矩阵函数的性质及其应用

Matrix function Calculus and its application

彭雪娇欧傅群

岭南师范学院数学与计算科学学院，湛江524048

摘要：矩阵函数理论是矩阵理论中的一个重要组成部分。矩阵函数把对矩阵的研究带入了分析领域，同时也解决了数学领域及工程技术等其他领域的计算难题。本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事倍功半的作用。在文章的末尾会简述矩阵函数的应用。

Abstract:Matrix function to the field of research into the analysis of the matrix,but also solved the calculation in the field of mathematics and engineering technology,and other problems.In this paper,from two aspects of polynomial and exponential matrix function to two types of definitions are given,starting from the definition to some properties and several cases of matrix function,the application of minimal polynomial to undertake choosing according to appropriate in the calculation,have the effect of the wasted effort.At the end of the article will briefly describes the application of matrix function.

关键词：矩阵函数;微分方程;Jordan标准型

Keywords:matrix function;the differential equation; Jordan canonical form

1 引言

矩阵函数定义的引出把矩阵理论延伸到分析的领域，从而使得对矩阵的研究又提升了一个新的层次，增加了新的手段，同时也使矩阵理论在数学，物理，工程技术等许多领域有了新的应用。

为了讨论方便，给出以下定义和引理：

定义1.1设n n A C ?∈的最小多项式为11()()...()s m m s ?λλλλλ=--，则称集合

{s}i i λ∣ι=1,2,...,（，m ）

为A 的谱，记为A σ.

定义1.2 设n n A C ?∈的最小多项式为11()()...()s m m s ?λλλλλ=--，称

(){()0,1,...1;1,2,...}i k i i i f m i s λκ∣=-=

为函数()f z 在A 上的的谱值。记为()A f σ.

定义1.3 设n k {}n A C ?∈是一个矩阵序列，如果由它的部分和矩阵

123n ...n S A A A A =++++

构成的矩阵序列{}n S 收敛，则称矩阵级数

123n 1

......k

k A

A A A A +∞

==+++++∑

收敛，否则成1

k k A ∞

=∑发散。

定义1.4 设n n A C ?∈，,0,1,2...,3,k a C k ∈=称

230123a +a ......k k I A a A a A a A +++++

为矩阵A 的幂级数，记为0a k k k A +∞

=∑.

引理1 设()p z 和()q z 是两个复系数的多项式，则()=q()p A A 的充要条件是

()p z 和()q z 在A 的谱上有相同的值.

引理2 设123,,,...,n λλλλ是s 个互不相同的复数，123,,,...,s m m m m 是s 个正整数，那么对任意给定的m 个复数

,0,1,2,...,1,1,2,...,,ij j f i m j s =-=

必存在唯一的次数不超过m-1的多项式()p z ，使得

()(),0,1,2,...,11,2,...,.r j ij j p f r m j s λ==-=

2 矩阵函数的相关概念及其性质

2.1 矩阵函数的定义

正如微积分学的幂级数理论一样，在矩阵分析中通常用矩阵幂级数表示矩阵函数。下面给出的是利用幂级数定义矩阵函数。

定义2.1.1设()f z 是复变量的解析函数， 0()k k k f z a z +∞

==∑的收敛半径为R ，

如果矩阵n n A C ?∈的谱半径()

A R ρ，则称

()k k k f A a A +∞

==∑

为A 的矩阵函数。

利用前言给出的两个引理，现在我们可以给出矩阵函数的多项式定义。定义2.1.2 设()f z 在A 的谱上有定义，我们定义

()=p()f A A ，

其中()p z 是一个在A 的谱上与()f z 有相同取值的复系数多项式。

2.2 矩阵函数的性质

性质1 设n n A C ?∈，()()().f A A f A A Af A =和可交换，即证明设矩阵多项式为01()...,.n n f A a I a A a A =++于是

01()(...,)n n f A A a I a A a A A =++

0101...,(...,)().

