高一数学下学期期末测试卷

高一下学期数学期末测试

一、选择题（题型注释）

1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为

A ．45，75，15

B ．45，45，45

C ．30，90，15

D ．

45，60，30

3．已知

a 与b

均为单位向量，它们的夹角为60?，那么

|3|a b - 等于

A B D ．4

4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

A ．62

B ．63

C ．64

D ．65

5．在ABC ?中，有如下四个命题：①=-；②AB BC CA ++=

；③若0)()(=-?+，则ABC ?为等腰三角形；④若0>?，则ABC ?为锐角三角形．其中正确的命题序号是 A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②③④ 6．将函数sin 2y x =的图象沿x 轴方向左平移6

π

个单位， 则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π

=+ B ．sin()6y x π

=- C ．sin(2)3y x π=+

D ．sin(2)3

y x π

=- 7．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；

②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”； ③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”

， 其中属于互斥事件的有（ ）

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

8．200

辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约( )

A ．30辆

B ．40辆

C ．60辆

D ．80辆 9．函数)cos[2()]y x x ππ-+是

A.

周期为

4π的奇函数 B.周期为4π

的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2

π

的偶函数

10．如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL 后面的“条件”应为

A ．i>10

B ．i<8

C ．i<=9

D ．i<9

11．下列各式中，值为

1

2

的是 A ．sin15cos15

B ．2

2

cos

sin 12

12

π

π

-

C ．6

cos 2121π+ D ．2tan 22.51tan 22.5-

12．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离

不大于1的概率为 A ．

16π B ．8π C ．4π D ．2

π

13．已知向量

a

=（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），|b a -｜＝5

．

（Ⅰ）求cos （α－β）的值； （Ⅱ）若0＜α＜2π，－2

π

＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α的值．

二、填空题（题型注释）

14．已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 15．已知x 与y 之间的一组数据为

则y 与x 的回归直线方程a bx y +=

必过定点_____

16．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10

xy =

17．已知tan 2α＝2，则αtan 的值为_________；6sin cos 3sin 2cos αα

αα

+-的值为____________

三、解答题（题型注释）

18．已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，

(1) ka b + 与3a b - 垂直？(2) ka b + 与3a b -

平行？平行时它们是同向还是反向？

19．一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3

个. （Ⅰ）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；

（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.

20．(满分14

分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，

60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；

(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

21．已知,cos )a x m x =+ ，(cos ,cos )b x m x =-+ , 且b a x f

?=)(.

(1) 求函数()f x 的解析式;

(2) 当,63x ππ??

∈-

???

?时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：由于P 点是第三象限角，0cos ,0tan <<∴αα，α∴在第二象限. 考点：三角函数在各个象限的符号. 2．D 【解析】

试题分析：高一年级应抽取的人数为452700

900

135=?

人，高二年级应抽取的人数为602700

1200

135=?

人， 高三年级应抽取的人数为302700

600

135=?人. 考点：分层抽样的特点. 3．A 【解析】

试题分析：3a b -=

===

考点：向量的模. 4．C 【解析】

试题分析：甲的得分分别为41,39,37,34,28,26,23,15,13；乙的得分为

47,45,38,37,36,33,32,25,24，甲的中位数是28，乙的中位数是36，中位数之和为64.

考点：茎叶图和中位数的概念. 5．C 【解析】

试题分析：①

CB

AC AB =-错；②

0=++CA BC AB 对；③

()()02

2

=-=-?+，

AB AC ∴=

，对；④0>?AB AC ，A ∴为锐角，但不能判断三角形的形状.

考点：平面向量的加法、减法和数量积的概念. 6．C 【解析】

试题分析：将函数sin 2y x =的图象沿x 轴方向左平移6

π

个单位，则平移后的图象所对应函数的解析式是

)32sin(262sin ππ+=??? ?

?

+=x x y .

考点：正弦型函数的图像平移. 7．B 【解析】

试题分析：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故不是互斥事件；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”不会同时发生；④“甲射中，但乙未射中目标”发生，则甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”发生，故不是互斥事件，属于互斥事件的有2个. 考点：互斥事件的理解. 8．D 【解析】

试题分析：时速在[60，70)的频率为4.01004.0=?，故汽车大约有804.0200=?辆. 考点：频率分布直方图的应用. 9．C 【解析】

试题分析：函数)cos[2()]2cos 242

y x x x x x ππ=-+==-

，为奇函数，周期

2

42ππ==

T . 考点：三角函数的诱导公式、奇偶性、周期性. 10．D 【解析】

试题分析：由于91011990??=；当i 的值由9变为8时，条件成立，因此选9

：

4

1

30sin 2115cos 15sin 000==

;

2

2

cos sin cos

12

12

6

π

π

π

-==

;

4

3

216cos 2121+

=+π; 0

2tan 22.5111tan 222.5tan 451tan 22.5222

=??==- .

考点：二倍角的正弦、余弦、正切公式. 12．B 【解析】

试题分析：以直角顶点为圆心，1为半径作圆，与三角形相交部分设为D ，当点在D 内时，到顶点的距离小于等于1，因此该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为

8222

1

412π

π=??=P .

考点：几何概型的概率计算公式. 13．(1)()3

cos 5

αβ-=

;6533sin =α.

