2008届高三数学高考考前回归复习专题二三角函数平面向量数列

2008届高三数学高考考前回归复习专题二三角函数平面向量数列

（本专题内容来自必修4、必修5）

一、知识归纳

三角部分1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用

“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg +tg tg(+)=

1tg tg αβ

αβαβ

-的变形tg +tg =tg(+)(1)tg tg αβαβαβ-,二倍角公式

22cos2cos sin ααα=-

2212sin 2cos 1αα=-=-的变形用21cos 2cos 2αα+=

, 2

1cos 2sin 2

αα-=等。 3、常用的三角变换

① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件： 如2α=(α+β)+ (α-β) 2β=(α+β)-(α-β)

α=[(α+β)/2]+[( α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[( α-β)/2] 2α=2α/2=(α+β-β)

②函数名称变换： 主要是切化弦、弦化切、正余弦互换、正余切互换。 ③ 公式的活用

主要有公式的正用、逆用、变形用。通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。

注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan450

，-1=tan1350

, = tan600

, =cos600

或 =sin300

,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。

4、三角函数的图像与性质

⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A ≠0, ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x 值，及对应的y 值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx 的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握。

⑶给出图像确定解析式的题型，有时从寻找“五点法”中的第一个零点(-φ/ω.0)作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个零点的位置。

⑷求定义域是研究其他性质首先应要考虑的方面之一，既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，例如题中出现tanx,则一定有x ≠k+(π/2)(k ∈Z),不要遗忘.

⑸求值域离不开三角函数式的的恒等变形，还要熟练掌握形如：sinx ±cosx 、sinx ·cosx 、sin 2x+cos 2x 、sin 3x+cos 3

x 等之间的变换，以及三角公式的正逆用和变形用。

⑹三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解，若对函数利用描点画图，则根据图形的直观性可迅速获解。判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原点的对称性。三角函数最小正周期的求法，主要是通过恒等变形转化为基本三角函数类型或形如y=Asin(ωx+φ)的形式，另外还有图像和定义法。

⑺函数y=Asin(ωx+φ)的图像是中心对称图形。其对称中心是图像与x 轴的交点，同时也是轴对称图形，对称轴是经过图像的波峰顶或波谷底且与x 轴垂直的直线。 5、三角形中，正弦定理:2R=A a sin =B b sin =C c

sin ; 内切圆半径r=c

b a S ABC ++?2；内角和A+B+C=180°；

余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bc A cos ,bc

a c

b A 2cos 222-+=;面积公式：111

sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°等

向量部分1、平面向量的加减法运算，用好平行四边形法则、三角形法则。

2、用向量的方法解决平行和垂直的问题。注意两非零向量的夹角的理解和应用。

3、→

1e 和→

2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→

→

→

+=2211e e a λλ(21,λλ唯一) 特别：. OP ＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件

数列部分1、数列前n 项和S n

与第n 项a a

的关系：

S 1 (n =1)

a n = S n -S n-1 (n ≥2) 2、等差数列的主要性质：

已知{a n },{b n }为等差数列，则：

①{ka n },{a n }+{b n },{ka n +b},(k,b 为常数)等仍成等差数列； ②a n =a m +(n-m)d (m,n ∈N +)； ③2a n =a n-m +a n+m ; ④如果m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q ;

⑤如果S n 为{a n }的前n 项和，则S n ,S 2n –S n, S 3n -S 2n 成等差数列. ⑥在等差数列{a n }中，

若项数为2n,则S 偶-S 奇=nd, S 奇/S 偶 = a n /a n+1 ;

若项数为2n-1,则S 奇=na n , S 偶 =(n-1)a n ,S 2n-1 =(2n-1)a n ,即a n =S 2n-1/2n-1 3、等比数列的主要性质：

已知{a n },{b n }为等比数列，则：

①{ka n },{a n k },{a n b n },(k ≠0,k 为常数)等仍成等比数列； ②a n =a m ·q n-m

(m,n ∈N +)；

③a n 2

=a n-m ·a n+m ; ④如果m+n=p+q ，则a m ·a n =a p ·a q ;

⑤如果S n 为{a n }的前n 项和，则S n ,S 2n –S n, S 3n -S 2n 成等比数列.