n n n

n a A a A a A A a I a A a A Af A +=++=++=

证毕。

性质2 函数和（或差）的矩阵等于矩阵函数的和（或差），即

()()()()f g A f A g A ±=±。

性质3 函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即

()()()()fg A f A g A =。

性质4 若有可逆矩阵T,使1B T AT -=,则1()()f B T f A T -=。

性质5 设A 是对称矩阵，函数()f z 在()A σ上有定义，则()f A 是对称矩阵。性质6 设A 是实对称矩阵，实函数()f z 在()A σ上有定义，且对A 的任一特

征值λ，有()

0f λ，则()f A 是正定矩阵。

证明由()f z 是实函数，()f A 是实对称矩阵，又因为()f A 的特征值为

()

0(0,1,...,)i f i n λ=，其中(0,1,...,)i i n λ=是A 的特征值，所以()f A 是正定矩阵。

证毕。

下面给出一些常用的矩阵函数的基本性质：

2.3 常用矩阵函数的性质

在这里主要是介绍以下几种常用的矩阵函数，

01,,!

n n k e A A C k +∞

?==∈∑

20(1)cos ,,(2)!k k

n n k A A A C k +∞

?=-=∈∑

210(1)sin ,,(21)!

k n n k A A A C k +∞

+?=-=∈+∑

分别称为矩阵A 的指数函数，矩阵A 的正弦函数，矩阵A 的余弦函数。

定理2.3.1 对任意n n A C ?∈，

222(1)sin()sin ,cos()cos ;

(2)cos sin ,cos (),sin ();

22(3)cos sin ;(4);

iA iA iA iA iA A iE A A A A A e A i A A e e A e e A A E e e π--+-=--==+=+=-+==

证明（1）按照sin A 和cos A 的定义直接验证即可。（2）根据At e 的定义，可得

000(1)(1)!(2)!(21)!

k k k

k k k k k k i e A A i A k k k +∞

+∞+∞===--==++∑∑∑

c o s s i n A i A =+

同理，可得

cos sin iA e A i A -=-.

从而有

cos (),sin ()22

iA iA iA iA A e e A e e --=

+=-成立。证毕。

这个性质和普通的指数函数和三角函数性质相同。但由于矩阵的乘法不

满足交换律，因此有一些一般函数满足的性质，对于矩阵函数不一定满足。

例如：若AB BA ≠，则上述公式可能不成立。如

11110

0010010.,;100001001011,,;110111211211.

A B A B A B B A

A B B A A B A B AB BA e e e e e e e e e

e e e e e e e e e e e --+--+????????===≠=

? ? ? ???????????

+-????=== ?

? ?-+??????????=≠== ? ?

????≠≠

(3),(4)在此不作证明。

定理2.3.2 设,n n A B C ?∈,若AB BA =,则有

(1);

(2)sin()sin cos cos sin ;(3)cos()cos cos sin sin ;

A B B A A B e e e e A B A B A B A B A B A B ++==+=++=+

证明（1）根据A e 的定义，有

00222011()()

()()...

()!

A B

k k

k k k A B k e e A B k k I A B A AB BA B I A B A B A B e k +∞

+∞==+∞

+===+++++++=+++++=+=∑∑∑

（2）由定理2.3.1，可得

()()11sin()()()2!2!i A B i A B iA iB iA iB A B e e e e e e +-+--+=

-=- 1111()()()()2!222!

s i n c o s c o s s i n

i A i A i B i B i A i A i B

i B

e e e e e e e

e A B A B ----=-?+++?+=+

同理，可以证明（3）。证毕。

根据定理2.3.2，很容易得到下面结论：

推论2.3.1 22cos2cos sin ;sin 2sin cos .A A A A A B =-=

由于很多矩阵函数都是利用级数的形式来定义的，在实际应用时非常不方便，因此更希望将()f A 所表示的矩阵具体计算出来，下面主要介绍矩阵函数的中常用的计算方法。

3 矩阵函数的计算

3.１利用Hamilton-Cayley 定理计算矩阵函数

利用Hamilton-Cayley 定理计算矩阵函数基本思想是：利用Hamilton-Cayley 定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数，从而求出矩阵函数。

定理１（Hamilton-Cayley 定理）设n n A C ?∈()d e t (),f I A

λ=-，则

()0f A =

例3.1 已知四阶矩阵的特征值分别为π、-π、0、0，求sin A 、cos A .

