24 解直角三角形分类练习 verygood print

解直角三角形复习练习

航海问题及其解法

在近几年的中考试题中，利用解直角三角形的知识解决有关航海的问题层出不穷，常见的类型主要有以下几种：

一、求距离

例1．台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立

即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、

沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测

得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C

在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，

分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．

二、求速度

例2．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海

里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°

方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙

船恰好在其正西方向．求乙船的速度v（精确到0.1海里／小

时）．

（参考数据：sin32°＝0.53，C os32°＝0.85，t A n32°

＝0.62，C ot32°＝1.60）

三、确定航行方向

例3．如图3，海中有一小岛P，在其距海里范围内有暗

礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，

且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮

船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度

方向航行，才能安全通过这一海域．

四、确定航船是否进入危险区

例4．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段

自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°的方向上．前进

100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上（如图4）．在以航

标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，

.73）．

解直角三角形

一、忽视直角三角形致错

例1：在ABC △中A B C ∠∠∠，，的对边为a b c ，，，且a ：b ：c =3：4：5，求证：5

7

sin sin =+B A ． 错解 证明：设345a k b k c k ===，，，

则5353sin ===

k k c a A ，5

454sin ===k k c b B ． ∴5

7

5453sin sin ===+B A ．

二、混淆规律、特殊函数值致错 例2 下列说法：

（1）若α为锐角，则0tan 1a <<；

（2）在ABC ?中，已知34a b ==，，则4

3tan =a ； （3）3

3

333130tan 45tan )3045tan(75tan +=

+=?+?=?+?=?； （4）若α为锐角，且

a cot 35tan 1

=?

，则?=55α． 其中正确的说法是（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．都不对

三、边角关系理解不透致错

例3 在Rt ABC △中，?=∠90C ，AC=1cm ，BC=2cm ，求sinA ，tanA ． 错解 在Rt ABC △中，∵?=∠90C ，AC=1，BC=2，

∴BC AC 2

1

=

． ∴?=∠90B ． ∴?=∠60A ．

∴sin tan 2

A A =

=

四、概念不清致错

例4 如图，直升机在长江大桥AB 上方P 点处，此时飞机离地面高度为a cm ，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得点A 俯角为α，点B 的俯角为β，求长江大桥AB 的长度．

a O

P C

B

A

错解 在Rt AOP △中tan OA

APO APO OP

α∠=∠=， ∴OA=OP×tan a ．

在Rt BPO △中，BPO β∠=． ∵tan OB

BPO OP

∠=

，∴BPO OP OB ∠?=tan ． ∴AB=OA -OB=OP(βαtan tan -)=a (βαtan tan -)．

解直角三角形的探究性问题

素质教育下的数学学习应是生动活泼的、主动的且富有个性的，为体现这一特色，自己提出问题自己解答的探究性问题应运而生．解决这类问题，不仅需要扎实的基础知识和基本技能，而且需要思维的灵活性和创造性．

例 如图1，山上有一铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度CD 都可直接测得，从A D C ，，三点可以看到塔顶H ，可供使用的测量工具有皮尺，测角仪．

（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度HG 的方案，具体要求如下：

①测量数据尽可能少；②在所给图形中，画出你设计的测量平面图，并将应测数据记在图形上（如果测A D ，间距离用m 表示；如果测D C ，间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ，，等表示，测角仪高度不计）．

（2）根据你测得的数据，计算塔顶H 到地面的高度HG （用字母表示）．

解直角三角形的中的数学思想

数学思想是数学的灵魂，学习了解直角三角形，下面向大家介绍其中的一些数学思想． 一、数形结合思想

在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解．

例1 已知tanA=

4

3

，求sinA 的值．

二、转化思想

将斜边三角形转化为直角三角形，是解决有关问题的重要的思想方法，解决的方法是作三角形的高． 例2 如图2，在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC ．

