 本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨. 关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 Discussion on the computational methods of complex integration

2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用(学生版)

实用文档 2014届高三理科数学一轮复习试题选编29：定积分的计算及其应用 一、选择题 1 ．(安徽寿县一中2012年高三第四次月考试卷) 求由曲线y =,直线2y x =-+及y 轴所围成的 图形的面积错误的为 （ ） A ． 4 (2x dx -+? B ． ? C ．22 2 (2)y y dy ---?D ．0 22 (4)y dy --? 2 ．(江西重点高中协作体第二次联考理科)若函数?? ? ??≥<<-≤=)2(,0)23(,4)3(,1)(2x x x x x f ,则dx x x f ])([21+?-的值为 （ ） A ． 3 3 32 ++ π B ． 2 3 53 ++ π C ． 2 3 33 ++ π D ． 3 3 52 ++ π 3 ．(2011-2012学年厦门市3月份高三数学质量检查试题(理科))如图,已知幂函数y x α=的图像过点 (2,4)P ,则图中阴影部分的面积等于 （ ） A ． 16 3 B ．83 C ． 43 D ． 23 4 ．(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为

实用文档 （ ） A ． 2π5 B ．43 C ．32 D ． π2 5 ．(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影 部分的概率为 （ ） A ． 14 B ．15 C ．16 D ． 17 6 ．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)试题）函数 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 （ ） A ． B ．1 C ．2 D ． 7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若 1 20 ()d 0 x mx x +=? ,则实数m 的值为 （ ） A ．1 3 - B ．23 - C ．1- D ．2- 8 ．（2013届北京大兴区一模理科）抛物线2(22)y x x ≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入 1 -y x O 第3题 1 1