解：由于2422

det()()()I A λλλπλπλπλ-=-+=-,根据Hamilton-Cayley

定理可得4220A A π-=,从而有

2222222...k k k A A A ππ--===

212223...(2,3,...)k K k A A A A k π+-==== 因此，

0(1)sin (21)!k k k A A k +∞

+=-=+∑

321

23223

23213

32333

333

321(1)3!(21)!1(1)()3!(21)!11(1)()3!(21)!111

(sin )3!3!11(sin )k k k k

k k k

k k A A A k A A A k A A A k A A A A A A A πππππππππππ

+∞+=+∞-=+∞+=-=-++-=-++-=-++=-+-+=+-=-∑∑∑

22202(1)(1)cos (2)!2!(2)!k k k k

k k A A A I A

k k +∞

+∞==--==-+∑∑

2222

222

221(1)2!(2)!111(cos 1)2!2!12(cos 1)k k k I A A

k I A A

I A I A πππππππ

+∞-=-=-+=-+-+=+-=-∑

3.2 利用相似对角化计算矩阵函数

设n n A C ?∈与对角矩阵相似，即存在矩阵n n P C ?∈，使得

112(,,...,)n P AP diag λλλ-==Λ

则有

12 ()()(,,...,)((),(),...,() )k

k k k k k k

k k k k n k k k n f A a A P a P diag a a a P d P f P iag f f P λλλλλλ+∞

+∞

-==+∞+∞+∞

-===-====Λ∑∑∑∑∑

同理，可得

112()((), (),.. .,())n f At diag f t f t f t P P λλλ-=。

例3.2 已知

233453442A --?? ?=-- ? ?--??

，求At e 、sin A . 解：由于det()(1)(2)(2)I A λλλλ-=--+，容易求得存在

1101011111,110011111P P --????

? ?==- ? ?

? ?-????

使得

1(1,2,2)

P AP diag -=-

因此有

212t

At t

t e e P e P e --?? ?=

? ??

2222222222222t

t t t t t t t t t t t t t t t

t e e e e e e e e e e e e e e e e e ---------??

--+

=-++--+ ? ?-+-?

sin1sin sin 2sin 2A P P

-?? ?= ? ?-?? sin 2sin1sin 2sin1sin 22sin 2sin12sin 2sin1sin 22sin 22sin 2sin 2-+--??

?=-+-- ? ?--??.

这种方法的前提是矩阵A 能对角化，但事实上有许多矩阵是不能对角化的。由于任意矩阵一定可以通过相似变换成一个Jordan 标准型，因此下面介绍利用Jordan 标准型来计算矩阵函数的方法。

3.3 利用Jordan 标准型来计算矩阵函数

定义3.3.1 形如

1i i

i i i

i n n

J λλλ??? ?

?= ? ??

? （1.1）的方阵称i n 为阶Jordan 块，i C λ∈。

定义3.3.2 设12s ,,...,J J J 为形如（1.1）的Jordan 块，则称块对角矩阵

s J J J ??

? ??

(1,.2) 为Jordan 标准型。利用Jordan 标准型可得到

1110

01 ()()()(

)()()k

k k

k k k k k k k k k k

k k k k k s k s f At a At a PJP t P a J P P P P t P a J t a J t f J t f J t --+∞+∞+∞

--===+∞=+∞

=??

? ?=

? ? ? ??

???

===? ???

