一维无限深梯形势阱中微观粒子波函数和能级的数值解和变分解_罗强_姜玉梅_苏垣昌_
“球类”运动中二次函数
“球类”运动中的二次函数 数学和生活息息相关，数学就在你的身边. “新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动工程中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下. 一、跳绳运动中的二次函数 例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（） A ．1.5mB ．1.625mC ．1.66mD ．1.67m y 分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标． 解：设函数表达式为y =Ax 2 +Bx +C ，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得 A — B + C =1，A = —1/6， C =1.5，解得B =1/3， 9A +3B +C =1．C =1.5． 所以函数表达式为y = —61x 2+31x +2 3 ．当x =1.5时，y =1.625． 答案：B ． 二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题 例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球工程，他想：“怎样才能将铅球推得更
二次函数(附解析答案) 40页
填空： 1.体育加试时，一女生掷实心球，实心球飞行中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=－．已知女生掷实心球的评分标准如下表： 2.利用图象解一元二次方程x2＋x－3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y= 和直线y=－x，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数y=－的图象（如图所示），利用图象求方程－x＋3=0的近似解．（结果保留两个有效数字）
3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 象限． 4.已知抛物线y=x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，使△ABC的面积为10，则C点坐标为． 5.老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当x＜2时，y随x的增大而减小． 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数． 6.如图所示的二次函数y=ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a＋b＋c＜0．你认为其中错误的有（） 7.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b＋c的值为．
8.已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（） 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（） ．B． C．D． 的最小值是． 11.抛物线y=ax2＋ax＋x＋1与x轴有且只有一个交点，则a= ． 12.如图是二次函数y1=ax2＋bx＋c和一次函数y2=mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围．
九年级数学二次函数应用题 含答案
九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.
件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
二次函数最经典综合提高题
周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3 第二章 1.波函数/平面波： （1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数 2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子. 3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。 4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2 5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2 d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2 故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2 d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞ -∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程： 两个方程的特点：都是以一 个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程: 13.几率流密度 单位时间内通过τ的封闭 表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律： 15.电荷守恒定律： 第十二章 量子物理学 §12.1 实物粒子的波粒二象性 一、 德布罗意物质波假设 νλ h E h P == h E P h = = νλ 二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1） m k T v 32= 045.13A k Tm h mv h p h ==== λ （2）0191063.6A Mv h p h -?=== λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱 顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为c m h e c =λ，罗意波长为p h = λ 由题知：c v c m c m E k 2 32)1(2020= ?=?=-=γγ c m h v m h p h e e 2 3 2=== γλ，故 3 1= c λλ 三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜 例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A] （A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ． （C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D] （A）２ａ2／Ｒ．] （B）２ｈａ／ｐ． （C）２ｈａ／（Ｒｐ）． （D）２Ｒｈ／（ａｐ）． ? 