母郛
[王惠珊]母乳喂养对婴儿来说是无与伦比的最适合的喂养方式，母乳喂养的好处是非常多的，比如从营养成分来讲，母亲的乳汁是最适合婴儿的消化吸收，对他的成长是最有帮助的。母乳中无论是蛋白质的成分还是乳糖的成分或其他的成分，它的比例也是最适合孩子的需求的。所以我们说，母亲用自己的乳汁哺育自己的孩子是天经地义的，也是孩子的权利。 [ 2014-05-19 13:47:44.0 ]
[王惠珊]另外，母乳和牛乳、羊乳以及科学技术生产的配方乳相比，有一点是任何物质不能比拟的，就是它的免疫物质，有母亲身体中带来的抗体、活性物质和溶菌酶等等，这些有活性的物质能帮助孩子抵抗外来病毒的感染，使孩子减少生病，这个免疫的功能是任何其他乳类都不能比拟的。 [ 2014-05-19 13:50:36.0 ]
[王惠珊]另外，母亲的乳汁还有一些物质能促进孩子肠道的成熟，在孩子出生后吃到乳汁中的这些物质，可以建立免疫屏障，减少孩子过敏的发生。孩子在吸吮母乳的过程中会把一些益生菌或杂菌吸到肚子里，这种细菌在肠道，比如耗氧的细菌把氧气消耗了，也可以减少细菌和大分子蛋白进入肠道，同时保护孩子免于过敏的发生。所以，早期的母乳喂养对孩子一生的健康都是很重要的。目前还有一些研究也表明，如果孩子从小纯母乳喂养的时间越长，将来他长大了，到了成人期，得肥胖、糖尿病、高血压和心脑血管这些成人期慢性病的比例大大下降。纯母乳喂养时间越长，得成人期慢性病的机率就越低，这是经过国际上很多研究证实的。在这种情况下，我们特别希望婴儿早期能纯母乳喂养，这样对他一生的健康都是有保障的。
[ 2014-05-19 13:55:46.0 ]
[王惠珊]母乳喂养还有一个好处就是增强了亲子关系，使孩子得到了母亲的关爱，促进孩子感知、运动等发展。同时，整个家庭通过母乳喂养的过程，也容易建立社会责任感等。此外母乳还非常经济、非常方便，抱起来就喂，对预防母亲的一些疾病的发生、母亲整个的健康状况也都是有好处的。所以众多的好处证明了，如果我们人类能很自然地采取母乳喂养的方式来养育婴儿，无论对婴儿、对家庭还是对母亲，都起到了非常好的保护作用，所以我们建议都进行母乳喂养。 [ 2014-05-19 14:00:43.0 ]
[主持人]谢谢王惠珊主任的介绍。下面我们来回答网友的提问。网友苑春辉问：新生儿刚出生时，母乳基本上没有，一般两到三天才开始，这期间只能喝奶粉，喝点开水可不可以？
[ 2014-05-19 14:01:23.0 ]
[王山米]妈妈在妊娠7个月后就已经有少量的初乳分泌，有的孕妇洗澡的时候发现乳汁能从乳头上滴出来，但不是很多，孩子出生之后乳汁大量分泌。所以说，宝宝出生之后妈妈乳汁大量分泌是有个过程的，但是在出生第一天不是没有初乳，而是量非常少，妈妈乳汁的产生是随着
胎儿娩出就开始分泌乳汁了，所以宝宝吃的时间越早、吃得越多，妈妈的乳房开始分泌母乳就越多，以满足于孩子的需求。 [ 2014-05-19 14:05:29.0 ]
[王山米]而且妈妈乳汁的分泌是和新生儿出生后的胃的容量相适应的，我们的宝宝第一天的胃容量非常小，也就相当于一个小玻璃弹球大小，也就是5-7毫升左右，妈妈第一天分泌的初乳对这么小的胃来说已经足够了，随着宝宝频繁的、有效地吸吮妈妈的乳房，乳汁逐渐增多，宝宝的胃容量在逐渐增大，所以妈妈分泌的乳汁和宝宝的胃容量是相适应的，一般来说在第3天的时候胃容量增加到20-30毫升，像乒乓球大小，第5天像鸡蛋大小，10天才到100毫升，6个月才能到200毫升，所以我们的宝宝出生之后，不是需要过多的奶，而是需要更多的免疫物质。牛奶是与小牛生长适应的，而人类更需要的是发育大脑，更需要抗感染和抗过敏的能力，所以初乳作用是非常重要的，我们说一般5天之内是初乳，大量分泌是在出生后3天左右，如果宝宝吃的次数多、时间长，下奶就越早。 [ 2014-05-19 14:14:04.0 ]
[王山米]妈妈是供方，宝宝是需方，他们两个达到自然平衡的状态，在这个过程中我们是不主张喂糖水或者喂其他的配方奶，因为宝宝的胃容量是随着妈妈的乳汁分泌量逐渐增大、逐渐适应的。如果你喂了水或配方奶，减少了宝宝吸吮母乳的需求，妈妈就不能早下奶、奶量也不足，而初乳对宝宝发育和免疫生长是非常重要的。 [ 2014-05-19 14:18:22.0 ]
[王山米]但是在最初的几天，如巨大儿，出生体重非常大，可能容易发生低血糖，或者还有一些其他的有异常的孩子，虽然也频繁吸吮妈妈乳房，但吸入量不够而出现了病理情况，在这种情况下，我们加配方奶是作为一种药物来给予治疗的，有医学指征的，应加糖水或配方奶，去医治不正常的状态。对正常的新生儿，我们鼓励他早吸吮、早开奶，去吸吮妈妈的乳房，获得更好的免疫力，另外这些初乳也有利于他的胎便的迅速排出，可以减少早发型黄疸的发生，频繁的吸吮也促使乳汁的产生，所以说最初宝宝去吸吮妈妈的乳房是非常重要的，没有任何医学指征的情况下，不主张加水、加糖水或加配方奶的。 [ 2014-05-19 14:27:20.0 ]
[主持人]网友“杨林”问，母子分离，比如孩子早产或者母亲得病时，怎样实现母乳喂养？[ 2014-05-19 14:27:49.0 ]
[王丹华]这有两种情况，一个是不管是妈妈方面的原因还是孩子方面的原因，造成暂时母婴分离的时候，尤其在头几天，怎么建立成功的母乳喂养，这还是非常重要的一个问题。因为在这种情况下，母子分离，缺少了母婴之间皮肤和皮肤的接触，缺少了孩子的吸吮，所以可能对妈妈分泌乳汁是一个不利的因素，但是在这种情况下，我们同样要强调，在妈妈产后尽快把乳汁吸出来，现在研究认为，在产后一个小时就开始吸奶和到6个小时才开始吸奶，在生后一周的时间，妈妈的泌乳量会相差一倍之多。不管是什么原因造成母婴分离的情况下，我们还是要主张妈妈在分娩后尽快开始吸奶，用吸奶器把奶吸出来。而且要像孩子在身边一样勤吸吮，每天应该最少8到10次用吸奶器把奶吸出来，吸奶的时间是10到15分钟以上，这样才能对妈妈的
乳房有一个充分和有效的刺激，才能保证母亲早泌乳，才能保证以后她有一个比较好的泌乳量，满足孩子的需要。 [ 2014-05-19 14:31:15.0 ]
[王丹华]对于一些早产的孩子，如果是母婴同室，在妈妈身边，应由妈妈亲自喂奶。对于母婴分离的早产儿出院后，妈妈可能面临的问题是，孩子的吸吮能力、吃奶的能力跟足月的孩子相比还是要差很多，常常表现为这些孩子的吸吮力比较弱，吃着吃着就睡着了，一顿吃奶的时间比较短，这样可能会造成母乳的摄入不足，造成孩子出现一些问题。像这种情况，原则上妈妈要尽量多的时间跟孩子在一起，有皮肤的接触，让孩子勤吸吮，因为他每次吃的时间比较短，吃着吃着就疲劳了，所以要增加喂养的次数，这样来保证他的摄入能够达到满足生长的需要。如果有的孩子完全靠直接哺乳不能够完全满足这个孩子的需要的话，原则是一定在他饿的时候先吸吮妈妈的乳房，如果他实在没有劲了，再把妈妈的奶挤出来，用一些辅助的方法，比如用小勺子、杯子喂孩子，这样保证孩子的摄入量。 [ 2014-05-19 14:40:50.0 ]
[主持人]谢谢丹华教授的介绍。网友“桥”问，乙肝妈妈能给新生儿哺乳吗？ [ 2014-05-19 14:41:34.0 ]
[王山米]乙肝的传播主要是通过血液的传播，母乳中的病毒含量远远低于血中的病毒含量，目前我国对乙肝妈妈娩出的新生儿都常规注射了乙肝疫苗和免疫球蛋白，在双重免疫的情况下是可以实施母乳喂养的。目前的循证发现，母乳喂养和人工喂养这两组乙肝妈妈出生的孩子，并没有因为母乳喂养而增加乙肝感染的风险。在实施双重免疫的情况下，在进行母乳喂养的过程中，因为乙肝是通过血液传播的，因此在喂养过程中一是要防止妈妈乳头的皲裂，如果皮肤有损伤的话，就容易通过血液进入婴儿的口腔，或者婴儿的口腔黏膜出现破溃或溃疡的话，也会将母乳中的病毒通过破损的黏膜和皮肤增加了新生儿被感染的风险，因此在喂养过程中应该特别注意，如果一旦发生了皮肤或黏膜的损伤、溃疡的话，应该暂停母乳喂养。所以告诉我们的乙肝妈妈们，在双重免疫情况下是可以母乳喂养的，母乳喂养是有很多优越性，婴儿虽然吃到了母乳中的病毒，但同时也从母乳中获得了抗体。在知情告知的情况下，乙肝妈妈可以自行选择喂养方式。但是我们说，如果选择人工喂养的方法，宝宝不能从母乳中获得抗体，在她和宝宝接触的过程中倒反而会增加感染的风险，在这个过程中妈妈也特别要注意，在接触孩子的时候，他的个人卫生、洗手的问题。 [ 2014-05-19 14:50:14.0 ]
