勒让德函数
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点
对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i ）P ()n x 的n 个零点都是实的，且在)1,1(-内； （ii ）P ()n x 的零点与1P ()n x -的零点互相分离． 2奇偶性
根据勒让德多项式的定义式，作代换(),x x →-容易得到
P ()(1)P ()l l l x x -=- （19.2.1）
即当l 为偶数时，勒让德多项式P ()l x 为偶函数，l 为奇数时P ()l x 为奇函数． 3勒让德多项式的正交性及其模
作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同阶的勒让德多项式在区间[1,1]-上满足
1
2,1
P ()P ()d n l l n l
x x x N δ-=?
(19.2.2)
其中
, 1 ()0 ()n l n l n l δ=?=?
≠?
当n l ≠时满足
1
1
P ()P ()0
n l x x dx -=?
， (19.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
0,1,2,)l N l = (19.2.4)
下面给出公式（19.2.2），及其模(19.2.4)的证明． 4 广义傅里叶级数
勒让德方程属于施图姆－刘维尔型方程，故其本征函数：勒让德多项式
P ()(0,1,2,)l x l = 是完备的，可作为广义傅里叶级数展开的基．关于函数展开有下述定理
定理19.2.1 在区间 [-1,1]上的任一连续函数()f x ,可展开为勒让德多项式的级数
()P ()n n n f x C x
+∞
==∑ （19.2.5）
其中系数
1121()P ()d 2n n n C f x x x
-+=? (19.2.6)
在实际应用中,经常要作代换θcos =x ,此时勒让德方程的解为P (cos )n θ，这时有
(cos )P (cos )
n n n f C θθ+∞
==∑ (19.2.7)
其中系数为
π
021(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=
? （19.2.8）
19.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
例19.2.1 将函数 3
()f x x =按勒让德多项式形式展开.
【解】 根据 （19.2.5）设3
00112233P ()P ()P ()P ()x C x C x C x C x =+++
考虑到 P ()(1)P ()n
n n x x -=-，由(19.2.6)显然有 020C C ==
113311
11333
P ()d d 225C x x x x x x --=
=?=?? 1133333117712P ()d (5-3)d 2225C x x x x x x x --==?=
??
所以
31332
P ()P ()
55x x x =+
勒让德(legendre)多项式及其性质
勒让德（legendre ）多项式及其性质 一． 勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1） 它的幂级数解如下： 12y y y =+ （1.2） 其中： 224 1200 (1)(2)(1)( 3) [1]2!4! k k k n n n n n n y a x a x x ∞ =+-+ +==-+ ???∑ （1.3） 21 35 22110 (1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5! k k k n n n n n n y a x a x x x ∞ ++=-+--++==-++???∑ （1.4） 由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为 1，在（1.3）式和 （1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和 2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。 上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当 n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第 一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n P x 的表达式。 ① 当 n 为正偶数时 1y 退化为n 次多项式。为求得()n P x 的表达式， 在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： 2(2)(1)()(1) k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5） 在（1.5）式中取2k n =-，得：
第十九章：勒让德多项式 球函数
第19 勒让德多项式 球函数习题及解答 ———————————————————————————— 19.1 试证明 1 1 P ()d 0 n x x -=? ，其中1,2,3,n = . 19.2 计算 1221 P ()d I x x x -=?. 【答案 0,2/3; 2,4/15; n I n I n I ====≠=】 19.3求积分 1 P ()d l I x x =?. 【答案 0,1; 1,1/2; 2,1,0;(21)!! 21,1, (1)(22)!! k l I l I l k k I k l k k I k =====≥=-=+≥=-+】 19.4 求积分 1 P ()d l I x x x =?. 【答案 1 20,1/2; 1,1/3; 21,1, 0;(22)!!2,1, (1)2(1)!(1)! k k l I l I l k k I k l k k I k k +=====+≥=-=≥=--+】 19.5 证明： 31 332()()55x P x P x =+ 19.6 证明：1 1 110 (1)()d ()d m m n n m n x P x x m x P x x --++=?? 19.7 证明：1 221 2(21) (1)[()]d ,0,1,2,. 21n n n x P x x n n -+'-= =+? 19.8 计算 111 1 (1) =P ()d ; (2) =(23)P ()d n n I x x x I x x x --+?? 【答案 (1)1,2/3;1,0;(2)0,4;1,2,0,1,0n I n I n I n I n I ==≠=====≠=】 19.9 求球内的调和函数u ，使得它满足边界条件 2 1|cos r u θ==. 【答案 2 212 (,)(cos )33u r P r θθ=+】 19.10 求下列定解问题 222 2111()(sin )0, (01)sin |cos 2cos r u u r r r r r r u θθθθθ=?????+=<
