电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案
第五章 电磁波的辐射
一、 填空题
1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ
2、 若一电流J =40ωcos x 't z e ，则它激发的矢势的一般表示式为A
=（ ）
答案： ?''-'=v Z r
v d e c r t x A
)(cos 4040
ωπμ 3、 变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、?）的关系是E =（ ），B
=（ ）
答案： t
A
E ??--?=
φ ,A B ??=
4、 真空中电荷只有做（ ）运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩
振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的p 变为（ ）答案：加速，81P 0
5、 势的规范变换为='A （ ），='φ（ ）
答案：ψ?+='A A ，t
??-='ψ
φφ
6、 洛仑兹规范辅助条件是（ ）；在此规范下，真空中迅变电磁场的势?
满足的微分方程是（ ）.
答案： 012
=??+??t c A φ ，02222
1ερφφ-=??-?t
c ， 7、 真空中一点电荷电量
t
q q ωsin 0=，它在空间激发的电磁标势为
（ ）.答案： r
c r
t q 004)
(sin πεωφ-=
8、 一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为λ,绕圆环的轴线以角速度ω匀
速转动,它产生的辐射场的电场强度为（ ）.答案： 零
9、 真空中某处有点电荷t
i e q q ω-=0那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷
电量等于（ ）.答案： )
(0),(c
r
t i e q t r q --=ω
10、 已知自由空间中电磁场矢势为A ，波矢为K ，则电磁场的标势φ =
（ ）答案：A K c
?=ω
φ2,
11、 真空中电荷）（t Q 距场点m 6
109?,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷
在（ ）秒时刻激发的. 答案： 0.17s 12、 电偶极子在（ ）方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面
13、 稳恒的电流（ ）(填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会
14、 已知体系的电流密度(,)J x t '
,则它的电偶极矩对时间的一阶微商为
（ ）答案： (,)v
J x t dv '?
15、 短天线的辐射能力是由（ ）来表征的,它正比于（ ）
答案：辐射电阻， 2()l
λ
16、 真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了1
R 的高次项)之间的关系
是（ ）答案： E c B n =?
17、 电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有
（ ）答案： 辐射压力
二、 选择题
1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是（ ）
A ． 2
10A c t ????-=? B. 210A c t
?
???+=? C. 22210A c t ????+=? D. 22
2210A c t
???+=?
答案：B
2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生（ ）
A ．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.
B 4.B
3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是（ ） A ．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ．电磁场在传播时需要介质；
C ．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；
D ．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是（ ） A ．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B
5.严格的讲,电偶极辐射场的（ ）
A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B
6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是（ ）
A. 2πθ=;
B. 4πθ=;
C. 6
π
θ= D. πθ,0=
答案：D
7.电偶极辐射场的平均功率（ ） A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C
三、 问答题
1、电磁波是怎样产生的。你能否从微观方面来说明为什么电磁波遇到边界面时会发生反射和折射现象。
答：电磁波是由运动的电荷产生的，当电磁波遇到介质界面时，电场、磁场引起介质极化、磁化。变化的电磁场使极化电荷产生振荡，生成的电磁波就是反射波和折射波.
2、电磁规范，除洛仑兹规范外，还有所谓库仑规范，其附加条件是0??=A 。
试问：在规范变换式','A A A t ?
????→=+?=-? 中，怎样选择空时函数?，
才是为库仑规范？采用库仑规范时，电磁势方程取什么形式？
解：规范变换式： ''A A A t
?
?
??→=+??=-
?
，
有 '()''A A A B
A A E
t t
?????=??+???=??=??-?-=-?-=??
即(',')A ? 与(,)A ?
描述同一电磁场。
① 采用库仑规范：22
'0
'()'00A A A A ?????=??=??+???=??+?=??= ， 即在规范变换中当?满足20??=是，就是库仑规范。 ② 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：
2
022220
11 0
A A J
c t c t A ?μρ?ε???--?=-???=-
?=
3、在什么条件下可选取0?=，0??=A 这样一种规范条件？此时，,E B
与势的关系是什么形式？
解：若采用库仑规范，且 =0,J=0ρ
的自由空间,势的方程变为：
2222211 0
A A c t c t
A ????
