高等数学讲义
第一章 函数、极限、连续
§1.1 函数
一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.
0 () (0)()2() ()a
a
a
f x a f x dx f x dx f x ->??
=????
?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1
求1
51
[()ln(.x x I x x e e x dx --=
+-?
解 1()x x f x e e -=-是奇函数，
∵112()(),()ln(x
x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇
函数，
∵
222()ln(f x x -=-=
2ln1ln(()x f x =-+=-
因此()ln(x x x e e x --是奇函数。
于是1
16
61
2027
I x dx x dx -=
+==
?
?。
例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是
(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。
解 (B)不成立，反例3
2
(),()13
x f x x F x ==+
(C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2
()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。
证明 0
()(0)(),x
F x F f t dt f =+
?
为奇函数，
00
()(0)()(0)()()
(0)()()
x
x
x
F x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=?
??
所以，()F x 为偶函数。
例 3 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当
a x
b <<时，下列结论成立的是
(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >
解 ∵2
()1[()()()()]0()()
f x f x
g x f x g x g x g x '??''=-
()f x g x 单调减少 于是x
()()
()()
f x f b
g x g b >
，故(A)成立。 二、有关复合函数
1. 已知()f x ，()g x 求[()]f g x
2. 已知[()]f g x 和()g x ，求()f x
例1、已知12() ()() f x x a f x f x x a ≤?=?>?和12
() ()() g x x b
g x g x x b ≤?=?>?
求[()]f g x
解：11112221
122
2[()] ()[()] ()[()][()] ()[()] ()f g x x b g x a f g x x b g x a f g x f g x x b g x a f g x x b g x a ≤≤??
>≤?=?≤>??>>?当，当，
当，当，
例2、已知()x
x
f e xe -'=，且(1)0f =，求()f x 解：令x e t =，则ln x t =，因此
ln ()()x t
f e f t t
''==
于是，1
ln ()(1)x
t f x f dt t
-=
?
2121
ln 21
ln 2
x
t x == §1.2 极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
例1 求x
x x x 30sin sin lim -→
解 原式6
1
3cos 1lim sin lim 2030=-=-=→→x x x x x x x 例2 设当x →0时(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而
x sin x n 是比
()
12
-x e
高阶的无穷小，则正整数n 等于
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解： ()4
2
2
1)1ln(cos 1x x x →+-
2
11sin 2
x
e x x x x n n →-→+
由题意可知，4>n+1>2， ∴n+1=3, n=2 选(B) 例3 设dt t x dt t
t
x t
x
x 1
50
sin 0)1()(,sin )(?
?+==
βα，则当x →0时，
)(x α是)(x β的 ( )
(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小
解 ()()()()e
x
x x x
x x x x x
x x x 5cos )
sin 1(555sin lim ''lim lim sin 10
00=?+?==→→→βαβα
选(C)
二、有关两个准则
准则1 单调有界数列极限一定存在。 准则2 夹逼定理。
例1 设)3(,3011n n n x x x x -=<<+，证明n x x 0
lim →存在，并求其值。 解 ∵
我2
3
2)3()3(0,03,01111211=-+≤-=<∴>->x x x x x x x ， (几何平均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>1时，2
3
0≤ 当 n>1 时 ， )3()3(1n n n n n n n n x x x x x x x x --=--=-+， 03)23(≥+--= n n n n x x x x ， n n x x ≥∴+1，则{}n x 单调增加。 根据准则1，l x n n =∞ →lim 存在 把 ) 3(1n n n x x x -=+两 边 取 极 限 ， 得 0,3,)3(2 2 =-=-=l l l l l l l (舍去) 得 2 3 =l ， ∴2 3lim =∞ →n n x 。 口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证； 两边极限一起上；方程之中把值找。 例2 求)212654321(lim n n n -? ????∞→。 解 令1 225432),212654321(+????=-?????=n n y n n x n n ， 则0 21 02 += < 0lim 2 =∞ →n x x ，于是原极限为0。 三、有关两个重要公式 公式1、1sin lim 0=→x x x 公式2、e n n n =+∞→)11(lim e u u u =+∞→)1 1(lim e v v v =+→10 )1(lim 例1 求n n x x x 2cos 4cos 2cos lim ???∞→。 解 当x =0时，原式=1 当x ≠0时，原式n n n n n n x x x x x 2 sin 22cos 4cos 2cos 2sin 2lim ???=∞→ =???=????--+∞→n n n n n n x x x x x 2 sin 22sin 2cos 4cos 2cos 2lim 1 11 = x x x x x x x x n n n n n n sin 2 sin 2sin lim 2sin 2sin lim =?