深圳外国语学校2014届第一次月考(文数)

深圳外国语学校2014届第一次月考

数学（文）试题

注：请将答案填在答题卷．．．．．．．．．．．相应的位置．．．．．上．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合要求的．

1.已知集合2

{|10},{|0},A x x B x x x =+>=-<则=B A （ ）

A.{|1}x x >-

B.{|11}x x -<<

C.{|01}x x <<

D.{|10}x x -<< 2.函数1)4

(cos 22

--

=π

x y 是（ ）

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为

2

π的奇函数 D.最小正周期为2π

的偶函数

3已知,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）

A.2

2

a b > B. 1b a

< C.1lg()lg

a b a b ->- D. 33a b

--< 4. 给出如下四个命题： ① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；

②命题“若122,->>b

a

b a 则”的否命题为“若a b ≤，则221a b

≤-”;

③ “?x ∈R ，112≥+x ”的否定是 “?x ∈R ，2

x ＋1<1”;

④ 在ABC ?中，“A B >”是“B A cos cos <”的充要条件． 其中不正确．．．

的命题的个数是 （ ）

A ．4

B ．3

C ． 2

D ． 1

5．函数x e x f x

1

)(-

=的零点所在的区间是（ ） A.)2

1

,

0( B.)1,21( C.)2

3,1( D.)2,23

(

6．函数1)(3

++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）

A.0≥a

B.0>a

C.0≤a

D.0

7. 设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若1

4

3)2(,1)1(+-=>a a f f ，则实数a 的取值范围是（ ）

A.43<

a B.143≠a a 或 D.4

31<<-a 8．函数()sin()f x A x ω?=+（其中0,||2

A π

?><

）的图象如图所示，为了得到()f x 的

图像，则只要将()sin 2g x x =的图像 （ ） A ．向左平移

6π个单位长度 B ．向右平移6π

个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度 D ．向右平移3

π

个单位长度

9．函数)(x f 与)2(+x f 均为偶函数，且当[]2,0∈x 时，)(x f 是减函数，设),2

1

(log 8

f a = )5.7(f b =，)5(-=f c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）

A ．c b a >>

B ．b c a >>

C ．c a b >>

D ．b a c >>

10、若关于x 的方程022)21(2

=--??

?

???-a x 有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[)∞+-,2

B ．(]2,1-

C ．(]1,2-

D ．[)2,1-

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11.已知=-∈=+

απ

απ

αtan )0,2

(,31)2sin(，则_______. 12.已知曲线12

-=x y 在0x x =处的切线与曲线3

1x y -=在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为_______.

13.已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈?a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈?a ax x R x 使”， 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是_______.

14.若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x

且的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是 ＿＿＿

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分） 设函数1sin 2

1

cos 23)(++=

x x x f . （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调增区间；

第8题图

（Ⅱ）当]6

5,3[π

π-∈x 时，求)(x f 的值域。

16．（本小题满分12分） 设函数)0(sin sin cos 2

cos sin 2)(2π???

<<-?+?=x x x x f 在π=x 处取最小值.

（Ⅰ）求?的值; （Ⅱ）若71)(=αf ，1413)(=-βαf ，且2

0π

αβ<<<，求)(βf 的值.

17.（本小题满分14分）

已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，x

x f )2

1

()(=. （Ⅰ）求)1(-f 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的值域A ； （Ⅲ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ?，求实数a 的取值

范围.

18.（本题满分14分）

设3

2

()f x ax bx cx =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图像开口向下且经过 两点(2,0)-，2(,0)3

． （Ⅰ）求)(x f 的解析式；

（Ⅱ）方程0)(=+p x f 有唯一实数解，求p 的取值范围;

（Ⅲ）若对[-3,3]x ∈都有2

()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的奇函数，当0>x 时，x ax x f ln )(+=，其中

R a ∈．

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；

（Ⅱ）若函数)(x f 在区间)1 , (--∞上单调递减，求a 的取值范围；

（Ⅲ）试证明对R a ∈?，存在) , 1(e ∈ξ，使1

)