[主持人]网友“小韩妈妈”问，母乳在多久之后就没有营养了，只是孩子的安抚？ [ 2014-05-19 14:52:31.0 ]
[王丹华]母乳对生后6个月以内的孩子都是能够完全满足生长发育的需求的，也就是说在6个月之内母乳里的营养成份是完全能够满足孩子需要的，不需要加任何其他的辅食。我们现在推荐纯母乳喂养到6个月就是基于这个道理。6个月之后，母乳中的蛋白质、维生素、矿物质和铁元素等营养会下降得比较明显，不能够满足孩子生长的需要，所以到6个月的时候，我们应
该添加辅食。但是，对母乳喂养的孩子，从生下来两周开始就应该补充维生素D，这也是大家应该知道的，因为母乳当中维生素D的含量非常少，不能够满足孩子的需要，因此母乳喂养的孩子在生后两周就应该开始补充维生素D。 [ 2014-05-19 14:57:47.0 ]
[主持人]网友“丫头的爹”问，小孩儿从几个月开始添加辅食合适？一般添加多少？怎么和母乳相配？商场里卖的米粉能给孩子吃吗？ [ 2014-05-19 14:58:29.0 ]
[王惠珊]如果是母乳喂养的孩子，我们建议纯母乳喂养可以到生后6个月，6个月以后再添加辅食。一般是从少量开始，开始是一两勺，逐渐增加，小半碗、半碗，对于刚开始的那一个月，一般不会超过半碗。从一两勺开始，观察孩子有没有什么反应，如果没有什么反应，可以逐渐增加量和品种。 [ 2014-05-19 15:00:19.0 ]
[王惠珊]怎么和母乳搭配呢？一般在吃母乳之后再吃这顿加的食物，也可以先吃辅食再吃母乳，这两种都可以。如果孩子特别恋母乳，一般先吃辅食再吃母乳，如果孩子特别喜欢吃辅食，吃了就不愿意吃母乳，我们就让他先吃母乳，然后再添辅食。如果量不是一小勺而是小半碗了，就可以用一顿完整的餐替代母乳了。添加的辅食，我们建议最先添加的最好是强化铁的婴儿米粉，因为米粉是比较少引起过敏的食物，又能增加能量。为什么最好是添加强化铁的呢？婴儿吃妈妈的奶，有非常多的好处，但是有一些营养素的含量有时候不是太够，除了维生素D以外，铁的含量也不是特别够，所以婴儿到了添加辅食的时候，我们建议他及时补充铁，最好是从食物中补，所以最好是强化铁的婴儿米粉。应选择正规厂家生产的强化铁的婴儿米粉。
[ 2014-05-19 15:04:45.0 ]
[王惠珊]添加辅食的原则是从少量到多量，还有就是从一种到多种。我们添加米糊合适了，逐渐扩展，开始添蔬菜，再长大了添一些肉类、鱼类，菜也是多种的，肉类、鱼类也是多种的，孩子吃了一种以后如果没有拉肚子等反应，就可以加另外一种，所以从一种逐渐到多种，到7、8个月，孩子吃的一顿食物就应该是多种食物组成的一餐，既有菜又有肉又有蛋。第三个原则是食物的颗粒应该从很细到粗，逐渐练习他的咀嚼和吞咽功能。另外，刚开始添加的应为能提高能量密度的泥糊状食物，食物应是稠一点的，搁在小勺上不能滴下来。然后，逐渐过渡到固体。遵循这样的原则，给婴儿添加辅食就应该比较顺利了。 [ 2014-05-19 15:18:05.0 ]
[主持人]网友问，母乳喂养过程中妈妈的饮食要注意什么？ [ 2014-05-19 15:18:37.0 ]
[王山米]母乳喂养过程中，妈妈是比较辛苦的，既要喂奶，还要频繁地照顾婴儿，所以应该比人工喂养的母亲得到更多关注。在母乳喂养过程中，妈妈在饮食上没有特殊的要求，但是不要吸烟、不要喝酒。咖啡和茶水是要限制的，一是会影响铁的吸收，另外咖啡通过乳汁对宝宝有兴奋的作用，不利于宝宝的生长发育。除此之外没有太特殊的限制。但是妈妈要产奶，为保证
乳汁的质和量，母亲压要多吃一点蛋白质，较非妊娠的时候应额外增加20克左右，相当于多吃二两至三两的鱼、禽、蛋、瘦肉、海产品。 [ 2014-05-19 15:27:30.0 ]
[王山米]哺乳的妈妈每天钙的摄入要超过 1200毫克，一天喝一斤的奶能摄入约600毫克钙，所以除了喝牛奶，还要在其他的食品中保证钙质的摄入。如多吃一些海产品。哺乳期的妈妈，在营养上应该强调品种多样但又不过量，能量是一定要保证的。现在有的年轻人不吃粮食是不行的，因为碳水化合物是每天能量的最基本的供应，喂奶的妈妈应该是在非妊娠的摄入量的基础上增加一两，蛋白质上应该在非妊娠的情况下增加二两到三两的优质蛋白质。母亲正常情况下一天一般泌乳800毫升，泌乳的妈妈容易口渴，所以要适当喝汤，但是过度喝汤有时候反而会减少乳汁分泌，所以我们说，在母乳的时候强调品种多样，但是不要过量。纯母乳喂养对母亲体重有一定的控制作用，因为每天哺育孩子所消耗的能量需要700卡，500卡来自于每天的食物，另外200卡是要消耗妊娠期间皮下储存的脂肪，所以母乳喂养好的话在一定程度上是能起到减肥的作用，是能恢复体重的。 [ 2014-05-19 15:44:21.0 ]
[主持人]网友“小白”问，母乳喂养会导致胸部下垂吗？ [ 2014-05-19 15:44:48.0 ]
[王山米]母亲在母乳喂养的过程中应该佩戴合适的胸罩，对乳房是有一个支撑的作用。另外一方面，我们建议哺乳的妈妈还要适当做一些保健操，尤其是上肢运动，对胸大肌的练习，能够防止乳房的下垂。 [ 2014-05-19 15:46:18.0 ]
[主持人]网友“豆子”问，我的产假只有4个月就要回单位上班了，怎么解决孩子的喂奶问题？[ 2014-05-19 15:46:54.0 ]
[王惠珊]我们推荐母乳喂养的妈妈上班以后要挤奶，在家的时候多给孩子喂几顿，上班前先喂一顿，然后上班去，如果家里有条件，比如老人能把孩子抱到单位直接哺乳，这样是最好的。但是可能很多妈妈的单位离家比较远回不去，把孩子抱到单位哺乳不太现实，这种情况下，可在单位挤奶。挤奶的方法有两种，一个是用手挤奶，还有就是可以用吸奶器来挤奶。现在我们提倡“母爱10平方”，建议年轻妈妈比较多的单位建立一个母乳室，如果孩子能带来哺乳就在这里直接哺乳，不能回家的母亲可以在哺乳室挤奶，在“母爱10平方”里需要有一个冰箱，能使这些母亲把挤出来的奶放在冰箱里保存。保存的容器可以是干净的有盖子的瓶子，或者是储奶袋。如果放到冰箱冷冻室，挤出来的乳汁能存放3个月，如果放在冷藏室里，乳汁保存的时间一般是24到48小时。如果没有冰箱，在室温不是很高的情况下，挤出来的乳汁能保存4到8小时。所以我们建议挤完奶以后直接冷藏或冷冻，然后带回家，当母亲不在的时候，家人就可以把奶解冻，温热了给孩子吃。温热的方法，我们建议是用热水加温，我们不提倡用微波炉，因为微波炉受热不均，也破坏营养物质。也不提倡煮开，因为烧开后免疫物质和维生素很多都破坏掉了。我们提倡用温水加温到合适的温度给孩子吃。母亲上班以后，家里其他看护人可把保存的母乳给孩子吃，不要急于添加其他的泥糊状的食物或配方奶，因为孩子吃饱以后对母乳
的需求会逐渐减少，母亲挤奶和孩子回家后吃奶都会逐渐减少，所以很快就会没有奶了。我们建议6个月以内都要纯母乳喂养，那么我们在6个月以内就要想方设法地保持母亲的泌乳状态，即使工作了，只要每天按时挤奶，保证喂奶的次数，还是能保证纯母乳喂养6个月。即使6个月以后加辅食了，我们还可以保持其他几顿母乳，一顿一顿慢慢替代，这种情况下孩子吃到辅食的同时还是能够很好地接受母乳提供的各种营养素和免疫物质，对孩子的健康始终是有保障的。 [ 2014-05-19 16:08:26.0 ]
[王惠珊]刚才忘了说为什么一定要加辅食呢？因为孩子的胃容量是有限的，他长到一定的年龄，如果光吃液体食物需要1000多毫升才能满足他的能量需求，但孩子的胃容量没有那么大，所以食物就要往固体逐渐发展。对母乳喂养的新生儿，6个月以后添加辅食的过程是一个非常有技术性的过程，在母乳喂养的基础上，我们加好辅食，加了辅食的同时又保持继续母乳喂养一段时间，这对婴儿的成长发育都是非常重要的。 [ 2014-05-19 16:17:37.0 ]
