6.3非齐次边界条件的处理

浅话边界条件与初始条件

浅话边界条件与初始条件 边界条件 在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。 初值和边值问题： 对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题; 而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x≤b 的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。 三类边界条件: 边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件;B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件;A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。 总体来说， 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值; 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数; 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 对应于comsol，只有两种边界条件： Dirichlet boundary(第一类边界条件)—在端点，待求变量的值被指定。

Neumann boundary(第二类边界条件)—待求变量边界外法线的方向导数被指定。 再补充点初始条件： 初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t=0的值.在有限元中，好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。 总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件.边界条件与初始条件是控制方程有确定解的前提。边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其导数随时间和地点的变化规律。对于任何问题，都需要给定边界条件。初始条件是所研究对象在过程开始时刻各个求解变量的空间分布情况，对于瞬态问题，必须给定初始条件，稳态问题，则不用给定。 对于边界条件与初始条件的处理，直接影响计算结果的精度。 在CFD模拟时，基本边界条件有： 1流动进口边界 包括速度进口边界，压力进口边界，质量进口边界(可压流动)。 在使用流动进口边界时，需要涉及到某些流动参数，如绝对压力，湍动能及耗散率，这些参数要做特殊考虑。关于参考压力，在流场数值计算中，压力总是按相对值表示的，实际求解的压力并不是绝对值，而是相对于进口压力而言的。 在有些情况下，可以通过设定进口压力为0，求解其他点的压力。还有时，为了减小数字截断误差，往往故意抬高或降低参考压力场的值，可使其余各处的计算压力场与整体数值计算的量级相吻合。 2流动出口边界 一般选在离几何扰动足够远的地方来施加。在这样的位置，流动是充分发展的，沿流动方向没有变化。该边界只有在进入计算域的流动是以进口边界条件给定时才使用，而且在只有一个出口的计算域中使用。

对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题 （一）冲量定理法 （二）傅立叶级数法 齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题 （一）方程和边界条件同时齐次化 非齐次方程的求解思路 ? 用分解原理得出对应的齐次问题 ? 解出齐次问题 ? 求出任意非齐次特解 ? 叠加成非齐次解 方法一 冲量定理法 前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。 基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加. 2000(,)0,0 (),() tt xx x x l t t t u a u f x t u u u x u x φψ====?-=?? ==??==?? 试设 12u u u =+ 222112211 11,(,0)(,0)(),(),(0,)0,(,)0 u u a t x u x u x x x t u t u l t ?ψ???=???? ?? ==??? ==?， ()22 222 2222 22,,(,0) (,0)0,0,(0,)0,(,)0 u u a f x t t x u x u x t u t u l t ???-=??????==??? ==?. 物理意义： 在时间 0 — t ，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。

22 222 0,0,(,),0,0t t t x x l a t t x f x d τ τωωτωω ττωω====???=>?????==??==?22 222 ,0,(,),0,0 t t t x x l v v a t t x v v f x v v τ τττ====???=>?????==??==? 相应的，我们也可以把位移(,)u x t 也表示为 20(,)(,;)d t u x t v x t ττ=?， 则(,;)v x t d ττ就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，(,,)v x t τ就是定解问题 22 222 0,0,(,),0,0 t t t x x l a t t x f x d τ τωωτωω ττωω====???=>?????==??==? 22 222 ,0,(,),0,0 t t t x x l v v a t t x v v f x v v τ τττ====???=>?????==??==? 的解.非齐次项只存在于τ时刻，其全部效果只是使得弦在τ时刻获得一个瞬时速度. 那么由偏微分方程的积分 22 0002 2 20 00(,)()v v dt a dt f x t d t x ττττ τττδττ+++---??-=-????? 推导出 (,,) (,)t v x t f x t τττ=+?=? 令 1t t τ=- 则定解问题就可以写成这种形式（0t τ=+简写成t τ=） 11122 22210 00,0,(,), 0,0 t t t x x l v v a t t x v v f x v v ττ====???=>?????==?? ==? 在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项，又算入初速度！ 总结一下，在上面的过程中，冲量定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的