∑∑∑∑

∑

式中

1011010()()()() ) ())((r i i i

i i r i i i i i r r

b b t b t f b b t b J t λλλλλλ--???

? ???

其中

()

()!k i k i f t b k λλ=

例3.3 已知200 111113A ?? ?= ? ?

-??求At e 、sin A .

解：可以求得存在

1011010100,111101011P P -????

? ?==- ? ?

? ?--????

使得

12222P AP J -??

== ?

???

因此

(2)(2)()(2)(2)(2)0 (2)(2)(2)(2)

(2)(2)(2)(2)f f f A P f P

f f f f f f f f f f -'''''''??

?= ? ???

=- ? ?-+??

从而有

222

200sin 2000,sin cos 2sin 2cos 2cos 22cos 2cos 2sin 2cos 2A e e e e A e e e ???? ? ?==- ? ?

? ?--+???

这种方法需要计算矩阵A 的Jordan 标准型及相似变换矩阵P ，计算量是比较大的。

下面介绍一种计算量比较小的待定系数法。

3.4 利用待定系数法求矩阵函数

设n 阶方阵n n

A C ?∈其特征多项式为

12()det()()()...()s

r r r s I A φλλλλλλλλ=-=---

式中：12...s λλλλ-为A 的s 个互异特征值;i r

为特征值i λ的重数，且有

12...s r r r n +++=。

为计算矩阵函数0

()()k

k k f At a At +∞

==∑，记

()()k

k k f t a t λλ+∞

==∑ ，则()f t λ可表示为

()(,)()(,)f t q t r t λλφλλ=+

式中：(,)q t λ为一个含参数t 的λ的幂级数；(,)r t λ为含参数t 的关于λ的次数不超过n-1的多项式，即(,)r t λ可表示为

1110(,)()...()()n n r t a t a t a t λλλ--=+++

由Hamilton-Cayley 定理可知，()0A φ=，因此

1110()(,)()...()()n n f A r A t a t A a t A a t I --==+++

可见，只需要计算出系数110(),...,(),()n a t a t a t -即可得到()f A .

对于A 的i r 重特征值i λ，有

(1)()()...()0i

r i i i φλφλφλ-='===

从而

()()()(1,2,...,;1,2,...,1)k k k i i i r t f t i s k r λλ===-

这样共得到12...s r r r n +++=个方程，从中求解得到系数110(),...,(),()n a t a t a t -。

例3.4 已知

200111113A ?? ?= ? ?-??，求At e 、sin A 。解：由于2

det()(2)I A λλ-=-.假设

2210()r a a a λλλ=++

由

22102212224242t

t t a a a e a a te

a t e ?++=?+=??=?

求解得到

22220222122222212t t t t t t a e te t e a te t e a t e ?

?=-+?=-???=?

因此

222222*********

At t

t t t t t

t t e e a A a A a I te e te te te te e te ??

?=++=- ? ?-+?

? 由

21021242sin 2

4cos 22sin 2a a a a a a ++=??

+=??=-?

求解得到

0122cos 2sin 22sin 2cos 21sin 22a a a ?

?=--?

=+???=?

因此

2210sin 200sin cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2A a A a A a I ??

=++=- ?

?-+??。

这一章主要介绍了四种求矩阵函数的方法，对不同的矩阵可以选择一种方法使得计算更简。一般来说，当一个矩阵Jordan 标准型分解容易计算时用第三种方法求矩阵函数往往方便些，当一个矩阵可以对角化时用第二种方法简便些。否则用其他两种方法好些。

4 矩阵函数的应用

4.1 矩阵函数在微分方程组中的应用

在线性控制系统中，常常涉及求解线性方程组的问题。矩阵函数在其中有着重要的应用。

4.1.1 应用矩阵函数讨论一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题

定理4.1.1 一阶线性常系数微分方程组的定解问题

12 ((0)((0),(0),1) (.2)..,(0))T n dx

Ax dt

x x x x ?=???=?