【解析】

试题分析：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量数量积的概念，得到三角函数的关系式，然后求解；（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等；（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.

试题解析：解：（Ⅰ） ()()cos sin cos sin a b ααββ==

，，，， ()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--

，．

5

a b -= ，

=

． 即 ()422cos 5

αβ--=

． ()3cos 5

αβ∴-=

． （Ⅱ）∵0,022π

π

αβ<<

-

<<， ∴ 0.αβπ<-<

∵ ()3cos 5αβ-=，∴ ()4

sin .5αβ-=

∵ 5sin 13β=-，∴ 12

cos .13

β=

∴ ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-????

4123533

51351365

??=?+?-=

???． 考点：（1）三角函数给值求值；（2）三角变换的应用. 14．

48,2

3

. 【解析】

试题分析：圆心角23812==

α；由扇形的面积公式得481282

1

=??=S . 考点：扇形的面积公式及圆心角的计算. 15．()4,5.1 【解析】 试题分析：5.143210=+++=

x ,()()44

7531=++-++=a a y . 考点：回归直线过样本点的中心.

16． 【解析】 试题

分析：

()()()()()25

101010111010109,

105

111092

2222=-+-+-+-+-=++++y x y

x

解得812==y x 或，128==y x 或，因此96=xy . 考点:样本数据的平均数和标准差. 17．6

7,34-

. 【解析】 试题

分

析

：

由

倍

角

的

正

切

公

式

得

，

342tan 12tan

2tan 2-=-=αα

α,6sin cos 6sin cos 6tan 17cos 3sin 2cos 3sin 2cos 3tan 26cos αα

αααααααααα

+++===---.

考点：二倍角的正切公式. 18．(1)19=k ;(2)3

1

-=k 【解析】

试题分析：（1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明b a ⊥，则只需证明02121=+=?y y x x b a ；

（2）当b a ,是非坐标形式时，要把b a ,用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明0=?；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.(4)λ=,当

0>λ时，a 和b 方向相同，当0<λ时，a 和b 方向相反.

试题解析：解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+

3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-

（1）

()ka b +⊥ (3)

a b - ，得

()ka b + (3)10a b k k k k -

=--+=-

（2）()//ka b + (3)a b - ，得1

4(3)10(22),3

k k k --=+=-

此时1041

(,)(10,4)333

ka b +=-=-- ，所以方向相反.

考点：(1)平面向量垂直；（2）平面向量共线. 19．(1)52=

P ;25

12=P . 【解析】

试题分析：（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.

试题解析：解（Ⅰ）设黑色球记为B A ,，白色球记为c b a ,,，摸出两球颜色恰好相同，有()B A ,，

()()()c b c a b a ,,,,,即两个黑球或两个白球，共有4种可能情况.基本事件共有

()()()()c A b A a A B A ,,,,,,,，

()()()()()()c b c a b a c B b B a B ,,,,,,,,,,,共有10种情况，故所求事件概率5

2

104==P . （Ⅱ）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故事件包括：

()()()()(),

,,,,,,,,c A b A a A B A A A ()()()()()()()()()()

c a b a a a B a A a c B b B a B B B A B ,,,,,,,,,,,,,,,,,,()()

B b A b ,,,()()()()()()()()c c b c a c B c A c c b b b a b ,,,,,,,,,,,,,,,共有25种情况，颜色不同包括： ()()(),,,,,,c A b A a A ()()()()(),,,,,,,,,,B a A a c B b B a B ()()B b A b ,,,()()B c A c ,,,12种情况

故所求事件的概率25

12=

P . 考点：求随机事件发生的概率.

20．(1)图见解析；（2)%75,71;(3)70

29=

P . 【解析】 试题分析：1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、

组距

频率

，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合

两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；(2)最高矩形的底边的中点的横坐标即是众数，中位数左边和右边的小长方形的面积和相等的；（3）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举.

试题解析：解（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是0．3，频率分布直方图如下图．

(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为1-0．01×10-0．015×10=75﹪ 平均分：45×0．1+55×0．15+65×0．15+75×0．3+85×0．25+95×0．05=71

(Ⅲ) 成绩是70分以上（包括70分）的学生人数为（0．03+0．025+0．005）×10×60=36 所以所求的概率为

70

29

35362314151718=??+?+?

考点：（1）频率分布直方图的认识；(2)求随机事件的概率. 21．(1)22()cos cos f x x x x m +-;max 5

()2

f x ∴=-

,此时6π=x .

【解析】

试题分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确，得到()?ω+=x A y sin 的形式，(2)求解较复杂三角函数的最值时，首先化成()?ω+=x A y sin 形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；(3)利用正弦函数的单调区间，求在??

?

???2,0π的单调性,注意先把ω化为正数,这是容易出错的地方．

试题解析：解: (1) =?=+?-+

()sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x

即22()cos cos f x x x x m =+-

(2) 21cos 2()2

x

f x m +=

-21sin(2)62x m π=++-

由,63x ππ??

∈-????

, 52,666x πππ??∴+∈-????, 1sin(2),162x π??∴+∈-????,

211

422

m ∴-

+-=-, 2m ∴=± max 15

()1422

f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+=, 6x π=.

考点：(1)三角函数的化简；（2)求三角函数的最值.