1()()(/--=e f e f f ξ．

20．（本小题满分14分）

已知函数)0(ln )(2

>+=x x ax x f ．

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）当0=a 时，设斜率为k 的直线与曲线)(x f y =交于),(11y x A 、),(22y x B )(21x x <

两点，求证：211

x k

x <<

．

数学（文）答案

一、选择题：（共10小题，每小题5分，共计50分）

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选 项

C

A

D

D

B

D

D

A

A

D

二、填空题：（共4小题，每小题5分，共计20分）

11．22- 12．3

2

000-==x x 或 13．}12|{=-≤a a a 或 14．)2

1,0(

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

设函数1sin 2

1

cos 23)(++=

x x x f . （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （Ⅱ）当]6

5,3[π

π-

∈x 时，求)(x f 的值域。

解：（Ⅰ） 1sin 21cos 23)(++=

x x x f 1)3

s i n (++=π

x 故)(x f 的最小正周期为π2

由ππ

π

ππ

k x k 22

3

22

+≤

+

≤+-

得)(26

265Z k k x k ∈+≤≤+-

ππ

ππ )(x f 的单调增区间为)](26

,265[Z k k k ∈++-ππ

ππ ……6分

（Ⅱ）由（1）知1)3

sin()(++=π

x x f

又当 ]67,

0[3

]65,

3[ππ

π

π∈+-

∈x x 时， 故 1)3

sin(21≤+≤-π

x 从而 )(x f 的值域为]2,2

1

[ ……12分 16．（本小题满分12分） 设函数)0(sin sin cos 2

cos sin 2)(2

π???

<<-?+?=x x x x f 在π=x 处取最小值.

（Ⅰ）求?.的值; （Ⅱ）若71)(=

αf ，1413)(=-βαf ，且2

0π

αβ<<<，求)(βf 的值。

解: （Ⅰ）1cos ()2sin cos sin sin 2

f x x x x ?

?+=?

+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+

因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为

0?π<<,所以2

π

?=

.所以()sin()cos 2

f x x x π

=+

= ……5分 （Ⅱ）由条件可知：0,14

13

)cos(,71cos 且=-=βαα<β<α<2π,

由1cos ,072παα=<<，得2

2

143sin 1cos 177αα??=-=-= ???

由02

π

αβ<<<

，得02

π

αβ<-<

又∵()13

cos 14αβ-=，∴()()2

21333sin 1cos 11414αβαβ??-=--=-= ?

??

由()βααβ=--得：

)(βf =()cos cos βααβ=--????()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-

11343331

7147142

=?+?= ……12分 17.（本小题满分14分）

已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，x

x f )2

1

()(=. （Ⅰ）求)1(-f 的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的值域A ； （Ⅲ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ?，求实数a 的取值

范围.

解：（I ） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数

)1()1(f f =-∴ ...1分

又 0≥x 时，x

x f )2

1()(=

2

1

)1(=

∴f ...2分

2

1

)1(=

-f ...3分 （II ）由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..5分

当0≥x 时，1)2

1(0≤

)1()(2

∴定义域}0)1({2

≥+-+-=a x a x x B ....9分 方法一 ：由0)1(2

≥+-+-a x a x 得

0)1(2≤---a x a x ，

即 0)1)((≤+-x a x ....11分 B A ?

],,1[a B -=∴且1≥a ...13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a .....14分 方法二：设a x a x x h ---=)1()(2

B A ?当且仅当?

?

?≤≤0)1(0

)0(h h ...11分 即?

?

?≤---≤-0)1(10

a a a ..13分

∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ......14分

18.（本题满分14分）

设3

2

()f x ax bx cx =++的极小值为8-，其导函数()y f x '=的图像开口向下且经过 两点(2,0)-，2

(,0)3

． （Ⅰ）求)(x f 的解析式；

（Ⅱ）方程0)(=+p x f 有唯一实数解，求p 的取值范围;

（Ⅲ）若对[-3,3]x ∈都有2

()14f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）2

'()32f x ax bx c =++ ，且'()y f x =的图象过点

2(2,0),(,0)3-???-==????