量子力学复习题 ? 简答题 1得布罗意关系是什么？ 2与自由粒子相联系的波是什么波？表达式？ 3波函数ψ(x)=coskx 是否自由粒子的能量本征态？该波函数是否动量本征态？ 4怎样理解波粒二象性，为什么说几率波正确地把物质粒子的波动性和粒子性统一起来？ 5波函数是用来描述什么的？归一化条件的物理意义？波函数的标准条件？ 6波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？ 7什么是定态？定态有什么性质？ 8束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 9简并、简并度。 10用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。 11用球坐标表示，粒子波函数表为 ()?θψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率 12 ）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13写出一维谐振子的能级表达式。 14写出氢原子的波函数及能级表达式并指明量子数的取值范围。 15一个力学量Q 守恒的条件是什么 16写出几率流密度）（t r j ,? ?的表达式，几率守恒定律的公式。 17物理上可观测量对应什么样的算符?为什么? 18证明厄密算符的本征值必为实数。 19证明厄密算符属于不同本征值的两个本征函数，彼此正交。 20证明在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数，其定理也成立。 21坐标x 与动量 p x 对易关系是什么? 并写出两者的不确定性关系。 22对一个量子体系进行某一力学量的测量值，测量结果与表示力学量算符有什么关系？两个力学量同时具有确定值的条件是什么？ 23量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=n n n x c x ) ()(ψψ写出展开式系数n c 的表达式。 24力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？ 25设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1 和E 2，相应的本征矢量为 ｜n 1 > 2.4 一维方势阱 本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即 00,0,(),0,0,,x U x U x a x a ≤?? =-≤≤??≥? （2.76） 其相应的势能曲线如图2.6所示 图2.6 一维方势阱 下面我们就E 大于与小于零的两种情形分别讨论如下： （1）E>0的情形。 此时，描述粒子运动状态的波函数()x φ所满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ== （2.77） 202 22()0,l m d m E U dx φφ=+= （2.78） 22220,r r d m E dx φφ== (2.79) 式中,l m φφ与r φ分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。 为方便起见，令 22 12022 22，()。m m k E k E U = =+ （2.80） 则上述三式可改写为 2212 0,l l d k dx φφ== (2.81) 22 22 0,m m d k dx φφ== (2.82) 2212 0,r r d k dx φφ== (2.83) 其解分别为 1 1 (),ik x ik x l x Ae A c φ-'=+ （2.84） 2 2 (),ik x ik x m x Be B c φ-'=+ （2.85） 1 1 (),ik x ik x r x Ce C c φ-'=+ （2.86） 显然，C 必须为零，利用φ及其导数的连续性条件即可求得、 A C '与A 关系为 2222 1222212122()sin ,()()ik a ik a i k k k a A A k k e k k e --'=--+ (2.87) 122122212124,()()ik a ik a ik a k k e C A k k e k k e --=--+ (2.88) 从而求得其反射系数R 与透射系数T 分别为 222 2122222222 12212()sin ,()sin 4k k k a R k k k a k k -=-+ （2.89） 22 12 222222 12212 4,()sin 4k k T k k k a k k -=-+ （2.90） 由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T 小于1，而反射系数R 则大于零，二者之和也是等于1。 显然，在2(1,2,)k a n n π== 的特定情形下，其透射系数T 等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有 22 022(),m E U a n π+= (2.91) 与之相应的能量为 222 02 ,2n E U ma π=- (2.92) E n 叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T 与人射粒子能量E 的关系如图2.7所示。 图2.7 势阱的透射系数T 与入射能量的关系 当粒子能量E 与阱深一定时，有 0min 2 00 4() ,4()E E U T E E U U += ++ (2.93) 又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U 0的函数，且当满足 222 02 ()2n U n E ma π=- (2.94) 时，T =1。 （2）E<0的情形。 此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为 22220,l l d m E dx φφ-= (2.95) 第二十二章 微观粒子的波动性和状态描述 一 选择题 1．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的( A ) A. 动量相同 B. 能量相同 C. 速度相同 D. 动能相同 2．