定解条件和定解问题

定解条件和定解问题 含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。方程的分数是1的称为方程式，个数多于1的叫做方程组。方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数。如果方程（组）中的项关于未知函数及其各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的。非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性。 一、定解条件 给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求满足方程，即满足某种物理定律，而不能完全确定一个物理状态。特解除了要求满足方程还要满足给定的外加（特殊）条件。对偏微分方程也是如此，换句话说，只有偏微分方程还不足以确定一个物理量随空间和时间的变化规律，因为在特定情况下这个物理量还与它的初始状态和它在边界受到的约束有关。描述初始时刻的物理状态和边界的约束情况，在数学上分别称为初始条件（或初值条件）和边界条件（或边值条件），他们统称为定解条件。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件，即描述物理过程初始状态的数学条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件，即描述物理过程边界状态的数学条件。 定解条件：初始条件和边界条件的统称。 非稳态问题：定解条件包括初始条件和边界条件。

稳态问题：定解条件为边界条件。 1、弦振动方程 ( 2(,),0,0tt xx u a u f x t x l t -=<<>) 初始条件是指初始时刻（0t =）弦的位移和速度。若以()x ?， ()x ψ分别表示弦上任意点x 的初始位移和初始速度，则初始条件为： 边界条件是指弦在两端点的约束情况，一般有三种类型。 （1）第一类边界条件（狄利克雷(Dirichlet ）边界条件）:已知端点()x a a o a l ===或处弦的位移是()a g t ，则边界条件为： (0,)(0,)u t g t = 或 (,)(,)u l t g l t = 当0()0()0l g t g t ≡≡或时，表示在该点处弦是固定的。 （2）第二类边界条件（诺伊曼（Neumann ）边界条件）：已知端点0x x l ==或处弦所受的垂直于弦线的外力0()g t 或()l g t ，则边界条件为： 0(0,)()x Tu t g t -= 或 (,)()x l Tu l x g t = 当00()0l g g t ≡≡或时，表示弦在端点0x x l ==或处自由滑动。 （3）第三类边界条件（混合边界条件或罗宾（Robin ）边界条件：已知端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力的和： 000(0,)(0,)g (t),0,x Tu t k u t k -+=> 或 (,)(,)(),0x l l l Tu l t k u l t g t k +=>， (,0)(),0(,0)(), t u x x x l u x x ?ψ=?<

椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式 4..

目录 1引言 2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理 3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理 3.2建立第二边值条件的虚功原理 4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理 4.2建立第三边值条件的虚功原理

椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式 1引言 很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的, 在变分过程中增加了未知函数导数的阶数. 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函, 使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说, 变分法最终寻求的是极值函数, 它们使得泛函取得极大或极小值. 变分原理在物理学中, 尤其是力学中有着广泛运用, 如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等, 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达. 在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具. 2椭圆型方程第一边值问题的变分形式 椭圆型方程第一边值问题： G u G y x f u v k =∈=+??-Γ)2.1(,),(,)(σ, 其中Γ是边界, G 是平面区域 ).()()(), (),(,0),(, 0min ),(),(21y u k y x u k x u k C g G L f G C G c y x k k G ????+????= ??Γ∈∈≥∈>∈=σσ 定义：{} ),(,)(),()(2 21b a I I L f I L f f I H =∈'∈= 在解决第一边值问题的变分形式的过程中, 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式, 再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果: 极小位能原理, 虚功原理, 格林第一公式. 格林第一公式：G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法 向量， n u ??是u 沿n 的方向导数，则有: .)( )(vds n u dxdy y v y u x v x u xdy vd u G G ???Γ??-????+????=?-

非齐次边界条件问题(10.30)

（10.30）非齐次边界条件问题 问题1 , (,0)(), (0,)0, (,)(0)t xx u ku u x f x u t u l t A A ====≠ 求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t 无关的解0()u x ，将其代入原方程后可得 [][]00()0()t xx u x k u x == 解得 0()u x px q =+ 式中，p 、q 为待定系数。根据边界条件可得 0(0)0u q == 0()u l A pl q ==+ 解得 , 0A p q l == 所以 0()A u x x l = 构造函数 0(,)()(,)u x t u x v x t =+ 代入原方程可得 [][]00()()t t xx t xx u u x v k u x kv =+=+