???

?

=?--=+-∴a c a b a c a

b 42332232322 …………2分 ∴3

2

()24f x ax ax ax =+-，

由图象可知函数()y f x =在(,2)-∞-上单调递减，

在 2(2,)3-上单调递增，在),3

2(+∞上单调递减，（不说明单调区间应扣分）

∴()(2)f x f =-极小值，即32

(2)2(2)4(2)8a a a -+---=-，

解得1a =-

∴3

2

()24f x x x x =--+ …………4分 （Ⅱ） )(x f p =-,又因为()(2)f x f =-极小值=-8．

2740

)32()(=

=∴f x f 极大值 由图像知,82740-<->-p p 或,即 827

40

>-

分

（Ⅲ）要使对[3,3]x ∈-都有2

()14f x m m ≥-成立，

只需2

min ()14f x m m ≥-

由（1）可知函数()y f x =在)2,3(--上单调递减，在2

(2,)3

-上单调递增， 在)3,3

2(上单调递减，且(2)8f -=-，32

(3)32343338f =--?+?=-<-

33)3()(m in -==∴f x f …………12分

∴11314332

≤≤?-≥-m m m ．

故所求的实数m 的取值范围为}.113|{≤≤m m …………14分 19．（本小题满分14分）

已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的奇函数，当0>x 时，x ax x f ln )(+=，其中

R a ∈．

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；

（Ⅱ）若函数)(x f 在区间)1 , (--∞上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅲ）试证明对R a ∈?，存在) , 1(e ∈ξ，使1

)

1()()(/--=e f e f f ξ．

解：（Ⅰ）0)0(=f ……1分，

0

所以???

??<--=>+=0 , )ln(0 , 00 , ln )(x x ax x x x ax x f

……4分

（Ⅱ）函数)(x f 是奇函数，则)(x f 在区间)1 , (--∞上单调递减，当且仅当)(x f 在

区间) , 1(∞+上单调递减……6分， 当0>x 时，x ax x f ln )(+=，x

a x f 1

)(/

+=……7分， 由01)(/

<+

=x a x f 得x

a 1

-<……8分， x

1

-

在区间) , 1(∞+的取值范围为)0 , 1(-……9分， 所以a 的取值范围为]1 , (--∞……10分

⑶

1

1

1)1(1)1()(-+

=--+=--e a e a ae e f e f ……11分， 解1

11)(/

-+=+=e a a f ξξ……12分，

得1-=e ξ……13分，

因为e e <-<11，所以1-=e ξ为所求……14分

20．（本小题满分14分）

已知函数)0(ln )(2

>+=x x ax x f ．

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）当0=a 时，设斜率为k 的直线与曲线)(x f y =交于),(11y x A 、),(22y x B )(21x x <

两点，求证：211

x k

x <<

． 解：（Ⅰ）)0(1

212)('2>+=

+=x x

ax x ax x f ， 1分 当0≥a 时，'()0f x >，()f x 在),0(+∞上是增函数；

当0

x 221

--=（取正根）

， 在区间)221,0(a a --

内，)(,0)('x f x f >是增函数；在区间),221

(+∞--a a

内，,0)('

综上，当0≥a 时，)(x f 的增区间为),0(+∞，没有减区间； 当0

a a ，增区间是)221

,0(a a

--． 8分 （Ⅱ）当0=a 时，1

212ln ln 1

),

0(ln )(x x x x k x x x f --=>=， 今证明 21

21

21ln ln x x x x x x <--<

，

先证明 0)()ln (ln 12121<---x x x x x 设 )0(),()ln (ln )(1111>>---=x x x x x x x x h

则 1)('1

-=

x

x x h ， ∵ 01>>x x ，∴0)('

∵ 12x x >，∴0)()(12=

∴1

21

21ln ln x x x x x --<

， 13分

同理可证

21

21

2ln ln x x x x x <--． 14分