[主持人]网友“丽丽”问，怎样判断孩子是否吃饱了？ [ 2014-05-19 16:18:17.0 ]
[王丹华]这也是大多数母乳喂养妈妈困惑的问题，不知道自己的奶够不够，孩子吃饱没吃饱。我觉得衡量孩子吃饱没吃饱、妈妈的奶够不够的金标准有两条：一是看孩子的体重增长是不是满意，二是看尿量。孩子出生后3个月内每个月增长超过750克，这就说明体重增长是比较满意的，孩子吃饱了，才长得这么好。第二个就是尿量，基本上每天能尿6次以上，就说明这个摄入是足够的。这两条是判断孩子是不是吃饱、母乳是不是充足的最可靠的指征，还有的孩子老哭、老要吃，这些可能是一些指征，但不是最重要的指标。 [ 2014-05-19 16:20:52.0 ]
[主持人]网友“小芳”问，剖腹产之后怎么给新生儿喂奶？ [ 2014-05-19 16:21:33.0 ]
[王山米]现在我们国家的剖腹产率还是比较高的，剖腹产的妈妈手术回病房之后，麻醉的问题、体位的问题，对早吸吮早开奶带来了一定的困难。应该说，剖腹产的妈妈依然是可以成功地母乳喂养，关键就是妈妈在手术后、回到病房之后，帮助妈妈和宝宝采取一个合适的体位：先适应妈妈，因为这时候妈妈只能是仰卧位，她的麻醉作用还不能自由地在床上活动，这时候其他人员可帮助婴儿在妈妈腋下一侧垫高的与胸壁平行的垫子上侧俯卧位去吸吮乳房，让宝宝能够尽早地去含接妈妈的乳房，也就是说依然是可以达到早吸吮。当妈妈可以翻身以后，我们可以帮助妈妈侧身，让宝宝躺在床上，两个人紧紧相贴，让宝宝去含接妈妈的乳房。我们鼓励妈妈产后24小时尽早活动，有助于宫内血的排出，也可以在起来之后采取一些坐位，通过环抱式、交叉式或橄榄球式的方法来喂宝宝，达到一个有效的、成功的母乳喂养。所以我们说，剖腹产的妈妈如果在她手术之后能够尽早地进行早吸吮、早开奶、频繁地吸吮，也可以达到和自然分娩一样的成功的母乳喂养。而且从母乳喂养的好处来说，剖腹产的孩子从宫内取出来之后，他的肠道是无菌的，剖腹产的孩子感染的风险和过敏的风险比自然分娩的孩子更多，所以我们强调剖腹产的孩子应该尽早实施母乳喂养，通过母乳喂养的过程获得一些有益的益生菌，去帮助
他更好地建立肠道的菌群，来提高他抗感染和抗过敏疾病的能力，来减少感染和过敏疾病发生的风险。 [ 2014-05-19 16:40:09.0 ]
[主持人]网友“李明”问，婴儿发生黄疸之后还能喂母乳吗？ [ 2014-05-19 16:40:49.0 ]
[王丹华]黄疸我们要看它发生在什么时间，因为这种母乳性的黄疸分早发型和迟发型，在生后早期，一周以内发生的黄疸，儿科医生要去鉴别它跟溶血性的黄疸、一些疾病因素引起的黄疸的区别，如果没有这方面的原因，主要实际上还是因为喂养不足引起的黄疸，所以我们也叫它为母乳喂养性黄疸或喂养不足性黄疸。它是怎么发生的呢？主要还是因为孩子的母乳摄入不够，肠蠕动比较慢，胎便的排出不够顺畅，不能把身体里的胆红素代谢出去。对这种黄疸，我们的原则一定不是停止母乳，而是勤吸吮、勤喂，加强母乳的喂养，保证母乳的摄入量，逐渐的这种黄疸就可以消退了，这是早发型的母乳黄疸。 [ 2014-05-19 16:42:38.0 ]
[王丹华]还有一种迟发型的母乳黄疸，一般是在出生后两到三周，孩子吃得很好，还出现了黄疸，一般表现在生理性黄疸已经过去了以后又出现一个黄疸的高峰，这种孩子没有病理的表现，生长很好，吃奶也满意，只是黄疸逐渐加重。如果到医院来检查的话，都是一种血清胆红素以未结合胆红素升高为主的黄疸，肝功能也是正常的，没有其他的病理因素，这种也是大家常说的母乳性黄疸，也就是迟发型的黄疸。因为它是一个自然的过程，是可以逐渐消退的，不需要过多地干预，比如服用药物等等。但是如果黄疸比较厉害，比如黄疸胆红素的值到28天的时候还超过了15毫克/分升，我们建议暂停三天母乳，用配方奶替代，经过三天的母乳停止之后，绝大多数孩子的黄疸会明显消退。停母乳期间，妈妈应把奶吸出来，当孩子的黄疸明显减轻之后，再恢复母乳喂养。恢复之后孩子可能又会有一个黄疸的反跳，但是胆红素的水平绝不会再升高到停母乳之前。而且比较轻的这种黄疸也不影响在他满月的时候的乙肝疫苗的接种。
[ 2014-05-19 16:48:05.0 ]
[主持人]通过与专家的交流，我们更加认识到实施母乳喂养无论是对母亲还是对婴儿都是不可或缺的，对母婴的身体健康、精神健康也都有着积极的影响，我们希望新手妈妈们树立起母乳喂养的信心和决心，履行好母乳哺育婴儿这一神圣职责。再次感谢各位专家与我们分享了这么多知识，感谢各位网友的参与，获取更多健康知识可关注我们的微博、微信和客户端。再见。[ 2014-05-19 16:49:18.0 ]
母函数
母函数 （生成函数）（发生函数）（发生函数） 英文：generating function 我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换） §1 母函数 利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k =≥的知识，我们用一个母函数 +++=∑=≥2 2100 )(x a x a a x a x g k k k 这里x k 是指数函数 来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转 记为成函数。 假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。 这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数 指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的 母函数仅只是序列的另一种表示。如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{} 2,,1ωω的母函数为 +++++=rx x x x F r cos 2cos cos 1)(2ωωω 另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ， x x x x x 411)1()1()1(6)1(212 2 -=-+++-+++ 故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
概率论上的母函数
概率论上的母函数（genera t ing fucnc t ion ）定义： 若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为： （ 0，1，2） （ p 0，p 1，p 2 ） 则p k *s k （k 从0到无穷）的和为s 的函数，此函数称为的母函数。 特征函数 (概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X 是任何具有该分布的随机变量： ()()itX X t E e ?= 其中t 是一个实数，i 是虚数单位，E 表示期望值。 用矩母函数M X (t )来表示（如果它存在），特征函数就是iX 的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 ()()()X iX X t M t M it ?== 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X 是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： ()()itX itx X E e e dF x ∞ -∞=? 在概率密度函数f X 存在的情况下，该公式就变为： ()()itX itx X E e e f x dx ∞ -∞=? 如果X 是一个向量值随机变量，我们便取自变量t 为向量，tX 为数量积。 R 或R n 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X (x ) = f X (-x )）是实数，因为从x >0所获得的虚数部分与从x <0所获得的相互抵消。 性質 连续性
勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设1()1n n X ∞ ==为一个随机变量序列，其中每一个X n 都有特征函数?n ，那么 它依分布收敛于某个随机变量X ： D n X X ??→当 n →∞ 如果 pointwise n ??????→ 当 n →∞ 且? (t )在t =0处连续，?是X 的特征函数。 莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。 给定一个特征函数?，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F ： 1()()()lim 2itx ity X X X e e E y E x t dt it τττ?π--+-→+∞--=? 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定義 博赫纳定理 任意一个函数?是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1. ? (t )是连续的； 2. ? (0)=1； 3. ? (t )是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与? (t )>0不等价）。 計算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X 1、X 2、……、X n 是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且 1n n i i i S a X ==∑
特征函数
特征函数 (概率论) 维基百科，自由的百科全书 跳转到：导航, 搜索 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量： ， 其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。 用矩母函数M X（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： 。 在概率密度函数f X存在的情况下，该公式就变为： 。 如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X(x) = f X(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。
目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 连续性 o 2.1 反演定理 o 2.2 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 o 2.3 计算性质 ? 3 特征函数的应用 o 3.1 矩 o 3.2 一个例子 ? 4 多元特征函数 o 4.1 例子 ? 5 矩阵值随机变量 ? 6 相关概念 ?7 参考文献 [编辑]性质 [编辑]连续性 主条目：勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个都有特征函数，那么它依分布收敛于某个随机变量： 当 如果 当 且在处连续，是的特征函数。 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。
浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用
浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用 申广君 （安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003） [摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。 ［关键词 特征函数 母函数 应用 ［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。 一、特征函数 （一）特征函数的定义及性质 设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX e 的数学期望itX Ee 为随机变 量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ?，即)()(x dF e Ee t itX itX X ?+∞∞ -==?，其 中1-=i ， R t ∈。 分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对任意实数R t ∈，都有 1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把 寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质 性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑ =n i X X t t i n i i 1 )()(1 ?? 。 分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。 例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???<<-+=.,01||,1||)],(1[41 ),(22其他； y x y x xy y x p ， 可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。 性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有 n k i EX k X k k ,...,2,1),0()() (=-=? 成立。 分析 性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。 （二）特征函数的应用举例 1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算 在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。
习题2 母函数