?--?=???=?=
① 当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势0?=，
把0?=代入①式，解得： ()0()0i k x t i k x t A A e B A A e ik A A A E i A t t ωω?ω--??=??
??=??=??=????
????
=-?-=-=????
4、若用矢量场Z （常称为赫兹矢量）表示电磁势,?
A 如下，
?=-??Z ， 21c t
?=
?Z
A ,?
A 还满足洛仑兹条件吗？
解：洛论兹规范辅助条件为：2
10A c t ???+=? ，将2
1Z
Z A c t
?=-??=?
，代入得： 2222211111()()()()0Z A Z Z Z c t c t c t c t c t
???????+=?+-?=?-?=?????
故满足洛伦兹条件。
5、我们此时此刻接收到的太阳光，大约是太阳上八分钟以前激发的，据此，试估算太阳与地球的距离。
解：根据推迟势解：00(,)
(',)(,)',(,)'44r
r x t J x t c c x t dv A x t dv r
r
ρμ?πεπ'--==?
? 可以看出，电磁作用是有一定的传播速度，空间某点X
在某时刻t 的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻r
t c
-时电荷电流分布，反过
来说。电荷产生的物理作用不能够立刻传至场点，而是在较晚时刻才传至场点所以推迟的时间r c 正是电磁作用从源点'X 传至场点X 所需的时间，c 是电磁作用
的传播速度。
所以太阳与地球距离811310860 1.4410m r ct s m s ==???=?.
6、若已知自由空间电磁波的矢势y e t kz A A
）（100102cos ?-=π，
求电磁波的标势 φ及电场强度.
解: 自由空间电磁波满足012222
=??-?t
A c A ,其解为）（t X K i e A A ω-?= 0
实数形式为）（t x K A A ω-?= cos 0,与已知的y e t kz A A
）（100102cos ?-=π比较,得
y s r
z z e A A e c
e k K =?===，，10102πωω根据洛伦兹规范条件:
012
=??+??t
c A φ
得:02=?=A K c ωφ,电场强度0ωφi t
A
E =??-
-?= ）（t X K i e A ω-? 0,取实数:
）（）（c
z t A e t kz A E y -??=--=100100102sin 102sin ππωω
7、试证明：在洛仑兹条件成立的情况下，有限辐射体系在远区的标势可用公式
?=?cn A 表示。
证明：因为有限辐射体系在远区的矢势展开有：
(')00(')()'(')(1')'4'4ikR ik R n x e J x e A x dv J x ikn x dv R n x μμππ-?==-?+-???
（仅考虑在一定频率的交变电流情形），第一项0()4ikR e A x P R
μπ??=
，只保留1
R 的最低次项，则有：A ikn A ?=?
。
依洛伦兹条件有： 2
210,0i A ikn A cn A c t c
?ω????+=?-=?=??
8、能否找到'0z A =的矢势'A ，'A 与A 描述同一个磁场。（提示：挑选ψ满足
z z
ψ
A ?=-
?）。 解：因满足规范变换的(','),(,')A A ??
描述同一电磁场，
即： ','A A t
ψ
ψ
???=+?=-
?
（ψ为任意标量函数） （1） (1)式的Z 分量为:'z z A A z ψ
?=+
? 依题意要求'0Z A =，则Z A z
ψ
?=-?，由以上分析知:只要选择一个标量函数ψ,
使之满足Z A z
ψ
?=-?,必然可以找到矢势' A ,且'0z A =
9、垂直放着的短天线（可看成电偶极辐射天线）向四周辐射电磁波。当一个移动的接收台在远处接收信号时，问在什么位置收不到信号？什么位置收到的信号只是最强信号的二分之一？ 解：电偶极辐射的平均能流密度 22
232
0sin 32P S n C R
θπε=
, S 正比于2sin θ 这表明电偶极辐射具有方向性
当0,θπ=时，没有辐射，90θ= 的平面上辐射最强
当
1'2S S =时，21sin 2θ=
sin 2
θ=± 45θ=
10、
电偶极矩辐射的矢势4P R
0μA =π?
