恒定电流的磁场(1)答案

一. 选择题:

1、(基础训练1) ［ D ］ 载流的圆形线圈(半径a 1

)与正方形线

圈(边长a)通有相同电流I ．如图11-23若两个线圈的中心O 1 、O 2

处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C)

π2∶4

(D) π2∶8

提示

()

8

2,,22135cos 45cos 2

44,

2212

000201

02121ππμπμμ===

-??

?

==a a B B a I

a I

B a I

B o o o o 得

由

2、(基础训练3)［ B ］.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在

铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如

图)的磁感强度B 的大小为 (A) )

(20b a I

+πμ． (B) b b a a I +πln 20μ． (C) b b a b I +πln 20μ． (D) )

2(0b a I +πμ．

提示：

b b a a I r dr a I r r

dI

dB dr a

I

dI a b b

+======

???+ln

222dI B B B ,B d B ,2P ,)(dr r P 0000πμπμπμπμ的大小为：，

的方向也垂直纸面向内据方向垂直纸面向内；根处产生的它在，电流为导线相当于一根无限长的直的电流元处选取一个宽度为点为在距离

3、(基础训练5) ［ B ］无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B

的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图11-27所示．正确的图是

提示：根据安培环路定理： 当 a r < 时 0=B

当a r b >>时 222

202a

b a r r I B --?=πμ 当b r >时 r

I

B πμ20=

且a r =时0=B 和 a r b >>时，曲线斜率随着r 减小。

图11-23

图11-27

4、(自测提高1) ［ C ］

在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a ，如图．今在此导体上通以电流I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O ′点的磁感强度的大小为 (A)

2

2

02R a a I ?

πμ (B)

2

2

202R

r a a I -?

πμ

(C) 2

22

02r R a a I -?πμ (D) )(222220a

r R a a I -πμ

提示：

5、（自测提高7）［C ］如图，正方形的四个角上固定有四个电荷量均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴

旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关

系为

(A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 =

2

1

B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 提示： 设正方形边长为a ,)2

2

(a b b OC AO =

==式中， 两种情况下正方形旋转时的角速度ω 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为 π

ω2q I =

当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 点产生的磁感应强度的大小为b

I

B 20μ=

，实际

上有两个点电荷同时绕AC 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感应强度的大小为

b I

b

I

B B 001222μμ=

?

==

同理，当正方形绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为

b

I

b I

B B 0022244μμ=

?

== 故有122B B =

二. 填空题

6 （基础训练11）

一磁场的磁感强度为k c j b i a B

++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半

球壳表面的磁通量的大小为_____πR 2c _______Wb ．

【提示】：

a R r O

O ′

I

C q 小圆柱大圆柱B B B

+=

??=?+?圆面

半球

0S d B S d B

??-=?-=?-

=?圆面

半球

c R S B S

d B S d B 2

π

7（基础训练13）如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积为S1和S2的两个矩形回路．两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行．则通过面积为S1的矩形回路的磁通量与通过面积为S2的矩形回路的磁通量之比为 1:1 提示：

设矩形回路的高为l ，

则通过面积为S 1的矩形回路的磁通量

2ln 22020

1

1π

μπμIl ldr r I S d B a a S m =?=?=Φ?? 同理通过面积为S 1的矩形回路的磁通量

2ln 22042022

π

μπμIl ldr r I S d B a a S m =?=?=Φ??

8、（基础训练17）一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径为R =6.00

×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =__6.67

×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_7.2×10-7（Am 2）___．(μ0 =4π×10-7 H ·m -1)

提示： 2

;42,22

00qvR

IS p R qv

R

I

B R

qv

T q I m =

==

=

==πμμπ等效的圆电流，

10、（自测提高13）一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地

流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a (如图所示)．则B

在圆柱侧面

S 上的积分 =???S

S B

d ______0______．

提示：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感

应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。 11、（自测提高16）如图11-55所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R

的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度ω 0绕z 轴转动，则沿着z 轴从－∞到

＋∞磁感应强度的线积分等于π

200q

ωμ．

提示： 由安培环路定理 ????+∞

∞

-=

l B l B

d d I 0μ=

而 π

=20

ωq I ， 故

??+∞

∞

-l B d = π200q

ωμ

12、（自测提高17）如图所示，在宽度为d 的导体薄片上有电流I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导体中线附近处P 点的磁感应强度B