=∞→∞→ )12 sin 2lim (=∞→n n n x x 例 2 设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且e x f x =∞ →)('l i m ，)]1()([lim )( lim --=-+∞→∞ →x f x f c x c x x x x ，求c 的值。 解:c c c x x x x x e e e x c x c c x c x 2) 1()1(lim )(lim ==-+=-+-∞→∞→ 则拉格朗日中值定理，有 )(')]1()[(')1()(ξξf x x f x f x f =--=-- 其中ξ介于(x -1)与x 之间，那么 e f x f x f x x ==--∞→∞ →∞→)('lim )]1()([lim ) (ξξ 于是，e 2c =e,2c=1，则2 1 =c 口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。 四、用洛必达法则求极限 洛必达法则主要处理七种待定型极限：“00”型，“∞ ∞ ”型，“0·∞” 型，“∞-∞”型， “1∞”型，“00”型和“∞0”型 口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。 第一层次：直接用洛必达法则 “0 ”型 用洛必达法则Ⅰ “ ∞ ∞ ”型 用洛必达法则Ⅱ 第二层次：间接用洛必达法则 “0·∞”型 例10 ln lim ln lim -→→+ +=x x x x x x 变为“∞ ∞”型 “∞-∞”型 例)1()1(lim )111(lim 00---=--→→x x x x x e x x e e x 变为“00 ”型 第三层次：间接再间接用洛必达法则 “1∞”型，“00”型，“∞0”型均为) ()(lim * x g x x f → 形式 而) ()] ([x g x f 称为冪指函数，比较复杂。 口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。 )(ln )()](ln[) () ()] ([x f x g x f x g e e x f x g ==, 而上面三种类型化为) (ln )(lim * x f x g x e →, 这时)(ln )(lim * x f x g x →一定是“0·∞”型 再用第二层次的方法处理即可 例 x x x x x x x e e x x ln 0 ln 0 lim lim lim + ++→→→== =10ln lim ln lim 1 ===-+ →+ →e e e x x x x x x 例1 求)cos sin 1(lim 2220x x x x -→。 解 原式=x x x x x x 222220sin cos sin lim ?-→ =42202sin 41 lim x x x x -→ =3042cos 2sin 4 4 2lim x x x x x -→ =3 024sin 4 1 lim x x x x -→ =2 064cos 1lim x x x -→ =x x x 124sin 4lim 0→ =3 4 例2 设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求??--→x x x dt t x f x dt t f t x 00 )()()(lim 解 原式=???-→x x x x du u f x dt t tf dt t f x 0 )()()(lim (分母令u t x =-) =) ()() ()()(lim x xf du u f x xf x xf dt t f x x x +-+? ?→ (用积分中值定理) =)()() (lim ) 0(0x xf xf xf x +→→ξξξ(ξ在0和x 之间) =2 1 )0()0()0(=+f f f . 口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。 公式： )(]')([ x f dt t f x a =? (当)(x f 连续时) 例3 高a>0,b>0常数，求n n n x b a ??? ? ??+∞→2lim 解 先考虑x x x x b a )2 (lim 11++∞→它是“∞1”型。 令 ]2ln )[ln(ln ,)2 (1 111-+=+=x x x x x b a x y b a y x b a y x x x x 1 2 ln )ln(lim ln lim 11-+=+∞→+∞ → 令)"00 ("2ln )ln(lim 10t b a t x t t t -+=+ →型 =ab b a b a b b a a t t t t t ln )ln (ln 2 1 ln ln lim 0=+=+++→ 因此， ab b a x x x x =++∞ →)2 (lim 11 于是， ab b a n n n n =+∞→)2 (lim 。 口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。 五、求分段函数的极限 例 求)| |sin 12(lim 410 x x e e x x x + ++→。 解 112)sin 12(lim 4 1 0=-=-+++- →x x e e x x x 110)sin 1 2(lim 34 =+=+ ++- - - →+ x x e e e x x x x ∴ 1)| |sin 12( lim 410 =+ ++→x x e e x x x 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。 六 用导数定义求极限 例 设曲线 )(x f y =与x y sin =在原点相切，求 )2(lim n nf n ∞→ 解 由题设可知 0)0(=f ， 1|)'(sin )0('0===x x f 于是 2)0('202) 0()2 (2lim )2(lim ==--?=→∞ →∞f n f n f n nf n x 七 用定积分定义求极限 公式： ?∑==∞→101 )()(1lim dx x f n k f n n k n ()(x f 连续) 例1 求∑=∞→+n k n k n n 1 22 lim 。 分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑 12 2 1 2 2222+≤+≤+∑=n n k n n n n n n k 而2 1lim 222=+∞→n n n n ， 11lim 222 =+∞→n n n 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。 解 ∑∑=∞→=∞→+=+n k n n k n n k n k n n 12 122)(11 1lim lim =4 |arctan 11 1 02π==+?x x dx 例2 求k n n k n 1sin lim + ∞ →π 。 解 ∵∑∑∑===≤+ ≤+n k n k n k n k n k n n k n k n 11 1sin 11sin sin 11π π π 而 πππ2 sin sin 1lim 101 ==?