关于不确定关系?x ?p x ≥2 有以下几种理解，其中正确的是：( C ) （1） 粒子的动量不可能确定 （2） 粒子的坐标不可能确定 （3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定 （4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子 A. （1），（2） B. （2），（4） C. （3），（4） D. （4），（1） 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 2 倍，则粒子在空间的分布概率密度将( D ) A. 增大2 倍 B. 增大2 倍 C. 增大4倍 D. 不变 二 填空题 1．运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm 。质量为M =1g ，以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长是6.63?10-20nm 。（氢原子质量m H =1.67×10-27 kg ） 2．当电子受到1.0MV 的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7×10-13 m 。 （提示：须考虑相对论效应） 3．如果电子被限制在边界x 与x +?x 之间，?x =0.05nm,，则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1.3×10-23 _kg·m/s 。 4. 如果系统的激发态能级宽度为1.1eV ，此态的寿命是 5.99×10-16 s 。 5．设描述微观粒子运动的波函数为ψ (r , t )，则ψψ*表示粒子在t 时刻在（x , y , z ）处出现的概率密度；ψ (r , t )须满足的条件是单值、有限、连续 ；其归一化条件是 ??? 1=d d d 2z y x Ψ。 三 计算题 1．若不考虑相对论效应，则波长为550nm 的电子的动能是多少e V ？ 解：非相对论动能2k 2 1v m E =，而p = m v ，所以m p E 22k =。又根据德布罗意关系有p = h /λ代入上式，则 第二章薛定谔方程 基本要求： 1、了解光和微观粒子的波粒二象性，熟悉德布罗意关系； 2、理解波函数的表达形式及其物理意义； 3、掌握薛定谔方程的基本公式 4、理解波函数的标准条件和态叠加原理，并能应用到薛定谔方程的求解中； 5、什么是定态薛定谔方程，它的解有什么特点？ 6、熟练应用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱中的粒子； 7、理解一维线性谐振子波函数的形式及能量的量子化，并能进行简单计算； 8、了解微观粒子遇到方势垒的反射与透射。为什么在粒子能量小于势垒时，仍可以部分透射？ 第三章力学量的算符 基本要求： 1、什么是力学量的算符，掌握常见物理量的算符表达式； 2、什么是本征方程，算符的本征值和本征函数指的是什么？能够通过本征 方程求解算符的本征值； 3、熟悉算符的基本运算规则； 4、什么是线性厄米算符，它有哪些性质？会判断哪些算符是厄米算符； 5、厄米算符本征函数的正交性和完全性指的是什么？ 6、不同力学量同时有确定值的条件是什么？ 7、熟悉量子力学的不确定关系。 第四章氢原子和类氢离子的波函数和能级 基本要求： 1、了解有心力场中电子的特征； 2、理解库仑有心力场中电子波函数的描述方法，理解量子数的概念； 3、理解库仑有心力场中电子能级的量子化，理解简并度的概念； 4、理解轨道角动量的概念，能够证明轨道角动量各分量以及L2与各分量间 的相互关系； 5、理解核外电子的径向几率分布和角几率分布，会求简单系统的径向几率 分布和角几率分布。 第五章定态微扰论原子的能级 基本要求： 1、什么是微扰，采用定态微扰论近似求解能量本征算符H ∧ 本征方程的基本要求是什么？ 2、熟悉无简并定态微扰论中能量和波函数的一级修正，会求简单系统的一级近似； 3、了解有简并定态微扰论中波函数的零级近似和能量的一级近似； 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、什么是全同粒子？ 2、电子的自旋指的是什么？ 3、自旋角动量算符有哪些性质，其本征值是多少？若计入电子自旋，氢原子波函数需要哪些量子数描述，才能完整描述其电子的运动状态？ 4、全同粒子的不可区分性指的是什么？全同粒子体系的H ∧ 交换不变性是什么意思？ 5、由全同粒子组成的体系，若全同粒子是自旋为半整数的费米子，其波函数为反对称波函数；若全同粒子是自旋为零或整数的波色子，则波函数为对称波函数。全同粒子体系的波函数，除了满足标准条件外，还须满足对称或反对称。 6、泡利不相容原理指的是什么？ 7、对于具有多个电子的原子，受泡利不相容原理的限制，原子中的电子如何排列？ 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、了解电子在周期性微扰下的跃迁几率，在什么条件下，跃迁几率最大？ 2、原子与光子的相互作用有哪几种？其跃迁几率主要受那些因素影响？ 3、在有心力场情况下，状态间允许跃迁的选择定则是什么？ 一维势垒中的透射系数 利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系. 一维方势垒 势垒模型 在方势垒中，遇到的问题和 值得注意的地方。在求方势垒波 函数中，首先要知道这是一个什 么样问题，满足什么样的方程， 方程可以写成什么样的形式，在 求解方程中，波函数的形式应该 怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。 在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E 大于势垒高度0u 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于0u 的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。 下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于)(x U 是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式： ψψψE U m =+?-2 22h 在量子力学里, 必须知道波函数ψ, 因此必须要解薛定谔方程 t i U x m ??=+??-ψ ψψh h 2222 一维散射问题是一个非束缚态问题(()U x 与时间无关, 而E 是正的).因此令 t E i e x t x h -=)(),(ψψ 由此得到 ψψψ E U dx d m =+- 2 222h 按照势能()U x 的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式 022 2=+ψψ k dx d ?? ?><<<=. ,0,0; 0,)(0a x x a x u x U 先讨论0u E >的情形 粒子满足薛定谔方程分解为三个区域： ?????? ???>=-<<=+-<=-a x x E x dx d m a x x E x u x dx d m x x E x dx d m ),()(20),()()(20),()(2332 2 222022 2 2112 2 2ψψψψψψψh h h （1） ???? ?????