有唯一解

(0)

At x e x =? 证明设12()((),(),...,())T

n x t x t x t x t =是方程（1）的解。将()(1,2,...,)i x t i n =在

0t =处展开成幂级数。21

()(0)(0)(0)...2!

i i i i x t x x t x t =+'+

"+ 则有()(0)x t x = 21

(0)(0)...2!

x t x t +'+

"+,其中12(0)((0),(0),...,(0))T

n x x x x '='''， 12(0)((0),(0),...,(0)),T

n x x x x ''=''''''但由 dx Ax dt = ，逐步求导可得 2322223

23;()(),d x dx d x d dx A A x A x A A Ax A x dt dt dt dt dt

======因而

(0)(0),(0)(0),(0)(0),

x Ax x A x x A x '=''='''=所以

11()(0)(0)(0)()()(0)(0)2!

2!t x x t x Ax t A x t E At At x e x λ??==++

++++=???

由此可见，微分方程组（1）在给定初始条件（2）下的解必定具有(0)

At x e x =?的

形式。

下面我们来证明它确实是解问题（1）和(2)的解。事实上，

(0)

((0))()(0)(0)At At At At dx d d dx e x e x e Ae Ax dt dt dt dt ==+==

又当t=0时，0

(0)(0)(0)(0),

x e x E x x =?=?= 因此这个解是满足初始条件的。

推论4.1.1 定解问题00 ) ( t t dx

Ax dt

x x t =?=?

???=?

的唯一解是0()0()()At t x t e x t -=?. 例4.1.1 解初值问题0 ( ) dx

Ax t dt x x ?=???(0)=?

其中

01261103,11141A x --???? ? ?

=-= ? ? ? ?--????. 解

21261001301011400(1)I A λλλλλλ+-???? ? ?

-=-→- ? ?

? ?--????

A 的初等因子是

1,(1)λλ--

则A 的Jordan 标准型是

100011001A J ?? ?

~= ?

???

可以求出满秩矩阵

1122102110,112011113P P ---???? ? ?==- ? ?

? ?--???? 使得

1100011001PAP -??

= ?

??? 1100(12)260

(1)300

(13)t

t t t

At Jt t t t

t t t t t

t e t e te te e Pe P P e te P te t e te e te te t e --????

?===-- ? ? ? ?--+?

0(12)()(1)(1)t At t t t e x t e x t e t e ??

+ ?

==+ ?

?+??

4.1.2 应用矩阵函数讨论一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题

现在我们考虑一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题

00()()

t t dx

Ax F t dt x x t =?=+????=? 这里12()((),(),...,())T

n F t F t F t F t =是已知向量函数。这个问题理论上的详细推导是很繁琐且前面有很多相似之处，所以不详细写出。只就问题的解，做形式上的推导，目的是为了让读者知道此问题解的到处过程。

改写方程为dx Ax F dt -=并以At

e -左乘方程两边，即得()()At At dx

e A e F t dt

---=即()()At At d e x e F t dt --=在[]0,t t 上进行积分，可得 000()()t At At At t e x e x t e F d ττ----=?

即

()()0()()t

A t t A t t x e x t e F d τττ

--=+?.

例4.1.2 求初值问题

0()()(0)

Ax t u t dt x x ?=+???=?

其中01261103,()0,1.1141t t e A u t x e ??---???? ? ???=-== ? ??? ? ???--??????

解 0

0()()t

At At At t x t e x e e u d ττ

-=+?

At e 已经在例4.3.1中计算出，故

()

(122)2()6()()(1)3()()()(133)t t t A t t t t t t t t e

t e t e e t e t e t e t e t e t e τττττττττ

τττττττττ----------??-+---

?=---+- ? ?----+-?

()18()()4()4()1A t t t e u e t t τττττ--+-?? ?

=- ?

?-+??

2()20

24()22t

A t t t t e u d e t t t τττ-??

