北京市师范大学附属实验中学2015届高三数学上学期期中试题文

北京师范大学附属实验中学

2014—2015学年度第一学期高三年级数学（文）期中试卷

班级______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项.

1．已知集合{|}M x x a =≤，{|20}N x x =-<<，若M

N φ=，则a 的取值范围为

A.0a >

B. 0a ≥

C.2a ≤-

D. 2a <- 2．下列函数中，在定义域内是减函数的是

A ．1

()f x x

=-

B

．()f x =C ．1()2x

f x ??

= ???

D ．()tan f x x = 3．已知函数()sin()6

f x x π

ω=+图像的相邻两条对称轴之间的距离为

4

π

，则)(x f 的最小正周期是

A ．2π B. π C.

2π D. 4

π 4．已知向量1(3,1),(2,),2

a b ==-则下列向量可以与2a b +垂直的是 A. (1,2)- B. (2,1)- C. (4,2)

D. (4,2)-

5．“1t >”是“1t t

<”成立的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是 A. 3S B. 4S C. 5S D. 6

S

7．数列{}n a 中，112a =，111n n n

a a a ++=-（其中*

n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥成

立的n 的最小值为

A. 236

B. 238

C. 240

D. 242

8．已知集合12{,,

,}(2)n A a a a n =>，令{},1A i j T x x a a i j n ==+??，card()A T 表

示集合A T 中元素的个数.关于card()A T 有下列两个命题 ①若12,,,(2)n a a a n >可构成公差不为0的等差数列,则card()23A T n =-； ②若12,,

,(2)n a a a n >可构成公比不为1的等比数列,则1

card()(1).2

A T n n =

- 其中，正确的是（ ）

A. ①

B. ②

C. ①②

D. 都不正确

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC D 中，若tan 2A =-，则cos A = . 10．设0.5

a π

=，3log 2b =，

5cos 6

c π

=，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为 ． 11．已知函数()2sin f x x x =-，则函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为 ；在

(0,)π上的单调递增区间为 .

12．已知函数(1),0

()(1),0x x x f x x x x +≥?=?-

, 则满足(1)(2)f t f t -<的实数t 的取值范围是 .

13．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .下列函数中具有性质P 的有 .

①()2f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1

()f x x x

=+

，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+

14．如图，线段2AB =，点,A B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运

动．以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设

O 为原点，则OC OD ?的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)若12log +=n n a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .

16．如图，已知点(10,0)A ，直线(010)x t t =<<与函数1

x y e

+=的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ?的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式； （II ）求函数()f t 的最大值.

17.设ABC ?的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知3

tan 4

B =，sin 6b

C =． （Ⅰ）求边长c 的值；

（Ⅱ）若ABC ?的面积24S =，求ABC ?的周长l ．

18．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为

2

. （Ⅰ）求抛物线C 的方程;

（Ⅱ）设点()00,P x y 为直线l 上一定点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q .

19．已知函数32()231()f x x ax x =++∈R ．

（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）求函数()f x 在闭区间[]0,2的最小值.

20．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列．ij a 表示位于第i 行第j 列的数，其中241

8

a =

，421a =，54516

a =

．

（Ⅰ） 求q 的值； （Ⅱ） 求ij a 的计算公式； （Ⅲ）设数列{}n b 满足n nn b a =，

{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .

北京师范大学附属实验中学

2014—2015学年度第一学期期中高三年级考试答题纸

文科数学

请将选择题的答案填涂在机读卡上

9. . 10．． 11．； .

12. . 13． . 14. .

三、解答题

15.（本题13分）

13分）

17.（本题13分）