>=+<<=-+<=+a x x mE x dx d a x x u E x dx d x x mE x dx d ,0)(2)(0,0)()()(0,0)(2)(3232220222 12 122ψψψψψψh h 特征方程02=++q pr r 的两个根21,r r 方程 0=+'+''qy y p y 的通解 两个不相等的实根21r r ≠ x r x r e C e C y 2121+= 两个相等的实根21r r = x r e x C C y 1)(21+= 一对共轭复根 βαi r ±=2,1 )sin cos (21x C x C e y x ββα+= 注： 0=+''qy y 的通解:特征方程02=+q r ,当0 二次函数的图象特点及其应用 二次函数的图象特点及其应用 课题名称: 二次函数的图象特点及其应用 课题的研究及意义: 数学是一门很有用的学科。古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力 课题研究内容: 1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function" 一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。 直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。 19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量 二次函数训练提高习题 1. 9.如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 4b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 2. 在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2 的图像可能是（ ） 3. ．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 4.、若二次函数c x x y +-=62 的图像过)321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-,则321,,y y y 的大小关系是 【 】 A 、321y y y B 、321y y y C 、312y y y D 、213y y y 5.已知二次函数5 1 2 - +-=x x y ，当自变量x 取m 时对应的值等于0，当自变量x 分别取1-m 、1+m 时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足┅〖 〗 A ．1y ＞0、2y ＞0 B ．1y ＜0、2y ＜0 C ．1y ＜0、2y ＞0 D ．1y ＞0、2y ＜0 6. 二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( ) y 8.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面的函数关系式：h=－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（） A．1米B．5米C．6米D．7米 9. 若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？（） 12. 7.已知抛物线2(0) y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．0 > a B．0 < b C．0 < c D．0 > + +c b a 13. 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24 y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 （） A．4米B．3米C．2米D．1米 14.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ) A．y=(x－2)2+1 B．y=(x+2)2+1 C．y=(x－2)2－3 D．y=(x+2)2－3 15. 如图，抛物线y=x2+1与双曲线y= x k 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 x k + x2+1<0的解集是( ) A．x>1 B．x<－1 C．0 第二章 一维定态问题 一 内容提要 1 几个重要的一维定态问题 [1] 一维无限深势阱 {0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ,3,2,122 2 22=μπ= n a n E n ∞≥≤<<π? ??=ψx x a x a x n a x n ,000 s i n 2)( [2] 一维线性谐振子 2221)(x x V μω= ,3,2,1)2 1 (=ω +=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] [3] 定轴转动子 I L H 2??2?= I m E n 22 2 = ),3,2,1,0(21 =π = ψ? m e im n 2 一维定态问题的性质 设)()(* x V x V = [1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x * ψ也是定态S.eq 的解。 [2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。 [3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)(' x ψ也是连续的； 如果)(x V 为阶梯形方势???><=a x V a x V x V 2 1)(且12V V -有限， 那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)(' x ψ不连续； 二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0 ,00 )(≤≥<<∞ =x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)6 1(12)(2/2222 π -=-=n a x x a x 讨论 ∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。 证明：2sin 2)(020 2 a dx a x n x a dx x x x a a n =π=ψ=?? )6 1(124)()(2220 22 2 2 2 2 π-=- ψ=-=-?n a a dx x x x x x x a n 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为 a dx 则 20a a dx x x a ==? 