化简后可得 t xx v kv = 又由初始条件可得 0()(,0)()(,0)f x u x u x v x ==+ 所以 0(,0)()()v x f x u x =- 由边界条件还可以得到 (0,)(,)0v t v l t == 因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解 0, (,0)()(), (0,)(,)0t xx v kv v x f x u x v t v l t ==-== 由变量分离法，首先假设 (,)()()v x t X x T t = 进而有 ()'()"()()X x T t kX x T t = 移项整理得 ''()'()()() X x T t A X x kT t =≡ 其中A 是与x , t 都无关的常数，于是有 '()()T t AkT t = "()()X x AX x = 分别求解，对于()T t d ()d ()T t Ak t T t =??

齐次化原理

补充阅读材料之三 齐次化原理的物理背景 以非齐次热传导方程为例，求解 （1） 2(,),0,0,(0,)0,(,)0,0,(,0)0,0.t xx u a u f x t x L t u t u L t t u x x L ?=+<<>?==>??=≤≤? 注：边界条件为齐次，初始值为。 0. 由方程推导知 (,)(,)F x t f x t c ρ =，其中c 为比热（单位质量升高单位温度所需热量），ρ为长杆的（线）密度，为热源强度（单位时间单位体积（长度）产生的热量 (,)F x t 1. 瞬时热源产生的效应： 1) 研究0时刻的热源引起的热效应：考虑短时段[,0]s Δs ,?Δ为无穷小量, 此时段上 的热源强度. 在(,0)F x ≈s ?Δ时刻将热源打开，然后在时刻将之关闭，则热源在0x 点附近产生的热量(,0)F x s x ≈ΔΔ (x Δ为无穷小量)，所产生的温度分布(,F x 0)(,0)s x f x s c x ρΔΔ≈=Δ0≥Δ. 则t 时（热源关闭）的温度分布（即0时刻的热源引起的热效应），设为(,)v x t s Δ，满足齐次热传导方程 20()(),0,(0,)(,)0,, (,)(,0),0.t xx t v s a v s x L t s v t s v L t s t s v x t s f x s x L =?Δ=Δ<<>?Δ=Δ=>??Δ=Δ≤≤? , 约掉因子s Δ得到 20,0,,(0,)(,)0,, (,)(,0),0.t xx t v a v x L t s v t v L t t s v x t f x x L =?=<<>?==>??=≤≤? 2) 同样方法研究 （固定）时刻的热源引起的热效应：考虑短时段[,, .在0s ≥]s s s ?Δ(,)F x s ≈s s ?Δ时刻将热源打开，然后在时刻将之关闭，则热源在s x 点附近

浅谈边界条件

浅谈边界条件 对有限元计算，无论是ansys，abaqus，msc还是comsol等，归结为一句话就是解微分方程。而解方程要有定解，就一定要引入条件，这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多，只讨论最常见的两种——初始条件和边界条件。 在说边界条件之前，先谈谈初值问题和边值问题。 初值和边值问题： 对一般的微分方程，求其定解，必须引入条件，这个条件大概分两类---初始条件和边界条件，如果方程要求未知量y(x)及其导数y′(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0 )=y0，y′(x0)= y0′，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题； 而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B 则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件，微分方程和边界条件构成数学模型就称为边值问题。 三类边界条件: 边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C，若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克莱(Dirichlet)条件；B≠0,A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件；A≠0,B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件。 总体来说， 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 对应于comsol，只有两种边界条件： Dirichlet boundary（第一类边界条件）—在端点，待求变量的值被指定。 Neumann boundary（第二类边界条件）—待求变量边界外法线的方向导数被指定。 再补充点初始条件： 初始条件，是指过程发生的初始状态，也就是未知函数及其对时间的各阶偏导数在初始时刻t＝0的值．在有限元中，好多初始条件要预先给定的。不同的场方程对应不同的初始条件。 总之，为了确定泛定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件！