对连带勒让德方程和连带勒让德函数的粗略理解
对连带勒让德方程和连带勒让德函数的粗略理解 球坐标系下的拉普拉斯算符(),,u r θ??，当(),,u u r θ?=不具有旋转对称性时，经分离变量后()θΘ所满足的方程为连带勒让德方程 ()2 2 0,1sin 0sin sin d d m d d θπθμθθθθθ=?? Θ??+-Θ= ? ????? Θ<∞ ① 令x=cos θ sin d d dx d d dx d dx θθθΘΘΘ ==- ()()2211sin sin sin sin 1sin sin sin 1d d d d dx d d dx d d d d dx dx d d x dx dx θθθθθθθθθθθΘΘ????= ? ? ????Θ??=-- ???Θ??= -???? 令y Θ= 上式变为： ()( )2221101x d dy m x y dx dx x y x μ=±????-+-= ???-????<∞ ② 将上述方程进行整理 ()()2222112d dy d y dy x x x dx dx dx dx ??-=--???? 故，上式转化为： ()22 2 221201d y dy m x x y dx dx x μ??--+-= ?-?? 即
()222222220111d y x dy m y dx x dx x x μ?? ?? -+-=?? ---?? 即 ()2 222220111x m y y y x x x μ????'''-+-=??---?? ③ （这就是标准的二阶常微分方程()()0y P x y Q x y '''-+=的形式） 1x <内解析定理保证连带勒让德方程在1x <内一定有解析解。 ()0 l l l y x C x ∞ ==∑ 1x < ③式的解为： ()1l l l μ=+ 0,1,2,3l = ()()() () ()22 1m m m lm l l y x P x x P x ==- 0,1,2m l = 式中()m l P x 表示m 阶l 次连带勒让德函数 ()() ()() ()()2 2 22 2 1112!m m m l l m lm l l lm P x x P x x d x l dx =--= -? ()()m l P x 表示l 次勒让德函数的m 阶导数。 ()l P x 是m=0时的连带勒让德函数即勒让德函数。 注：①m l > 时，()()m l P x =0 ②cos x θ=时，式③的解可以写为： ()1l l l μ=+ 0,1,2,3l = ()()()()c o s s i n c o s m m m lm l l P P θθθθΘ==? 0,1,2m l =
作业四 证明勒让德函数的正交性
作业四 证明勒让德函数的正交性 证明：（1）由勒让德方程0)1('2")1(2=++--y n n xy y x 即[(1?x 2)y ′]′+n n +1 y =0可得： 1?x 2 P m ′(x) ′+m m +1 P m x =0 [1] 1?x 2 P n ′(x) ′+n n +1 P n x =0 [2] 方程 1 ×P n ? 2 ×P m 在求其在-1到1上的积分可得： 1 ×P n ? 2 ×P m 1 ?1 dx = m m +1 ?n n +1 P n x P m (x)dx 1?1+ 1?x 2 P m ′ x ′P n 1?1 x dx ? 1?x 2 P n ′ x ′P m 1?1 x dx =0 1?x 2 P m ′ x ′P n 1?1 x dx = 1? x 2 P m ′ x P n x 1?1? 1?x 2 1?1P m ′ x P n ′(x )dx =? 1?x 2 1?1 P m ′ x P n ′(x )dx 同理可得： 1? x 2 P n ′ x ′P m 1?1 x dx =? 1?x 2 1?1P m ′ x P n ′(x)dx 故有： m m +1 ?n n +1 P n x P m (x)dx 1?1=0 当n m ≠时 P n x P m (x)dx 1 ?1=0 （2）的证明不妨先证明勒让德函数的递推公式之一： n +1 P n+1(x)? 2n +1 xP n (x)+nP n ?1(x)=0 由母函数：)(211 ),(02x P t t tx t x w n n n ∑∞==+-= ln w(x,t)=?12 ln(1?2xt +t 2) 对t 求导得： w ′(x,t)=?1?2x +2t 2=x ?t 2 即w x,t x ?t =w ′ x,t (1?2xt +t 2) 又母函数直接对t 求导得： w ′(x,t)= P n (x)t n ?1∞ n=1 n 带入上式可得：
勒让德函数
精心整理在特殊函数中的应用 1作出0-4阶勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y0=legendre(0,x); y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); >> 2 >> >> 3 >> >> 4 >> text(3,0.5,'J_2(x)') text(4.2,0.4,'J_3(x)') text(5.1,0.4,'J_4(x)') >>text(6.5,0.4,'J_5(x)') Legendre函数 2007年12月13日星期四01:00 Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。 1.氢原子波函数的角度部分： 用MATLAB来画一画：
