《空间中点直线平面之间的位置关系》知识点总结[]
高中数学必修 2 知识点总结
第一章空间几何体
1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1三视图：
正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下
2画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的步骤：
（1）. 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）. 平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x， z 轴的线长度不变；（3）. 画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积
（一）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积S
2 rl 2 r 2
3圆锥的表面积S
rl r 24圆台的表面积
S
rl r 2Rl R2
5球的表面积S
4 R 2
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积V S底h2锥体的体积V 1
S底 h 3
3台体的体积 V1S S S )h 4 球体的体积4R3
（ S V
三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
② 经过两条相交直线，有且只有一个平面
③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面
它给出了确定一个平面的依据。
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线（两个平面的交线）。
符号语言： P,且 P l , P l 。
公理 4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。
符号语言： a // l ,且 b // l a // b 。
（2）空间中直线与直线之间的位置关系
1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线 a, b ，经过空间任意一点O作直线 a // a, b // b ，我们把
a 与
b 所成的角（或直角）叫异面直线a, b 所成的夹角。（易知：夹角范围 090 ）
定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;
共面直线
2. 位置关系：平行直线：同一平面内，没有公共点;
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（ 3）空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内（l）有无数个公共点
上上下下
33第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结直线在平面外
直线与平面相交（l A）有且只有一个公共点
直线与平面平行（l / / ）没有公共点
1.内容归纳总结
（1）四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言： A l , B l ,且A, B l。
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（ 4）空间中平面与平面之间的位置关系
两个平面平行（/ / ）没有公共点
平面与平面之间的位置关系有两种：
两个平面相交（l）有一条公共直线
直线、平面平行的判定及其性质
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1.内容归纳总结
（ 1）四个定理
定理定理内容
直线与平面平面外的一条直线与平面
内的一条直线平行，则该直
平行的判定
线与此平面平行
平面与平面一个平面内的两条相交直
线与另一个平面平行，则这
平行的判定
两个平面平行
一条直线与一个平面平行，
符号表示
a,b,且 a // b
a //
a, b,
a b P, a //,b //
//
分析解决问题的常用方法
在已知平面内“找出”一条直线与已知
直线平行就可以判定直线与平面平行。
即将“空间问题”转化为“平面问题”
判定的关键：在一个已知平面内“找出”
两条相交直线与另一平面平行。即将“面面
平行问题”转化为“线面平行问题”
1. 直线与平面垂直：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面
垂直，记作 l。直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面的公共
点 P 叫做垂足。
2.直线与平面所成的角：
角的取值范围：090 。
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的
棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：二面角的取值范围：0180
两个平面垂直：直二面角。
（二）四个定理
直线与平面则过这条直线的任一平面
平行的性质与此平面的交线与该直线
平行
如果两个平行平面同时和
平面与平面
第三个平面相交，那么它们平行的性质
的交线平行a // , a,b
a // b
// ,a,
b a // b
定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法
直线与一条直线与一个平面
m、 n, m
在已知平面内“找出”两条相交
平面内的两条相交直线垂
n P,
且 a m, a n
直线与已知直线垂直就可以判定
垂直的直，则该直线与此平面直线与平面垂直。即将“线面垂直”
a
判定垂直。转化为“线线垂直”
平面与
一个平面过另一平面
a, a判定的关键：在一个已知平面内
平面（满足条件与垂直的“找出”两条相交直线与另一平
的垂线，则这两个平面
垂直的面平行。即将“面面平行问题”
垂直。平面有无数个）
判定转化为“线面平行问题”
直线与
平面同垂直与一个平面的
a, b a // b
垂直的两条直线平行。
性质
平面与两个平面垂直，则一个
,l ,a, 解决问题时，常添加的辅助线
平面平面内垂直与交线的
a l a是在一个平面内作两平面交线
垂直的直线与另一个平面垂
的垂线
性质直。
直线、平面平垂直的判定及其性质
1.内容归纳总结
（一）基本概念
第三章直线方程知识点及公式
1. 直线的倾斜角与斜率：
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转
到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角. 当直线和x 轴平行或
重合时，我们规定直线的倾斜角为0° . 倾斜角的取值范围是0°≤＜180° .倾斜角不是
2 / 4
---
90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没
有斜率 . 即k tan d Ax0By0C
A2 B 2
y2y1
( x1x2 )※ 2. 斜率公式：经过两点P1(x1, y1), P2( x2, y2)的直线的斜率公式：k
x1
x2
王新敞
※ 3. 直线的点斜式方程：
y y1 k( x x1 )
14.两平行直线间距离公式：d
第四章圆与方程
C2 - C1
A2 B 2
直线的斜率 k0 时，直线方程为y y1；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x x1.