习 题 二 2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）： （1）()??? ? ?????? ??-n n α1 ； （2）{ n ＋5 } （3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) } （解）（1）()x G ＝()∑∞ =??? ? ??-01n n n x n α＝()∑∞ =-? ??? ??0n n x n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n n x n ＝()∑∑∞ =∞=++0 41n n n n x x n ＝() x x n n -+' ∑∞ =+1401＝x x n n -+'???? ??∑∞ =+1401 ＝x x -+' ??? ??--14111＝()x x -+-14112 ＝ () 2 145x x -- （3）()x G ＝ ()∑∞=-01n n x n n ＝()∑∞ =--++2 2 2 100n n x n n x ＝()()∑∞ =++0 212n n x n n x ＝()∑ ∞ =+"0 2 2 n n x x ＝"???? ??∑∞ =+022n n x x ＝"??? ? ??-x x x 122 ＝ ()3212x x - （4）()x G ＝ ()∑∞ =+02n n x n n ＝ ()()()∑∑∑∞ =∞=∞ =-+-++0 121n n n n n n x x n x n n ＝ () () x x x n n n n --' -" ∑∑∞ =+∞ =+11 1 2 ＝x x x n n n n --' ??? ? ??-"???? ??∑∑∞=+∞=+110102 ＝x x x x x --' ??? ??--"???? ??-11112 ＝()()x x x -----11111223＝() 3 2 13x x x --
母函数和特征函数简介
§1 母函数（生成函数）简介 对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。 母函数的定义 ● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数 )1(0 ≤∑∞ =s s a n n n 为}0,{≥n a n 的母函数。 ● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则 称 1)(?)(0 ≤==∑∞ =s s p s E s g k k k X 为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。 一些常用分布的母函数 （1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+= （2） 若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs ps s g -=1)( 母函数的基本性质 （1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有! ) 0()(k g p k k = （2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑== n k k X Y 1 的母函数为： )()()()(21s g s g s g s g n Y = （3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有： （a ）)1()(g X E '=
（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''== 母函数的应用 （4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑== n k k X Y 1 的分布。 （5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。 §2 特征函数 1． 特征函数的定义 ● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复 随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。 由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。 ● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称： )()sin (cos ?)(?)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ??∞ ∞ -∞∞ -+===? 为随机变量X 的特征函数（c.f.） ● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质 （1）由于1≤itX e ，所以对任意随机变量，特征函数都有意义 （2）特征函数是一实变量的复值函数 （3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数 （4）若X 的特征函数为)(t ?，则bX a +的特征函数为)(}exp{ bt ita ?函数 （5）1)0(=? （6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞ == 1 }exp{)(j j j itx p t ?，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为 ?∞ ∞ -=dx x f itx t )(}exp{)(?。
母函数
第二章 母函数及其应用 问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。 新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。 表2.0.1 条件 组合方案数 排列方案数 对应的集合 相异元素，不重复 ()! !!r n r n C r n -?= ()! ! r n n P r n -= {}n e e e S ,,, 21= 相异元素，可重复 r r n C 1-+ r n S ＝{,,21e e ?∞?∞ n e ?∞, } 不尽相异元素（有限重复） 特例 r ＝n 1 ! !!!m n n n n 21 S ＝{11e n ?，22e n ?， …，m m e n ?}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝n n k ?1, (k ＝1,2,…, m ) r ＝1 m m 所有n k ?r r r m C 1-+ r m 至少有一个n k 满足1?n k < r 母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。 2.1 母 函 数 （一）母函数 （1）定义 定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞ =≡0 n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函 数，简称普母函数或母函数。 （2）例 例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()n x +1。 例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++=-n x x x x 2 111 （3）说明 ● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数 列也随之而定；
母函数