l=0,m=0，即s轨道角度部分： t=0:0.01:2*pi; y0n=legendre(0,cos(t),'sch'); polar(t,y0n(1,:).^2); l=1,m=0,+1,-1即p轨道角度部分： t=0:0.01:2*pi; y1n=legendre(1,cos(t),'sch'); （ （ 而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。展开项系数称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（7.11）。称为阶。 将式（7.13）左边利用二项式定理展开，有 在上式中，含有的项只出现在含的项和以前各项中。在这些项中，将含的各 项展成幂级数，并找出所有含的项，其系数合为
（7.13） 时，求和中最低幂项是时，最低幂项是。 （ 显示在区间〔－ 值得一提的式，Legendre方程（7.11）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre函数，记为。其形式为 等一般的形式是 由于的对数形式，第二类Legendre函数在边界是无界的（并非全部）。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对将不在作讨论。 Legnedre多项式的零点
勒让德函数
在特殊函数中的应用 1 作出0-4阶勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y0=legendre(0,x); y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x); y3=legendre(3,x); y4=legendre(4,x); plot(x,y0(1,:),'g*',x,y1(1,:),'b+',x,y2(1,:),'ro',x,y3(1,:),'k:',x,y4(1 ,:),'r:') >> legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre') >>（仿真结果） 2 作出二阶连带勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y=legendre(2,x); plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro') >> legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')
3 作出三阶连带勒让德函数图形 >>x=0:0.01:1; y=legendre(3,x); plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro',x,y(4,:),'k:') >>legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3') 4 作出整数阶贝塞尔函数的图形 >>clear y=besselj(0:5,(0:0.2:10)'); plot((0:0.2:10)',y) ylabel('j_v(x)')
xlabel('x') legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5') text(1,0.8,'J_0(x)') text(2,0.6,'J_1(x)') text(3,0.5,'J_2(x)') text(4.2,0.4,'J_3(x)') text(5.1,0.4,'J_4(x)') >>text(6.5,0.4,'J_5(x)') Legendre函数 2007年12月13日星期四 01:00 Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。 1. 氢原子波函数的角度部分： 用MATLAB来画一画： l=0,m=0，即s轨道角度部分： t=0:0.01:2*pi; y0n=legendre(0,cos(t),'sch');
第十九章-勒让德多项式-球函数
幻灯片1 本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇特点：加强了思维能力的训练, 以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用. 幻灯片2 19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程 幻灯片3 在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程 sin 1 )(sin sin 1)(12 2222 +????+????θ θθθθr u r r u r r r （19.1.1） 和球谐函数方程 （19.１.2） 与半径 无关，故称为球谐函数 (19.1.2)式的解 r ，或简称为球函数． 幻灯片4 球谐函数方程进一步分离变量，令 第三篇 特殊 第十九章 勒让德
(,)Y θ?得到关于 的常微分方程 (,)()() Y θ?θ?=ΘΦ Θ （19.1.3） 2 21d d sin (1)0 sin d d sin m l l θθθθθ?? Θ??++-Θ= ??????? 称为 阶连带勒让德方程. l l 和 令 ()() y x x =Θ换为 ，则方程（19.1.3）可以化为下列 把自变数从 x θ cos =x 形式的 阶连带勒让德方程 幻灯片5
l θ （19.1.4） 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与 22 2 22 d d (1)2(1)0d d 1y y m x x l l y x x x ??--++-=??-?? 无关，则 ，即有 =m ? （19.1.5） 称为 阶勒让德（legendre ）方程． 1d sin (1)0 sin d d l l d θθθθΘ?? ++Θ= ??? 幻灯 片6 l 同样若记 ， 阶勒让德方程 ，则上述方程也可写为下列形式的