320 22a a dx x x a ==? 1243)(2222 22a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。 [1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态a x n a x n π=ψsin 2)(的几率n P 。 解：[1] 由归一化条件 ?? +∞ ∞ -=-=ψa dx x a Ax dx x 0 2 2 1)]([)( 得530 a A = 所以)(30 )(5x a x a x -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x n n ψ =ψ∑ )c o s 1(15 4)()(3 3π-π =ψψ=? n n dx x x c n n 2662 ])1(1[240n n n n c P --π= = 999.0])1(1[2402 16 1≈--π =P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。 3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波 函数来不及改变，即a x a x x π= ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。 解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是： 初三数学——二次函数实践与探索（5） 例1、关于x 的二次函数y ＝-x 2 ＋(k 2 -4)x ＋2k-2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． (1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； (3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若 例2、如图所示, 在平面直角坐标系xoy 中， 矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm ，点A 、C 分别在y 轴的负 半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过点A 、B ，且18a+c=0. (1)求抛物线的解析式. (2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度向终点C 移动. ①移动开始后第t 秒时，设△PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围. ②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标，如果不存在，请说明理由。 例3、如图1 ，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A 在坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上， 经过B 、C 、D 三点的抛物线c / 交x 轴于点M 、N(M 在N 的左边). (1)求抛物线c / 的解析式及点M 、N 的坐标； (2)如图2，另一个边长为22的正方形////D C B A 的中心G 在点M 上，/B 、/ D 在x 轴的负半轴上(/D 在/ B 的左边)，点/A 在第三象限，当点G 沿着抛物线c 1从点M 移到点N ，正方形随之移动，移动中//D B 始终与x 轴平行. ①直接写出点/A 、/B 移动路线形成的抛物线/)(c A 、/)(c B 的函数关系式；②如图3，当正方形// //D C B A 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时，求点G 的坐标． 课堂练习： 班级 姓名 班级 姓名 量子力学复习要求 2008. 4. 24 一. 基本概念: ●波粒二象性, 德布罗意关系 ●波函数的统计解释,波函数的标准条件,波函数的归一化●几率与几率流密度与波函数的关系 ●几率与几率密度的区别; ●算符, 坐标算符, 动量算符, 角动量算符及哈密顿算符的 构成. ●本征值方程, 本征值, 本征函数 ●氢原子波函数的构成, 简并的概念, 4个量子数 ●态叠加原理, 波函数按照本征函数展开, 展开系数的意义●算符的对易关系与测不准关系 ●表象的概念 ●定态微扰论: 求能量的一级修正,二级修正,波函数一级修 正的基本思路 ●含时微扰论: 计算跃迁几率的基本思路 ●自旋概念的引入, 自旋算符, 泡利矩阵 ●在某个自旋态求平均值, 自旋算符的本征值和本征函数●全同性原理的含义与表述 ●玻色子与费米子的定义与区别,泡利不相容原理的表述二.计算题与证明题 ● 一维薛定谔方程的求解; ● 简单的本征值方程求解; ● 几率与几率密度的计算; ● 力学量在某个态平均值的计算; ● 有关厄密算符性质的证明(本征值为实数, 本征函数正交等) ● 证明或检验算符的对易关系及测不准关系; ● 简单的定态微扰论求能量的一级和二级修正; ● 自旋算符的本征值问题. 量子力学概念题, 证明题和计算题的具体要求 1. 微观粒子的波粒二象性,徳布罗意关系的物理意义(1.2, 1.3); 2. 一维无限深势阱的波函数的表达式, 习题2.3的结果可以直接用: 2.3一粒子在一维势场 (),0,0,0,x U x x a x a ?∞? 中运动, 求粒子的能级和对应的波函数. 结果: 粒子的能级为 222 22n n E a πμ=, 归一化的波函数为 n n x a πψ= . 3. 利用波函数的标准条件定解(2.3, 2.7); 浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32-m =2，但会忽略2-m 0≠，说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合， 往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322 --=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42-=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><量子力学第二章总结
第十二章-量子物理学
量子力学复习题
一维方势阱
22微观粒子的波动性和状态描述习题解答
复习大纲_量子力学
一维势垒问题总结
二次函数的图象特点及其应用
非常好：中考经典二次函数应用题(含答案)
第二章 一维定态问题
二次函数综合题(5)--运动类问题
量子力学-复习要求
《二次函数》易错题试卷及标准答案