母函数 母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至 少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。 母函数是组合数学的一个重要理论。Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于 的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。在18世纪，Euler L对组合方法的发 展做出了重大贡献。他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。 1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。 在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。 本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。在本章的最后，我们就组合计数的常用方法加以归纳，并用母函数的方法来描述SAT问题和顶点覆盖问题，以帮助读者更好地理解母函数的方法。 1普通型母函数 大家对图1所示的三角形一定不会感到陌生，这个三角形就是通常所说的杨辉下角形，在西方则称之为帕斯卡三角形。世界上最早研究帕斯卡二角形的是中国的贾宪。贾宪生活在大约11世纪上半叶。他发展了中国古代数学的算法理论，在算法的抽象化、程序化，一般化方面做出了极大贡献。贾宪总结了《九章算术》以来的开方程序，并创造了“开方作法本源”。在《释锁》一书中，贾宪将0~6次的二项式展开式的系数，从上而下排成三角形，并提出了增乘方求廉法作为造表法，这是世界上最早的帕斯卡三角形。继贾宪后，在杨辉(1261)、朱世杰(1303)、吴敬(1450)的著作中，都有关于帕斯卡三角形的研究。在欧洲，15世纪的阿拉伯数学家Al-KashiG于1427年在《算术之钥》一书中给出了一个二项式展开式的系数表，这是欧洲对帕斯卡三角形的最早研究；而法国数学家Pascal B则于1654年在《算术三角形》中给出了如图2所示的三角形，但没有给出证明。
母函数ACM
母函数（Generating function）详解最近更新：2011.4.3 1.鉴于文章图片和排版的问题，对文章进行了重新编辑。 2.看见网上很多朋友在转载时不尊重别人的劳动成果，任意删除文章里关于作者的信息，希望大家在转载时保留文章所有信息，遵守版权规定。 前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。 (以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科) 在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看： “把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来” “母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “ 我们首先来看下这个多项式乘法：（以下图片都可以点击放大）
图一 由此可以看出: 1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。 2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。……… n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。 由此得到： 图二 母函数的定义： 对于序列a0，a1，a2，…构造一函数： 图三 称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数 这里先给出2个例子，等会再结合题目分析： 第一种：
组合数学 2章 母函数
第二章 母函数及其应用 问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。 新方法：母函数方法。 基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而 把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。 2.1 母 函 数 （一）母函数 （1）定义 定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞ =≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。 （2）例 例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是。 ()x G ＝n n n n n n x C x C x C C ++++Λ2210＝()n x +1
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是 ()x G ＝ΛΛ+++++n x x x 21＝ x -11 （3）说明 ● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定； 例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 ΛΛ+++++n x x x 20＝ x x -1 ● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。 （4）常用母函数 （二）组合问题 （1）组合的母函数
定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ???=,,,2211Λ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为 ()x G ＝∏∑==? ??? ??m i n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为r x 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n . 定理2.1.1的优点： ● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。 （2）特例 推论1 {}n e e e S ,,,21Λ=，则r 无重组合的母函数为 G (x )＝ (1＋x )n (2.1.2) 组合数为r x 之系数C (n ,r )。 推论2 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,Λ21，则r 无限可重组合的母函数为 G (x )＝ ()n n j j x x -=??? ? ??∑∞=110 (2.1.3) 组合数为x r 之系数C (n ＋r -1,r )。 推论3 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21Λ，每个元素至少取一个，则r 可重组合（r ≥n ）的母函数为 G (x )＝n n j j x x x ??? ??-=??? ? ??∑∞ =11 (2.1.4) 组合数为x r 之系数C (r -1, n -1)。 推论4 {}n e e e S ?∞?∞?∞=,,,21Λ， 每个元素出现非负偶数次，则r 可重组合的母函数为 G (x )＝( ) () n n n x x x x 224211 1-= +++++Λ Λ (2.1.5)
母函数