⑥在等比数列{a n }中，n 为偶数时，S 偶/S 奇=q,n 为奇数时，(S 奇-a 1)/S 偶 = q. ⑦特别注意等比数列的前n 项和公式及推导方法(错位相减)的应用. na 1 (q=1)

S n = [a 1(1-q n

)]/(1-q)(q ≠1)

4、能用等差、等比数列的定义进行解题。掌握等差、等比数列的通项公式，求和公式的推导方法。（叠加、叠乘法、倒序相加法、错位相减法、裂项法等）

（本专题C 级要求包括：两角和差正余弦、正切公式、平面向量数量积、等差数列、等比数列）

二、考题剖析

例1已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，25

a b -=

．

（Ⅰ）求c o s ()

αβ-的值； （Ⅱ）若02

πα<<，02

πβ-<<，且5sin 13

β=-，求sin α的值

例2已知向量m=(1,1)，向量n →

与向量m →

夹角为π4

3，且m →·n →=-1， (1)求向量n →

；

(2)若向量n →与向量q →

=(1,0)的夹角为

2π，向量p →=(cosA,2cos 22

c

)，其中A 、C 为?ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，试求|n →+p →

|的取值范围.

例3如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 点距地面的高度为60m.摩天轮做匀速转动,每3min 转一圈,摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.已知在时刻t(min)时点P 距离地面的高度

f(t)=Asin(ωt+φ)+h (2-π<φ<2

π

).

⑴求f(t)的表达式,及在2008min 时点P 距离地面的高度;

⑵求证:不论t 为何值时,f(t)+f(t+1)f(t+2)为定值.

例4已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且34117a a ?=，2522a a += （1）求通项n a ；

（2）若数列{}n b 是等差数列，且n

n S b n c

=

+，求非零常数c ； （3）求1

36n

n b f n n b +=+（

）（） n N +∈ 的最大值

三、热身冲刺

1、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且28sin 2cos 272

B C

A +-= （1） 求角A 的大小

（2）

若3a b c =+=，求b 和c 的值

2、在直角坐标系中，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2

A B n t C k t π

θθ≤≤

（1）若,AB a ⊥且||5||AB OA =

，求向量OB ；

（2）若向量AC 与向量a 共线，当4k >时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ?

3、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，

n S 是{}n a 的前n 项和．

（1）当n ≥2时，用a 与n 表示n a 与n S ；

（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；

（3）若a 为正整数，在（2）的条件下，设n S 取6S 为最小值的概率是1p ，n S 取7S 为最

小值的概率是2p ，比较1p 与2p 的大小．

4、已知各项均为正数的数列{}n a 满足22*

1120()n n n n a a a a n N ++--=∈且32a +是2a 、4a 的等

差中项

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若1122

log ,n n n n n b a a s b b b ==++

+，求使1

250n n s n ++?>成立的正整数n 的最小

值。 专题二

二、考题剖析 例1解：（Ⅰ）),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==

分

即分

分

6.5

3

)cos(.54)cos(224,5

52)sin (sin )cos (cos ,552||2).sin sin cos (cos 22 =-∴=--=-+-∴=---=-∴βαβαβαβαβαβαb a b a

（Ⅱ）分7.0,02

,2

0 πβαβππα<-<∴<<-<<

分分

分

12.65

33

)135(53131254sin )cos(cos )sin(])sin[(sin 9.13

12

cos ,135sin 8.5

4

)sin(,53)cos( =-?+?=-+-=+-=∴=∴-==-∴=-ββαββαββααβββαβα 例2解：设n (, ),m n 1, 1.x y x y =?=-+=由有①……（1分）

m 与n 夹角为

43π，有m ·n ＝|m |·|n |·4

3cos π

， |n | 1∴=则1y x 22=+②……（3分）

由①②解得???=-=01y x 或???-==1

y x

∴即n (1, 0)=-或n (0, 1)=-……（6分） （Ⅱ）由n 与q 垂直知n (0, 1)=-……（7分）

由2B ＝A ＋C 知B ＝3π

，A ＋C ＝32π, 3

2A 0π<<

若n (0, 1)=-, 则n ＋p ＝)12

C cos 2,A (cos 2- ＝)C cos ,A (cos ∴222

1cos 21cos 2|n p | cos cos 22

A C A C +++=+=+

＝)3

A 2cos(211)]A 234cos(A 2[cos 211π

++=-π++……（10分）

∵,353A 23,32A 0π<π+<ππ<< ∴当1)3

A 2cos(-=π

+时, |n p |+取得最小值

即2

min 1|n p |,2

+=∴min 2|n p |2+= …………（12分）

例3解:⑴∵每3min 转一圈

∴T=3 min ∴ω=

2T π=23

π 又∵f(t)最小值为10 m ∴h-A=10 ∵A+h=110 ∴A=50,h=60 ∴f(t)=50sin(

23

π

t+φ)+60 ∵t=0时,f(0)=10

∴50sin φ+60=10 ∴φ=2

-π

∴f(t)=50sin(23

πt 2-π

)+60

∴f(2008)=50sin(

34016π2-π)+60=50sin(1338π+23π2-π)+60=50sin 6

π+60=85 m

⑵证明:∵(t)=50sin(23πt 2-

π)+60=-50cos 23

πt+60 ∴f(t)+f(t+1)f(t+2)= -50cos 23πt+60-50cos(23πt+23π)+60-50cos(23

πt+34π)+60=180. 例4解：（I ）}{n a 为等差数列，5243a a a a +=+∴=22.