- ?= ? ?+??

于是 .

222(14)()(12)(122)t t t t t e x t t t e t t e ??

++ ?=++ ?

?++?? 4.2 矩阵函数在求解矩阵方程中时的应用

我们无论是在数学领域的理论推导中，还是在工程技术领域中，经常会遇到求解矩阵方程非问题。在这里我们讨论了一下矩阵函数在矩阵方程的应用。矩阵代数方程

形如AX=BX=C(1)的矩阵代数方程的求解。其中m m m m A B ??与m m C ?是已知数字矩阵，m m X ?是未知数字矩阵。

定理4.2.1 方程（1）有唯一解的充分必要条件是A 与B 满足()i A λ+

(2)(0,1,2,...,;0,1,...,)()0,j i n j n B λ==≠ 其中()

A λ表示A 的第i 个特征值，

()

j B λ表示第j 个特征值。

推论 4.2.1 矩阵代数方程AX=BX=0(3)有非零解的充分必要条件是对某一

个i 与j 有 (2)(0,1,2,...,();0,1,..(.0)),i j i n A B j n λλ+===.

推论4.2.1 若 Re ()

0,(0,1,2,...,)i A i n λ=,则AX=BX=C 有唯一解。

证明因为A 的所有特征值的实部全小于零，所以A 的任何两个特征值之和不会等于零，根据定理4.2.1 可知方程（1）有唯一解。

通过上面的讨论，我们已经知道方程（3）及其特例的解的存在，唯一性的判别方法，下面我们来具体讨论它的解。

定理4.2.2 若表达式

0At Bt X e ce dt ∞

=-? 存在，则它是方程AX=BX=C 的唯一解。

证明考虑方程,(0)dY AY YB Y C dt

=+=它的解为 ()At Bt Y t e ce = 设 lim ()0t Y t →∞

=,对AX=BX=C 两边从0到

∞的积分，便得 0

0000()()(0)()()dY

dt A Y t dt B Y t dt Y A Y t dt B Y t dt

dt ∞

∞∞∞∞=+-=+?

????

即

()()C A Y t dt B Y t dt

∞∞

-=+??,

令

()X Y t dt

∞

=?,上式变为AX=BX=C ，这表明0At Bt

X e ce dt ∞

=-?是满足方程AX=BX=C

的唯一解。

4.3 矩阵函数在现代控制理论中的应用

在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。随着

科技的发展，自动控制理论跨入了一个新的阶段--现代控制理论。它主要研究具有高性能、高精度的多变量便参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。

我们这里只讨论矩阵函数在线性系统的可控性的应用。

一般来说，如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意初态达到原点，则系统是可控的。反之，为不可控。

下面我们只就连续型的线性定常系统进行讨论。这系统

()

()()()()()dx t Ax t Bu t d y t Cx t Du t τ?=+???=+?

其中A,B,C,D 均为常数矩阵。系统矩阵A 是n ×n 矩阵，输入矩阵B 是n ×md 的矩阵，输出矩阵C 是p ×n 的，又矩阵D 是 p ×m 的。状态向量x(t)是n 维列向量，输入向量u(t)输出向量y(t)分别是m 维，P 维列向量。这个系统简称为系统（A,B,C ）.

定义4.3.1 对于一个线性定常系统，若在某个有限时间区

[]

10,t 内存在

着输入

()1(0)

t u t t ≤≤ ,能使系统从任意初始状态

0(0)x x =转移到1()0

x t =,则

称此状态

x 是可控的；若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是完全可控的。

定理4.3.1 系统（A,B,C ）完全能控的充要条件是n 阶对称矩阵

(0,)T

t A T A c W t e BB e d τττ

--=?

为非奇异矩阵。

参考文献

[1]张跃辉.矩阵理论与应用[M].北京：科学出版社.2011

[2]刘慧，袁文燕。姜冬青.矩阵论及应用[M].北京：化学工业出版社.2003

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