????
，计算电磁场时，需要对A 作用算符?，试证明作用的结果，相当于代换：ik ?→n 。
解：0044ikR e A p p R R
μμππ??==?? 只保留R 的最低次项，因为?作用R 分母上后所得项更小，可忽略。即?
仅需作用于ikR
e 上。例如，令
004p A R
μπ= ， 00000()()4ikR ikR ikR ikR ikR pe A e e A A e ike n A ikn A R
μπ??=??=??+??=?=?
11、 一些荷质比e
m
相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。为什
么？
解：设体系有N 个粒子，第i 个粒子的质量为i m ，电荷为i e ，总质量为M ，则电
偶极矩1
1''N N i i i i i i e P e x m x m ====∑∑
①
在v c 的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为R
'
'i i i i
i
m x m x R m
M
=
=
∑∑∑ 即
'i i m x MR
=∑
,得：i i
e P MR m = ， 代入①式得：e P MR m
= 由于系统不受外力，则质心加速度00R P =→= ，所以没有电偶极辐射。 12、
电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律，说出f
,
g ,→→
T 的物理意义。
答：电磁波入射至物体表面有辐射压强。f ：作用力密度， g
：
动量密度， →→T ：动量流密度张量； ij T 表示垂直于i 轴单位面积单位时间内流过的动量的j 分量。
13、
一个体系的磁偶极辐射场取决于该体系磁矩m 的对时间的两次求导数
m 。说明荷质比相同的带电粒子系无磁偶极辐射。
解：体系的磁偶极矩：
11
1111''''2222N N
i i i i i i i i i i i
i
e e m x Jdv e x v x m v L m m ===?=?=
?=∑∑
?
L 是体系角动量，系统不受外力时，角动量守恒，因此：
102i i
e m L m === ， 所以不会发生磁偶极辐射。
四、 计算与证明
1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。 解：真空中的麦克斯韦方程组为t ?-?=??/B E ， （1）
0/ερ=??E ， （2） t ??+=??/000E J B εμμ，
（3） 0=??B （4）
如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L 和T 表示，则：由于0=??B ，所以B 本身就是无散场，没有纵场分量，即
0=L B ，T B B =；
T L E E E +=，0=??L E ，0=??T E ； T L J J J +=，0=??L J ，0=??T J ；
由（1）得：t T T T L ?-?=??=+??/)(B E E E （5） 由（2）得：0/)(ερ=??=+??L T L E E E （6） 由（3）得：t L L T L T ?+?++=??/)()(000E E J J B εμμ
)/()/(000000t t T T L L ??++??+=E J E J εμμεμμ （7）
由电荷守恒定律t ?-?=??/ρJ 得：)/(/0t t L L ???-?=?-?=??E J ερ 又因为 )/(00t L L ???-?==??E J ε，所以 t L L ??-=/0E J ε，即
0/0=??+t L L E J ε （8）
（7）式简化为t T T T ??+=??/000E J B εμμ （9）
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：
?????
????=??+==????+=???-?=??0
/0///00
000t t
t
L L L L T T T T T E J B E E J B B E εερεμμ （10） 由0=??L E 引入标势?，?-?=L E ，代入0/ερ=??L E 得，
02/ερ?-=?