分析：已知三角形的两角和边，求其中的一边的长，我们可以通过作三角形的高，将原三角形转化为两个直角三角形求解．

三、方程思想

通过设未知数表示三角形中的数量关系，构造方程解决问题的思想，即方程思想．

例3 如图3，天空中有一个静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 点的仰角为45°，从地面B 点测得C 点的仰角为60°．已知AB ＝20 m ，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．

四、建模的思想

解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型．

例4 如图4，公路PQ 和公路PN 在P 处交汇，∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160m ，设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路PN 上由P 向N 方向行驶时，学校是否会受噪音的影响？设拖拉机的速度为18km/s ，如果有影响，那么影响的时间是多长？

图

1 图

2 图4

图

3

同角三角函数的基本关系

从表中不难得出：

130cos 30sin 0

2

2

=+ ， 0

030tan 30

cos 30sin = 145cos 45sin 0

2

2

=+ ， 00

45tan 45

cos 45sin = 160cos 60sin 0

2

2

=+ ，

00

60tan 60cos 60sin =

那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 2

2

=+B A ，A A

A

tan cos sin =呢？ 事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：

如图，在0

90,=∠?C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 2

2

=+B A （平方关系）

②A A A cos sin tan =

，A

A

A sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =?A A （倒数关系）

证明：①2

22,cos ,sin c b a c

b A

c a A =+==

1cos sin 222

222

22

2==+=??

? ??+??? ??=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 2

2

=+A A ②a

b A b a A

c b A c a A ====

cot ,tan ,cos ,sin

A b

a b c c a c b c a

A A tan cos sin ==?==∴ A a

b

a c c

b c

a c b

A A cot sin cos ==?== 即 A A A cos sin tan =，A A

A sin cos cot =

③a

b

A b a A ==cot ,tan

1cot tan =?=?∴a

b

b a A A

即 1cot tan =?A A

通过以上证明，可以得出以下结论：

①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 2

2

=+A A ．

②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A A

A cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即A

A

A sin cos cot =．

④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =?A A ．

运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程． 例1 已知A ∠为锐角，,5

3

cos =A 求A A tan sin ，．

例2 计算0

020245tan 30sin 30cos -+（解法不唯一）

解：

本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．

1．化简：0

10cos 10sin 21+

2．A ∠为锐角，化简cotA

tanA 1

sinA cosA 1+?

?

求三角函数值的策略

求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．

一、设参数法

例1 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =12

5

，那么sin B 等于（ ） (A)

135 (B) 1312 (C) 125 (D)5

12

二、等线段代换法

例2 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os ∠DCF 的值是______．

三、等角代换法

例3 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D ⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ）

（A ）

311 （B ）113 （C ）119 （D ）9

11

四、等比代换法

例4 如图4， 在Rt △ABC 中，ACB =90，C D ⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）

(A)43 (B)34 (C)53 (D)5

4

图

1 图

2 图

3

图4

三角函数中的两个关系式

一、公式的发现

如右图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，由三角函数的定义可得：

c a A =

sin ，c b A =cos ，b a A =tan ，a

b

B =tan ，则有： （1）2

222

2

2

2

cos sin c b a c b c a A A +=??

?

??+??? ??=+ 由勾股定理，得：a 2

＋b 2

＝c 2

，所以，有：sin 2

A ＋cos 2

A ＝1 ① （2）1tan tan =?=

?a

b

b a B A ②

说明：（1）当∠A＋∠B＝90°时，因为sinB ＝c

b A =cos ， 所以此时又有sin 2

A ＋sin 2

B ＝1.