011722,,11724343=+-∴=?x x a a a a 是方程 的两实根，

.,043a a d <∴>公差 .13,943==∴a a

34,41

1339

2111-=∴?

??==??

?=+=+n a d a d a d a n .

……………4分

（II ）由（I ）知c

n n n c n S b n n n n n S n n n +-=+=∴-=?-+=22

2,242)1( }{.315

,26,11321n b c b c b c b +=+=+=∴是等差数列，,2212b b b +=∴

),,0(2

1

,02,315112262舍去即=-==++++=?+c c c c c c c

.2

1

-=∴c 故 ………………8分

（III ）由（II ）得,22

122

n n n n b n

=-

-=

221

()36(36)2(1)(36)(1)373637

n n n f n n n n n n n n n

∴=

===

+?+++++++

1,49

≤= ∴当且仅当6,36==n n n 即时取“等号”..49

1

)(max =∴n f …………12分

三、热身冲刺

1、（I ）在△ABC 中有B+C=π－A ，由条件可得：

4[1－cos(B+C)] －4cos 2

A+2=7 又∵cos(B+C)= －cosA

∴4cos 2

A －4cosA+1=0

解得.3

),,0(,21cos π

π=∴∈=A A A 又 解： （II ）由bc a c b bc a c b A 3)(,2

1

221cos 22222=-+=-+=即知

)

12(.1

22123)

10(.2,3,3分或由分代入得又???==???==????==+==+=c b c b bc c b bc c b a

2、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=

又

2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴?=-+=,得8t =± （4分）

(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--

(2)(sin 8,)AC k t θ=-

AC 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+

232

sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k

θθθθ=-+=--+

4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32

k

（8分）

由324k =，得8k =，此时,(4,8)6

OC πθ==

(8,0)(4,8)32OA OC ∴?=?= （12分） 3、解：（1）由已知，当n ≥2时，)2(6-+-=n a a n ，即)12(6+-=a n a n ．

62

)

2)(1())(1(21?--+--+=+++=n n a n a a a a S n n

62)9(32

+++-=a n a n ．

（2）解法一：由已知，当n ≥2时，{}n a 是等差数列，公差为6，数列递增．

若6S 是n S 的最小值，则??

?≥≤0

076a a ，即???≥-≤-0300

24a a ，得3024≤≤a ．

若7S 是n S 的最小值，则???≥≤0

087a a ，即???≥-≤-0360

30a a ，得3630≤≤a ．

∴ 当6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值时，a 的取值范围是]36,24[．

解法二：由（1），当n ≥2时，62)9(32

+++-=a n a n S n ，且a S =1也满足此式

∵ 在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值， ∴ 5.76

9

5.5≤+≤a ， 解得3624≤≤a ，从而a 的取值范围是]36,24[． （3）由（2）知24{∈a ，25，26， (36)

若6S 是n S 的最小值，则5.669

5.5≤+≤a ，即30,,26,25,24 =a 若7S 是n S 的最小值，5.76

9

5.6≤+≤a ，即36,,32,31,30 =a

∴ 137

21==p p ．

4、解：22

1111(1)20,()(2)0,n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-?-=∴+-=

数列{}n a 的各项均为正数，1()0,n n a a +∴+>1(2)0n n a a +∴-=，

即*

12()n n a a n N +=∈ ∴数列{}n a 是以2为公比的等比数列。

32a + 是24,a a 的等差中项，24324a a a ∴+=+

11112884,2,a a a a ∴+=+∴=

∴数列{}n a 的通项公式为2n

n a =

（2）由（1）及12

log n n n b a a =?，得2n

n b n =-?，（6分）

23412,22232422n n n n s b b b s n =++

+∴=--?-?-?-

-? ①

2341222232(1)22n n n s n n +∴=--?-?-

--?-? ②

②-①得，23411222222(1)22n n n n s n n ++∴=++++

-?=-?-

要使1250n n s n ++?>成立，只需1

2250n +->成立，即1252,5n n +>≥

1250n n s n +∴+?>成立的正整数n 的最小值为5。（12分）.