上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以L E 对应静止电荷产生的库仑场。
2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则E 和B 可完全由矢势A 决定。若取0=?，这时A 满足哪两个方程？
解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则麦氏方程表示为： t ?-?=??/B E （1）
t ??=??/D H （2） 0=??D （3） 0=??B （4）
其中，E D ε=，μ/B H =，由于（4）式，引入矢势A ，使
A B ??= （5）
即B 可完全由矢势A 决定。 将（5）代入（1），得：
0)/=??+??t A E （， （6）
由此引入标势?，使?-?=??+t /A E ，即
t ??--?=/A E ? （7）
将（7）式代入（3）得：
0)(/2=????+?A t ? （8）
所以，?可由A 决定，进而，E 也可完全由矢势A 决定。 如果取0=?，由（8）式得：
0=??A （9）
将（5）、（7）代入（2），并注意到0=?，得：
0222
=??-?t
A
A με （10）
（9）、（10）即为0=?时A 满足的两个方程。
3. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势)(ωτA 表示，其中c z t /-=τ，A
垂直于z 轴方向。
证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，势的方程为
?????=??-?=??-?0
/0
/2
200222002t t ?εμ?εμA A 沿z 轴方向传播的平面波解为
)(0t kz i e ω-=A A ， )(0t kz i e ω??-=
A 与?满足洛伦兹条件：0/00=??+??t ?εμA 。所以000=-??εωμi i A k ，
即 ω?/2A k ?=c
因此，只要给定A ，就可以确定?，从而E 和B 随之确定。由于
A k A
B ?=??=i ， n B E ?=c
所以E 和B 只与矢势的横向分量有关，即平面电磁波可由⊥A 来表示，即
⊥⊥?=??=A k A B i ， n B E ?=c
其中ωτωωi c z t i t kz i e e e -⊥--⊥-⊥⊥===0)/(0)(0A A A A
根据题意⊥A 可记为)(ωτA ，其方向与z 轴垂直。
4. 设真空中矢势A 可用复数傅里叶展开为∑?-?+=k
i k i e t e t t ])()([),(*
x k x k k a a x A ，其
中*
k a 是k a 的复共轭。
（1）证明k a 满足谐振子方程0)()(d d 2222
=+t c k t t
k k a a 。
（2）当选取规范0=??A ，0=?时，证明0=?k a k 。
（3）把E 和B 用k a 和*
k a 表示出来。
解：（1）证明：因为∑?-?+=k
i k i e t e t t ])()([),(*x k x k k a a x A
所以，根据傅立叶级数的正交性，必有：
x x A a x k k d ),()(??=i e t t
x x A a x
k d ),(d )(d 2
222????=∴i k e t
t t t （1） 在洛伦兹规范下，J A A 022002/μεμ-=??-?t ，考虑到真空中0=J ，故，22002/t ??=?A A εμ，所以（1）式化为
x A a x k d )d )(d 222
2??=∴?c e t
t i k （ （2） 而 x x A a x k k d ),()(2222??=i e t c k t c k
于是 x x A A a a x k k d )],([)(d )(d 2
2222222?+?=+?t c k c e t c k t
t i k （3） 因为 ∑?-?+=k
i k i e t e t t ])()([),(*
x k x k k a a x A ，所以
),(),(22t k t x A x A -=?
所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以k a 满足谐
振子方程
0)(d )(d 2
22
2=+t c k t
t k k a a 。 （2）当选取规范0=??A ，0=?时
∑∑?-??-???+??=+??=??k
i k i k
i k i e t e t e t e t x k x k k x k x k k a a a a A )()([])()([*
*
0])()([*
=?-?=∑?-?k
i k i e t i e t i x k x k k a k a k 因为)(t k a ，)(*
t k a 是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有
0)()(*
=?=?t t k a k a k k
（3）已知∑?-?+=k
i k i e t e t t ])()([),(*
x k x k k a a x A ，所以
∑?-??-?=??=k
i k i e t i e t i ])()([*
x k x k k a k a k A B
∑?-?+-=??--?=k
i k i e dt t d e dt t d t ])()([*
x k x k k a a A
E ?
5. 设A 和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势。
（1）引入一矢量函数),(t x Z （赫兹矢量），若令Z ??=?，证明t
c ??=
Z
A 2
1。 （2）若令P ?-?=?，证明),(t x Z 满足方程P Z
Z 022
22
2
1μc t
c -=??-?，写出在真空中的推迟解。
（3）证明E 和B 可通过Z 用下列公式表出：
P Z E 02)(μc -????=，Z B ????
=t
c 21。
（1）证明：A 和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有
012=??+??t
c ?
A （1）
将Z ?-?=?代入（1）得：
012=??-??