母函数（Generating function）详解 前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。 （PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢） (以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科) 在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看： "把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来" "母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. " 我们首先来看下这个多项式乘法： 由此可以看出: 1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。 2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。 ……… n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。 由此得到： 母函数的定义：
对于序列a 0，a 1 ，a 2 ，…构造一函数： 称函数G(x)是序列a 0，a 1 ，a 2 ，…的母函数 这里先给出2个例子，等会再结合题目分析： 第一种： 有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案 考虑用母函数来接吻这个问题： 我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样： 1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示， 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示， 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示， 上面这四个式子懂吗 我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！） 不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话： "把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来" 1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。 这里说下各项系数的意义： 在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何结合数学式子)。Tanky Woo 的程序人生： 所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧 几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示： (1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
矩母函数
累积量生成函数 随机变量的累积量生成函数κn X是定义为：对动差生成函数（动差母函数）取自然对数的函数，如果符合定义，将如下所示： 将累积量生成函数g(t)对t等于零之处微分 累积量生成函数与机率分布的动差值有很强的关联性。假如随机变量X存在期望值μ = E(X) 及变异数σ2 = E((X?μ)2)，则累积量生成函数g(t)的一阶 与二阶微分刚好是上述数值: μ = κ 1及σ2= κ 2 。第c个累积量表达的方式 为 使用累积量生成函数优于动差值的情况在于独立变量X和Y， 如此一来相加累积量的合可表达成累积量的相加，也就是具有加成性。 一个分布的累积量κn可以使用Edgeworth series来近似。 有些作者[1][2]偏好定义累积量生成函数为对特征函数取自然对数，或者有人称为第二特征函数，[3][4] 使用此函数的好处在于，即便可能随机变量X是一大变量仍被完整定义。尽管他的累积量生成函数或者是动差母函数是存在的，但在这种情况下，通常不允许被展开成累积量生成函数或者是动差母函数而表达成线性级数数列的模式。Cauchy distribution（也称作Lorentzian）和stable distribution（与“Lévy distribution”有关）是生成函数无法被展开的两个例子。
一些离散随机变量的累积量 ?退化的随机变量X = 1 的累积量生成函数为g (t) = 1. 第一累积量为κ1 = g '(0) = 1 ，其他的累积量为零，κ2 = κ3 = κ4 = ... = 0. ?退化的随机变量X = μ. 每一个累积量是退化的随机变量X = 1 的μ倍。其积量生成函数为g '(t) = μ. 第一累积量为κ = g '(0) = μ，其他的累积量为零，κ2 = κ3 = κ4 = ... = 0. 1 ?伯努利分布，特殊情形为p = 1 时是退化的随机变量X = 1. 累积量生成函数为g '(t) = ((p?1?1)·e?t + 1)?1。第一累积量为κ = g '(0) = p，κ2 = g ' '(0) = p·(1 ?p) . 其累积量可以整理 1 成下面形式 ?几何分布，累积量生成函数为g '(t) = ((1 ?p)?1·e?t? 1)?1。第一 = g '(0) = p?1? 1 ，κ2 = g ' '(0) = κ1·p? 1. 代换累积量为κ 1 p = (μ+1)?1可得g '(t) = ((μ?1 + 1)·e?t? 1)?1及κ = μ. 1 ?卜瓦松分布，累积量生成函数为g '(t) = μ·e t. 所有的累积量均为: κ1 = κ2 = κ3 = ...=μ. ?二项分布，其特殊情形是n = 1 时为伯努利分布. 每一累积量是n倍相对应的伯努利分布。累积量生成函数为g '(t) = n·((p?1?1)·e?t + 1) ?1。第一累积量为κ = g '(0) = n·p及κ2 = g ' '(0) = κ1·(1?p). 1 代换p = μ·n?1可得g '(t) = ((μ?1?n?1)·e?t + n?1)?1及κ1 = μ。 极限值逼近情形则为n?1 = 0 之卜瓦松分布。 ?负二项分布，其特殊情形为n = 1 时是为几何分布。每一累积量是n倍相对应的几何分布。累积量生成函数为g '(t) = n·((1?p)?1·e?t?1) ?1。第一累积量为κ = g '(0) = n·(p?1?1), 及κ2 = g ' '(0) = κ 1 ·p?1. 代换p = (μ·n?1+1)?1可得g '(t) = ((μ?1+n?1)·e?t?n?1)?1及κ 1
母函数的概念与性质
1绪论 母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一. 母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用. 当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的. 一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系. 母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.