∑=∞→xdx n k n n k n πππ2 )sin 1)(1(lim sin 11lim 1 1=+=+∑∑=∞→=∞→n k n n k n n k n n n n k n 由夹逼定理可知， ∑=∞→=+ n k n k n n k 121sin lim ππ 口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。 八、求极限的反问题 例1 设3) 1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a 和b. 解 由题设可知 0)(lim 2 1 =++→b ax x x ，∴1+a+b=0 再对极限用洛必达法则 32 2)1cos(22lim )1sin(lim 21221=+=-+=-++→→a x x a x x b ax x x x 5,4-==b a 例2、 设 )(x f 在(0，+∞)内可导， )(x f >0， 1)(lim =+∞ →x f x 且满足x h h e x f hx x f 1 1 0]) ()([lim =+→，求 )(x f 解： 先用冪指函数处理方法 )](ln )([ln 1 lim 100]) ()([lim x f hx x f h h h h e x f hx x f -+→→=+ 再用导数定义 x x F x x F x F x ?-?+=→?) ()(lim )('0 取hx x x f x F =?=),(ln )(， 于是)]'([ln )](ln )([ln lim 0x f x x f hx x f hx x h =-+→ 这样 x x f x e e 1 )]'([ln = 所以 x x f x 1 )]'([ln = 21 )]'([ln x x f = '1 )(ln C x x f +- = x Ce x f 1)(- = 再由1)(lim =+∞ →x f x ，可知C=1，则x e x f 1 )(- = §1.3 连续 一、连续与间断 例 1 设)(x f ，)(x g 在),(+∞-∞内有定义，)(x f 为连续，且 0)(≠x f ，)(x g 有间断点，则下列函数中必有间断点为 (A))]([x f g (B)2 )]([x g (C))]([x g f (D) )() (x f x g 解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例 1) (≡x f ，00 11)(<≥? ??-=x x x g ,(D) 成立 可用反证法：假若不然 )() () (x h x f x g =没有间断点，那么)()()(x h x f x g ?=为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以 )() (x f x g 一定有间断点 例2 求)()sin sin (lim sin sin x f x t x t x x t =-→的间断点，并判别其类型。 解 πk x ≠，考虑)sin sin ln(sin sin lim )(ln x t x t x x f x t -=→ x x x t x t x x t sin sin sin sin cos lim =?=→ ∴ )()(sin πk x e x f x x ≠= 可见πk x =为间断点,0=x 是可去间断点，其它皆为第二类间断点。 二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论） 例 1 设)(x f 在]1,0[上连续，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明存在 )1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f 证 令1)()(-+=x x f x g ，则 ) (x g 在 ] 1,0[上连续 01)0(<-=g ， 01)1(>=g ， 根据介值定理推论，存在)1,0(∈ξ使0)(=ξg ，即证。 例2 设 )(x f 在]2,0[上连续，且3)2()1()0(=++f f f ，求证： 存在]2,0[∈ξ，使1)(=ξf 。 证 ∵ )(x f 在]2,0[上连续，故有最大值M 和最小值m ，于是 M f f f m ≤++≤)]2()1()0([3 1 根据介值定理，存在]2,0[∈ξ使 )]2()1()0([31 )(f f f f ++=ξ ∴ 1)(=ξf . 口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）. 物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程 (上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像 2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a = （7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+? 第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 《微积分》讲义 第一章极限 一、函数极限的概念：f＝A 要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。 二、函数极限存在的充分必要条件： f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？ 三、极限的四则运算法则 ⑴＝f±g ⑵＝f·g ⑶＝……g≠0 ⑷k·f＝k·f 四、例： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 五、两个重要极限 ⑴＝1 ＝1 ⑵＝e ＝e ……… 型 理论依据： ⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A， 则：limg＝A ⑵单调有界数列必有极限。 例题： ⑴＝ ⑵＝ ⑶＝ ⑷＝ ⑸＝ 六、无穷小量及其比较 1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。 2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。 3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。 4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0） 七、函数的连续性 1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量 x： ⑴x0时，y0。即：y＝0 ⑵f＝f ⑶左连续：f＝f右连续：f＝f 2、函数y＝f在区间上连续。 3、连续函数的性质： ⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、 （g()≠0）在点处连续。 ⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续， 则复合函数f(j(x)) 在点处连续。 例：＝ ＝ ＝ 4、函数的间断点： ⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。 ⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。 ⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。 5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则： ⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。 ⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有 一根。 例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。 第二章一元函数微分学 一、导数 1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f ＝A f'＝A ……y'，， 。 2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。 3、基本初等函数的导数公式： ⑴＝0 ⑵＝n· ⑶＝，＝ ⑷＝·lnɑ，＝ ⑸＝cosx，＝－sinx ＝x，＝－ 接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x 叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 第3讲导数与微分 高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。 3.1 导数的概念 一、函数的变化率 对于函数) (x f y=，我们要研究y怎样随x变化，进一步我们还要研究变化的速率，可以先看看下面这个图 我们可以看出，对于相同的自变量的改变量x ?，所对应的函数改变量y ?是不同的。 x y ? ?可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数) (x f y=在一点 x的变化率呢？ 二、导数的概念 根据前面的介绍，我们给出下面的定义。 定义3.1设函数) (x f y=在点 x及其某个邻域U有定义，对应于自变量x在 x处的改变量x ?，函数相应的改变量为) ( ) ( x f x x f y- ? + = ?，如果当0 → ?x时极限 x y x? ? → ?0 lim 存在，则此极限值称为函数) (x f y=在点 x处的导数，或在点 x处函数) (x f关于自变量x的变化率，记作 ) ( x y'，或) ( x f' 这时，称函数) (x f y=在点 x处是可导的。 根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。 例1根据导数定义求c y=在点x处的导数。 解根据定义求导数通常分三步： （Ⅰ）求)()(00x f x x f y -?+=?： 0=-=?c c y （Ⅱ）求x y ??： 00=?=??x x y （Ⅲ）求x y x ??→?0lim ： 00lim lim 00==??→?→?x x x y 因此得出0)(='x y 。 如果函数)(x f 在其定义域每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数)(x f '，称 )(x f '为)(x f 的导函数。)(x f '在点0x x =的函数值)(0x f '就是)(x f 在点0x x =的导数。 例2 根据导数定义求2 )(x x f =在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： 22)()()()(x x x x f x x f y -?+=-?+=? 2 222x x x x x -?+?+= x x x 22?+?= x x x x x x x y ?+=??+?=??222 x x x x y x x 2)2(lim lim 00=?+=??→?→? 因此得出x x f 2)(='。 例3 根据导数定义求n x x f =)(（n 为自然数）在点x 处的导数。 解 按照由定义求导数的步骤： n n x x x x f x x f y )()()()(-?+=-?+=? n n n n n x x x x n n x nx x -?++?-+ ?+=-- 2212 )1( x x x n n x nx n n n ?++?-+?=-- 2212)1( 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(ln f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数， 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学 1.应选（B）.,)0,(x e x f =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2 y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在； 2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在 00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000 y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000 y x f y x f y y =→ 3.应选（B）. ,000lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f x x ,00 0lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f y y 220 000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）. ,00)(1sin )(lim )0,0(220 =Δ?ΔΔ=′→Δx x x f x x ,00)(1sin )(lim )0,0(2 2 0=Δ?ΔΔ=′→Δy y y f y y 2 22 2220 0)()()()(1 sin ))()((lim ] )0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2 222221 cos 21sin 2),(y x y x x y x x y x f x ++? += ,01sin 2lim 22) 0,0(),(=+→y x x y x 2222)0,0(),(1 cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则 ),(lim ) 0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）. 5.应选（D）.由 0),(,0),(??y y x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >> 高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~高等数学讲义(一)
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