+??）（Z A t
c （2）
即：）（t
c ????=??Z A 21，所以， t
c ??=Z A 21 （3）
（2）证明：因为标势?在洛伦兹规范下有方程：
2222
1ερ??-=??-?t c
将Z ?-?=?代入，得：
02222
)(1)(ερ-=?????
?????-???-t c Z Z （4）
令P ?-?=ρ，则上式化为 P Z Z ??-=????-???0
2222
1)(1)(εt c ，即
P P Z Z 020
2222
1
1μεc t c -=-=??-? （5）
与方程J A
A 02222
1μ-=??-?t
c 的推迟解?
-='d )/,'(4),(0V r c r t t x J x A πμ类比，得方程（5）在真空中的推迟解为
?-='d )
/,'(4),(02V r c r t c t x P x Z πμ （6）
（3）将Z ?-?=?，t
c ??=Z
A 21代入t ??--?=/A E ?及A
B ??=，得：
P Z E 02)(μc -????=， Z B ????
=
t
c 21 6. 两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。
证：电偶极矩的变化产生的辐射场为：
)(430n p B ?= R c e ikR πε，n n p E ??=)(42
0 R
c e ikR
πε 磁偶极矩的变化产生的辐射场为：
)(40n m E ?-= cR e ikR πμ，n n m
B ??=)(430 R
c e ikR
πμ 在两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞的过程中，取两粒子的连线为x 轴，则系统的电偶极矩
)(2121x x x x p +=+=q q q )(21x x p
+=q 由于两粒子质量相同，根据牛顿第二定律，有21x x
-=，所以0=p ，因此系统的电偶极矩产生的辐射场为0；又由于系统的磁偶极矩0=m ，所以系统的磁偶极矩产生的辐射场为0，即两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。
7. 设有一球对称的电荷分布，以频率ω沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释。
解：因为电荷为球对称分布，不失一般性，设球面上均匀分布了总电量为Q 的电
荷，于是，球面电荷密度为
24R Q πσ=
取如图所示相对的两块小面元d S 1, d S 2, 由于两块小面元对应相同的立体角，故有相同的面积21dS dS =，
2211d d d d q S S q ===σσ
因为两电荷元21d d q q ，球对称分布，又以相同的频率ω沿径向作简谐振动，所以有
0=p ，0=m
故此两电荷元的振动不能产生辐射场。根据场的叠加原理整个球对称分布的电荷体系沿径向的简谐振荡是不能产生辐射场的振动，辐射场为0。
8. 一飞轮半径为R ，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q 。设此飞轮以恒定角速度ω旋转，求辐射场。
解：设飞轮边缘的厚度为d ，于是边缘上的电荷面密度Rd Q πσ2/=，
体系的电偶极矩为?
??=???=l R Q
l d Rd Q d 2d 2x x p ππ 0]d sin d cos [220
20
=??+??=??π
πθθθθπy x Q e e 体系的磁偶极矩z z R Q R Q I e e S m 2
222
ωππω=??=??= 由此得0=p
，0=m ，故辐射场为0。
9. 利用电荷守恒定律，验证A 和?的推迟势满足洛伦兹条件。 证明：推迟势A 与?可写作：
?='0'd )','(4),(V V r t t x J x A πμ，?='0'd )
','(41),(V V r
t t x x ρπε?， 其中c
t c r
t t ''x x --=-
=。 对于r 的函数，有'-?=?
???=??'0'd )
','(4),(V V r
t t x J x A πμ
????+??=
'0'0'd )','(14'd 1
)','(4V
V V t r V r t x J x J πμπμ 因为r t c r t c t ''
1'1)','(????=????-
=??J J x J r t c t t t ''
1)','(')','('const '????-??=??=J
x J x J
所以)','(')','(')','(const 't t t t x J x J x J ??-??=??=
????-??+??=??='const '0'0'd )]','(')','('[14'd 1
)','(4V t V V t t r
V r t x J x J x J A πμπμ
???=??+??-??-='const '0'0'0'd )','('14'd )','('14'd 1')','(4V t V V V t r V t r V r t x J x J x J πμπμπμ ??=??+??-='const '0'0'd )','('14'd )','('4V t V V t r
V r t x J x J πμπμ
由于0'd )
','('d )','('''==?