2母函数基本概念 定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120 ()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑ 为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）． 定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数1 2 01 2 ()! 1! 2! k k k x x x f x a a a a k ≥= =+++∑ 为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）． 数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数. R 上的母函数的全体记为[]R x ????.在集合[]R x ????中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素. 定义2.3. 设0 ()k k k A x a x ∞ == ∑与0 ()k k k B x b x ∞ == ∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥， 有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =. 定义 2.4. 设α为任意实数. []0 ()k k k A x a x R x ∞ =??=∈?? ∑,则()0 ()k k k A x a x αα∞ == ∑称作α 与()A x 的数乘积. 定义2.5. 设0 ()k k k A x a x ∞ == ∑与0 ()k k k B x b x ∞ == ∑是R 上的两个母函数. （1）将()A x 与()B x 相加定义为0 ()()()k k k k A x B x a b x ∞ =+=+∑，并称()()A x B x +为() A x 与() B x 的和，把运算“+”称作加法. （2）将()A x 与()B x 相乘定义为011 00 ()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞ -=?=+++∑ ，并称()() A x B x ?为()A x 与()B x 的积，把运算“?”称作乘法. 3母函数的性质
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数 确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题 可以通过微分运算求随机变量的数字特征 1．特征函数： 设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称： (){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞?∞?∞ Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。 特征函数的性质： 1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定； 2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积； 3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ= 典型随机变量的特征函数 1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+ 2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+ 3． 几何分布：()1jt jt pe t qe Φ=? 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t e λ??Φ= 5． 正态分布2(,)N σ?：22 ()exp{}2t t j t σΦ=?? 6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt ?Φ= 7． 负指数分布：()t jt λ λΦ=?
2．母函数 研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法： 对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞ =Φ==?∑ (1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换 母函数的性质： 1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。 2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附 合泊松过程的应用) 3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ==" 通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。 3． ()1(){(1)(1)}1,2,k z z E X X X k k =Φ=??+="" 通过矩生成函数的微分可以得到随机变量的数字特征： 均值： '1{}()|z E X z ==Φ 方差： 22''''2111{}{}[{}]()|()|[()|]z z z D X E X E X z z z ====?=Φ+Φ?Φ 典型随机变量的母函数 1． 两点分布的母函数：()z q pz Φ=+ 2． 二项式分布的母函数：()()n z q pz Φ=+ 3． 泊松分布(λ)：(1)()z z e λ??Φ= 4． 几何分布：()1pz z qz Φ=?
特征函数
特征函数(概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X是任何具有该分布的随机变量： ， 其中t是一个实数，i是虚数单位，E表示期望值。 用矩母函数M X（t）来表示（如果它存在），特征函数就是iX的矩母函数，或X在虚数轴上求得的矩母函数。 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： 。 在概率密度函数f X存在的情况下，该公式就变为： 。 如果X是一个向量值随机变量，我们便取自变量t为向量，tX为数量积。 R或R n上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X(x) = f X(-x)）是实数，因为从x>0所获得的虚数部分与从x<0所获得的相互抵消。 连续性 主条目：勒维连续定理
勒维连续定理说明，假设为一个随机变量序列，其中每一个都有特征函数，那么它依分布收敛于某个随机变量X： 当 如果 当 ?在处连续，是的特征函数。 且()t 勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。 给定一个特征函数φ，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F： 。 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说，它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定义 主条目：博赫纳定理 任意一个函数是对应于某个概率律的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1是连续的； 2； 3是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与不等价）。 计算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X1、X2、……、X n是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且