第3章3.2.2知能优化训练

1．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ

4

等于( )

A ．－1＋a 2

B ．－1－a

2

C ．－1＋a 2

D ．－1－a

2

解析：选B.由cos θ2＝1－2sin 2θ

4

得sin 2θ

4＝1－cos

θ22

，

又5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π

2

.

∴sin θ4

＜0.

∴sin θ

4＝－1－a 2

.

2．已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ

2

的值为( )

A.23 B ．－223 C ．±233 D ．－23

解析：选B.∵cos θ＝2cos 2θ

2

－1，

∴cos 2θ2＝1＋cos θ2

，

∵270°＜θ＜360°∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ

2

＜0，

∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋

792＝－22

3

.

3．已知sin α＝－2425，且α为第三象限的角，则tan α

2

等于( )

A ．－43

B ．－34

C.43

D.34

解析：选A.由sin α＝－24

25

，且α为第三象限的角，

则cos α＝－7

25

.

所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725

＝－4

3

.

4．若cos22°＝a ，则sin11°＝________，cos11°＝________.

解析：cos22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°，

∴cos11°＝1＋cos22°2＝1＋a

2

，

sin11°＝1－cos22°2＝1－a

2.

答案：1－a 2 1＋a

2

一、选择题 1．cos 2π8－1

2的值为( )

A ．1 B.12 C.22

D.

24

解析：选D.cos 2π8－12＝12?

???2cos 2π8－1＝12cos π4＝12×22＝24. 2．下列各式与tan α相等的是( )

A.1－cos2α1＋cos2α

B.sin α1＋cos α

C.sin α

1－cos2α

D.1－cos2αsin2α

解析：选D.由于1－cos2αsin2α＝2sin 2α

2sin αcos α

＝tan α.

3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α

2

的值为( )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

解析：选D.∵sin(270°＋α)＝45，∴cos α＝－4

5.

又180°＜α＜270°，∴90°＜α

2

＜135°.

∴tan α

2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－????－451＋???

?－45＝－3.

4．已知tan α

2

＝3，则cos α为( )

A.45 B ．－45 C.415 D ．－35

解析：选B.cos α＝1－tan 2

α

21＋tan 2

α2

＝1－321＋32＝－4

5

. 5．已知cos α＝45，且32π<α<2π，则tan α

2

等于( )

A ．－13 B.13

C ．－13或13

D ．－3

解析：选A.∵3π2<α<2π，∴3π4<α

2<π.

∴cos α2＝－1＋cos α2＝－910＝－310

10

，

sin α2＝1－cos α2＝110＝10

10

， ∴tan α2＝sin α2cos α2

＝－1

3

.故选A.

6．已知α为锐角，且sin α∶sin α2＝3∶2，则tan α

2

的值为( )

A.74

B.53

C.73

D.54

解析：选C.sin αsin α2＝2sin α2cos

α2sin α2

＝2cos α2＝3

2，

∴cos α2＝34，

∵α为锐角，

∴sin α2＝1－916＝74

，

∴tan α2＝sin α2cos α2

＝7

3

.

二、填空题

7．化简 1＋cos (3π－θ)2(3π

2<θ<2π)＝______.

解析：原式＝1－cos θ2＝|sin θ

2

|，

∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ

2<π， ∴sin θ2>0，故原式＝sin θ2

.

答案：sin θ

2

8．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． 解析：y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x

＝2sin ?

???2x ＋π

4＋1 ∴y min ＝－2＋1 答案：1－ 2

9．(2011年西安高一检测)已知tan(π－α)＝2，则sin2α

sin 2α－sin αcos α－cos 2α

的值是________．

解析：∵tan(π－α)＝－tan α＝2， ∴tan α＝－2，

∴原式＝2sin αcos αsin 2α－sin αcos α－cos 2α＝2tan αtan 2α－tan α－1＝2×(－2)(－2)2

－(－2)－1

＝－4

5.

答案：－4

5

三、解答题

10．已知tan α

2＝2，求

(1)tan ????α＋π

4的值； (2)6sin α＋cos α3sin α－2cos α

的值． 解：(1)∵tan α

2＝2，

∴tan α＝2tan

α21－tan 2

α2＝2×21－4＝－4

3

；

∴tan ???

?α＋π4 ＝tan α＋tan

π

41－tan αtan

π4

＝tan α＋1

1－tan α

＝－43＋11＋43

＝－17；

(2)由(1)，tan α＝－4

3

，

所以6sin α＋cos α3sin α－2cos α＝6tan α＋13tan α－2

＝6×????－43＋13×???

?－43－2＝76.

11．化简cos 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．

解：原式＝1＋cos (2θ＋30°)2＋1－cos (2θ－30°)2＋12sin2θ＝1＋1

2

[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－

30°)]＋1

2sin2θ

＝1＋12(cos2θcos30°－sin2θsin30°－cos2θcos30°－sin2θsin30°)＋12

sin2θ

＝1＋(－sin2θsin30°)＋1

2sin2θ＝1.

12．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β

2的值．

解：∵0<α<π2，∴cos α＝1－sin 2α＝5

13，

∵0<α<π2，0<β<π

2

，

∴0<α＋β<π，

若0<α＋β<π

2

，∵sin(α＋β)

∴α＋β<α不可能，故π

2

<α＋β<π.

∴cos(α＋β)＝－3

5

，

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－35×513＋45×1213＝3365.

∵0<β<π2，∴0<β2<π

4

，

故cos β

2＝1＋cos β2＝76565.