的大小为d

I

20μ

提示：

d

I i B 0

02121d r r P μμ==∴电流，，故可视为无限大平面《因为，

点到薄片的距离为设

三.计算题 13、（基础训练21）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图示中O 点处的磁感应强度． 解: B 1=B 4=0 方向垂直纸面向里

方向垂直纸面向里

方向垂直纸面向里

14、（基础训练22）

横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R 1和R 2，芯子材料的磁导率为μ，导线总匝数为N ，绕得很密，若线圈通电流I ，求． (1) 芯子中的B 值和芯子截面的磁通量． (2) 在r < R 1和r > R 2处的B 值．

解：(1) 在环内作半径为r 的圆形回路, 由安培环路定理得

NI r B μ=π?2， )2/(r NI B π=μ

在r 处取微小截面d S = b d r , 通过此小截面的磁通量

r b r

NI

S B d

2d d π==μΦ

穿过截面的磁通量

?=

S

S B d Φr b r

NI

d 2π=

μ1

2

ln

2R R NIb

π

=

μ (2) 同样在环外( r < R 1 和r > R 2 )作圆形回路, 由于

0=∑i

I

I 俯视图

R

I R I B 8412002

μμ=?=R

I R I B πμπμ2)135cos 45(cos 42003=

?-?=R I R I B B B B B πμμ280

04321+=+++=

02=π?r B

∴ B = 0

15、（基础训练23）. 如图11-40所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀

带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点

的B

的大小及其方向．

解: 圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为

λωω

πλπR R T q I ===

/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得

2

/32230)(2y R R B B y +=

=ωλ

μ 方向沿y 轴正向。

16、（自测提高28）用安培环路定理证明，图11-62中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在．

证明：用反证法.

假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B ．作矩形有向闭合环路如图所示，其ab 边在磁场内，其上各点的磁感强度为B ，cd 边在磁场外，其上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：

0d ==??ab B l B L

因 0≠ab ．所以 B = 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．

17、（自测提高32）如图，半径为a ，带正电荷且线密度是λ (常量)的半圆以角速度ω 绕轴O ′O ″匀速旋转．求： (1) O 点的B

；

(2) 旋转的带电半圆的磁矩m p

．

(积分公式

π=?π

2

1

d s i n 0

2θθ)

解：(1) 对θ～θ +d θ 弧元，θλd d a q =，旋转形成圆电流

q I d 2d π

=

ω

θωλ

d 2a π

=

2分

它在O 点的磁感强度d B 为：

3

2202sin d a a B θμ=

θωλ

d 2a π

θθωλ

μd sin 420π

=

3分

θ

??

π

π

=

=0

20d sin 4d θθωλμB B a

q

π=

8

=

800ωμωλ

μ 1分

B

的方向向上． 1分

(2) θωλθd )2/(sin d 22a a p m ππ=θθωλd sin 2

12

3a = 3分

?

?=

=π

θθωλ0

232

1

d sin d a p p m m 4/4/23qa a ωωλ=π= 1分

m p

的方向向上． 1分

四、附加题

18(基础训练26 ) 均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．如图11-43求： (1) O 点的磁感强度0B

；

(2) 系统的磁矩m p

；

(3) 若a >> b ，求B 0及p m ． 解：（1）将带电细杆分割为许多电荷元。在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：

dr dq T dq dI π

ωλ

ωπ2/2===

它在o 点产生的磁感应强度为

方向垂直于纸面向内。,42000dr r r dI

dB πωλ

μμ=

=

根据?=00B d B

，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为

a

b

a dr r B b

a a

+==∴?

+ln 4400πωλμπωλμ （2） dq 所等效的圆电流dI 的磁矩为dr r

SdI dp m π

λω

π22

==,方向垂直于纸面向内； 根据?

=m m p d p

，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p

的大小为

()[]

332

6

2a b a dr r p b

a a

m -+=

=∴?

+ωλ

πλωπ （3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，等效的圆电流：π

ω

λ2b I = 在o 点产生的磁感应强度为

a b a I

B πωλμμ4200==∴系统的磁矩 2

222b

a a

b IS p m ωλππωλ===∴