※ 4．直线的斜截式方程： y kx b .只有当 k0 时，斜截式方程才是一次函数的表达式.
※※ 5. 直线方程的一般式：Ax By C0 （ A
2B20 ）
6. 直线方程的两点式：y
y1x x1. （x1x2， y1y2）y2y1x2x1
7．直线方程的截距式：x y
1 .a, b 表示截距，它们可以是正，也可以是负.
a b
8．斜率存在时两直线的平行：l 1 // l 2k1= k2且b1b2.
9．斜率存在时两直线的垂直：l1l 2k1k 21．
10．特殊情况下的两直线平行与垂直:
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为 90°，另一条直线的倾斜角为 0°，两直线互相垂直．11. 直线l1与l2的夹角定义及公式 :l1到 l 2的角是1 , l2到l1的角是π -1 , 两角中的锐角或
直角叫两条直线的夹角 . 显然当直线l1⊥l2时 , 直线l1与l2的夹角是.
2
夹角的取值范围： 0°＜≤ 90° .
计算方法：如果 1 k1k20,即 k1k 21, 则. 王新敞
2
12. 两点间距离公式：PP12(x2x1 )2( y2y1 )2
13 ．点到直线距离公式：点P(x0, y0)到直线l : Ax By C0 的距离为：
1、圆的标准方程：以点 C (a, b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x a) 2( y b)2r 2.
特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x
2
y 2r 2 .
2、点与圆的位置关系：
1.设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：
(1) 点在圆上d=r ；(2)点在圆外d＞ r ；(3)点在圆内d＜ r ．
2. 给定点M (x0,y0)及圆 C : ( x a)2( y b) 2r 2 .
① M 在圆 C 内( x0 a)2 ( y0 b) 2 r 2② M 在圆 C 上（x0 a)
2
( y0 b) 2 r 2
③ M 在圆 C 外( x0 a)2 ( y0 b) 2 r 2
3 、圆的一般方程：x
2
y2 Dx Ey F0.
当 D 2E24F0 时，方程表示一个圆，其中圆心C D ,E，半径 r D 2 E 24 F.
222
当 D
2
E
2
4F
时，方程表示一个点 D , E .
22
当 D 2E24F0 时，方程无图形（称虚圆）.
注：（ 1 ）方程 Ax
2
Bxy Cy
2
Dx Ey F0表示圆的充要条件是：B0 且 A C0 且D
2
E
2
4 AF0 .
4 、直线与圆的位置关系：直线 Ax By C0 与圆( x a) 2( y b) 2r 2的位置关系有
三种
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--
---
（ 1）若 d
Aa
Bb C
， d r
相离
0 ；
A 2
B
2
（ 2） d r
相切
0；
（3） d r 相交 0。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
Ax By C 0
求解，通过解的
x
2
y
2
Dx
Ey F
个数来判断：
（ 1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点），直线与圆相交；
（ 2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点），直线与圆相切；
（ 3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点） ，直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程， 设它的判别式为
，圆心 C 到直线 l 的
距离为 d, 则直线与圆的
位置关系满足以下关系：
相切
d=r
＝0（ 2）相交
d >0； （3）相离 d>r <0。 2、 5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O 1，O 2，半径分别为 r 1， r 2， O 1O 2 d 。 （ 1） d r 1 r 2 外离 4条公切线 ； （ 2） d r 1 r 2 外切 3条公切线 ； （ 3） r 1 r 2 d r 1 r 2 相交 2条公切线 ；（ 4） d r 1 r 2 内切 1条公切线 ； （ 5） 0 d r 1 r 2 内含 无公切线 ； 外离 外切 相交 内切 内含 4 / 4