高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.2空间线面关系的判定二垂直关系学案苏教版选修2_120180312397

3．2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系

[学习目标] 1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．

知识点 空间垂直关系的向量表示

1．用向量法如何证明线面垂直？

答案 证直线的方向向量与平面的法向量平行．

2．平面α上的向量a 与平面β上的向量b 垂直，能判断α⊥β吗？

答案 不能．

题型一 证明线线垂直问题

例1 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．求证：EF ⊥BC .

证明 由题意，以点B 为坐标原点，在平面DBC 内过点B 作垂直于BC 的

直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过点B 作垂直BC 的直线

为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)，

因而E (0，12，32)，F (32，12

，0)， 所以EF →＝(32，0，－32

)，BC →＝(0,2,0)，

因此EF →·BC →＝0.

从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .

反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．

跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，垂足为A ，AB ⊥AD

于A ，AC ⊥CD 于C ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证AE ⊥CD .

证明 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，

设PA ＝AB ＝BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,1)．

∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．

∴C (12，32，0)，E (14，34，12

)． 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD 得AC →·CD →＝0，

即y ＝233，则D (0，233

，0)， ∴CD →＝(－12，36

，0)． 又AE →＝(14，34，12

)， ∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34

＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .

题型二 证明线面垂直问题

例2 如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求

证：EF ⊥平面B 1AC .

证明 方法一 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，

E (2,2,1)，

F (1,1,2)．

∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)

＝(－1，－1，1)．

AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)

＝(0,2,2)，

AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．

而EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)

＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.

EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，

∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .

又AB 1∩AC ＝A ，AB 1?平面B 1AC ，AC ?平面B 1AC ，

∴EF ⊥平面B 1AC .

方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，

则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12

(－a ＋b ＋c )， ∵ AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .

∴EF →·AB 1→＝12

(－a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝12

(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12

(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，

同理，EF ⊥B 1C .

又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1?平面B 1AC ，B 1C ?平面B 1AC ，

∴EF ⊥平面B 1AC .

反思与感悟 本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．

跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的

交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .

证明 方法一 如图取D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为

x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为2，

则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，

G (0,2,1)，B (2,2,0)，

D (0,0,0)，

∴OA 1→＝(1，－1,2)，OB →＝(1,1,0)，BG →＝(－2,0,1)，

而OA 1→·OB →＝1－1＋0＝0，OA 1→·BG →＝－2＋0＋2＝0.

∴OA 1→⊥OB →，OA 1→⊥BG →，

即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，

而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .

方法二 同方法一建系后，设面GBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则????? BG →·n ＝0，BD →·n ＝0，

∴????? －2x ＋z ＝0，－2x －2y ＝0.

令x ＝1得z ＝2，y ＝－1，

∴平面GBD 的一个法向量为(1，－1,2)，

显然A 1O →＝(－1,1，－2)＝－n ，

∴A 1O →∥n ，∴A 1O ⊥平面GBD .

题型三 证明面面垂直问题

例3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中

点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .

证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A －

xyz ，

则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E (12，12，12

)，连结AC ，

设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为(12，12

，0)． 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝(0,0，12

)， 所以OE →＝12

AS →，所以OE →∥AS →. 又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，

又OE ?平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .

反思与感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

跟踪训练3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .

证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，

BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0,0，12

)，