(2)公式②成立的条件是∠A＋∠B＝90°．

二、公式的应用

例1 （北京西城区中考题）若α为锐角，135cos sin 2

2=+α，则α＝＿＿．

例2 （包头市中考题）已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，3

2

cos =

B ，则B sin ＝（ ） Ａ．

352 Ｂ．35 Ｃ．55 Ｄ．5

5

2 例

3 （山西省中考题）计算：

?????-?+?46tan 45tan 44tan 42sin 48sin 22＝＿＿＿＿＿．

锐角三角形函数应用

一、锐角三角函数的应用

基本要求：1．掌握仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等概念．

2．能根据题意在所给的图形（或根据题意自己画出图形）中恰当地构造直角三角形，运用解直角三角形（有时还需要借助方程）的有关知识解决实际问题．

二、动手实践，培养探究和创新能力

基本要求：1．能够运用解直角三角形的有关知识，动手设计解决现实生活中的测量高度、长度的方案．

2．能够解决与解直角三角形有关的综合性问题和探索性问题． 三、典型例题解析

例1 如图1，在ABC △中，9030C B AD ==

∠，∠，

平分CAB ∠．已知AB =AD =______．

例2 如图2，一轮船原在A 处，它的北偏东45

方向上有一灯塔P ，轮船沿着北偏西30

方向航行4小时到达B 处，这时灯塔P 正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为25海里／时，求轮船在B 处时与灯塔P 的距离．（结果可保留根号）

锐角三角函数值的求法

一、选择题（每小题3分，共9分）

1．在ABC △中，90C ∠=

，5a =，13c =，用计算器求A ∠约等于（ ） Ａ．1438'

Ｂ．6522'

Ｃ．6723'

Ｄ．2237'

2．已知α是锐角，且tan α=，那么α的范围是（ ）

Ａ．6090α<<

Ｂ．4560α<<

Ｃ．3045α<<

Ｄ．030α<<

二、填空题（每小题3分，共12分）

3．用计算器求sin80

的按键顺序是________． 4．用计算器求tan 2525' 的按键顺序是________．

5．已知cos 0.8921A =，则A ∠=________．

6．已知斜坡120AB =米，AB 的坡度i =，则斜坡的高h =________米．

三、训练平台（每小题15分，共30分） 7．用计算器求下列各式的值．

（1）sin37

； (2)cos 41

； (3)tan321857'''

．

8．根据下列条件求θ的大小．

（1）tan 4.326θ=； (2)sin 0.7570θ=； (3)cos 0.5835θ=．

四、提高训练

9．如图，美国侦察机B 飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A 奋起拦截．地面雷达C 测得，当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为16DCA ∠=

，15DCB ∠=

，它们与雷达的距离分别为80km AC =，81km BC =．求此时两机距离多少千米．（精确到0.01km ，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29)

锐角三角函数大小比较

在学习锐角三角函数时，经常遇到比较大小的问题，如何快速有效地解决这类问题呢？下面介绍几种方法，供同学们学习参考．

一、同名锐角三角函数的大小比较

对于同名锐角三角函数大小的比较，要准确把握住它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小．

例1 比较大小：sin 41

______sin 42

． 例2 比较大小：cot 30

______cot 22

．

二、同角锐角三角函数的大小比较

对于同角锐角三角函数的大小比较可用下列方法： 当45α=

时，sin cos αα=，tan cot αα=；

当45α<

时，sin cos αα<，tan cot αα<，且cot 1>；

当45α>

时，sin cos αα>，tan cot αα>，且cot 1α<．

例3 比较大小：sin 25 ______cos 25 ． 例4 比较大小：tan52 ______cot 52

．

三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较

对于不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较我们可以利用互为余角的锐角三角函数关系化为同名三角函数后再比较．

例5 比较大小：tan 48

_______cot 41

． 比较大小：sin36

_______cos55

． 下面提供一道中考题供同学们练习：

（新疆中考题）（1）如图（1），（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．

（2）根据你探索到的规律，试比较18 ，34 ，50 ，62 ，88 ，这些锐角的正弦值的大小和余弦值

的大小．

（3）比较大小（在空格处填写“＜”，或“＞”，或“＝”号）：

α= ，则sinα____cosα；

若45

α< ，则sinα____cosα；

若45

α> ，则sinα____cosα．

若45

（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10 ，cos30 ，sin50 ，cos70 ．