???S V S r t V r t x J x J ，所以 ?=??=??'const '0'd )','('1
4V t V t r
x J A πμ
另外
????=??=??'
0'022'd '14'd 14111V V V t r V t r c t c ρ
πμρ
πε?， 所以???+??=??+
??='const '02'd ]'
)','('[141V t V t t r t c ρ
πμ?x J A 由电荷守恒定律，0'
)','('const '=??+??=t t t ρ
x J 即得A 和?的推迟势满足 012=??+??t
c ?
A
10.半径为0R 的均匀永磁体，磁化强度为0M ，球以恒定角速度ω绕通过球心而
垂直于0M 的轴旋转，设c R <<ω0，求辐射场和能流。（提示：0M 以角速度ω转动，可分解为相位差为2π的互相垂直的线振动；直角坐标基矢与球坐标
基矢变换关系为????
?
???????
?
?--=????? ??φθθ
θφφθφ
θφφθφ
θe e e e e e R z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin
解：本题相当于一个位于原点的磁偶极子的旋转，此磁偶极子的磁偶极矩为：
03
03
4M m R π=
其旋转振荡可分解为x ，y 方向上相位差为π/2的简谐振荡的合成。
x x t M R e m )cos(3403
ωπ=， y y y t M R t M R e e m )2
cos(34)sin(34030030πωπωπ-==
用复数形式表达为：x t i x e M R e m ωπ-=030
34，y t i y e M R i e m ωπ-=03
03
4 根据磁偶极矩辐射场公式n n m B ??=)(42
0 ikR
e R c πμ，得 r r x t
i ikR x e M R e R c e e e B ??-=-)(3
4420302
0ωωππμ r r x t kR i e R
c M R e e e ??-=-)(3)(203
020ωωμ
同理可得 r r y t kR i y e R
c M R i e e e B ??-=-)(3)
(2
03
020ωωμ 再根据直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系
????
? ??????? ??--=????? ??φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e R z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin
)(20
3
020)sin cos cos (3t kR i x e R
c M R ωφθφφθωμ--=
e e B
)
(203
020)cos sin cos (3t kR i y ie R
c M R ωφ
θφφθωμ-+=e e B )(2
3
020)cos (3φωφθθωμ+-+=+=t kR i y x e i R
c M R e e B B B 同理，根据辐射场公式
)(40n m E ?-= ikR e cR πμ，n S θπωμ2
2
32240sin 32R
c m = 及坐标基矢变换关系，可得：
)(0
3
020)cos (3φωφθθωμ+--=t kR i e i cR M R e e E
r R
c M R e S )cos 1(1822
32
6040θωμ+= 11. 带电粒子e 作半径为a 的非相对论性圆周运动，回旋频率为ω。求远处的辐射电磁场和辐射能流。
解：带电粒子作匀速圆周运动，其磁偶极矩m 是常矢量，因此不产生电磁辐射，但此系统的电偶极矩是一旋转的变化量r ea e p =，仿上题解法，把旋转量p 分解为x ，y 方向上的两个简谐振荡：
x t i x x eae t ea e e p ωω-==cos
y t i y t i y y eaie eae t ea e e e p ωπωπω---==-=)2/()2/cos(
由此可得：x t i x eae i e p ωω--= ，x t i x eae e p
ωω--=2 y t i y e ea e p ωω-= ， y t i y e iea e p ωω--=2 根据公式 )(40p
n B ?=ikR e R
k
i πμ及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系 ????
? ??????? ??--=????? ??φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e R z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin
得： )(20)cos (4φωθφθπωμ+--=
t kR i e i cR
ea
e e B 再根据公式 n p n E ??=)(40 ikR e R
kc i πμ，n p S θεπ2
2
3022
sin 32R c =及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系，得
)
(20)cos (4φωφθθπωμ+-+=t kR i e i R ea e e E ，r cR
a e e S )cos 1(3222
22240θπωμ+= 12. 设有一电矩振幅为0p ，频率为ω的电偶极子位于距理想导体平面为2/a 处，