2006-2007期末考试B卷答案及评分细则
数学与软件科学学院 数学与应用数学专业 常微分方程试卷B 第1页（共5页）
四川师范大学数学与软件科学学院数学与应用数学专业
2006－2007学年度第一学期期末考试
常微分方程试卷 B 卷答案
一、单项选择题：(10分每小题2分) 1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B
二、填空题：(10分每小题2分)
6、C x x y ++-=222ln ，其中Ｃ为任意
7、1-=''-x y y
8、
x
1 9、??
??
??
? ?
?x a x
a x a n e e e 21 10、)0,0(，)0,1(-
三、简答题：(20分每小题5分)
11、讨论方程的解的存在区间适合初值条件3)2(ln 2
12-=-=y y dx dy
分
最大存在区间为分
特解为得过初值分
其通解为
一及延伸条件平面上满足解的存在唯在50114111,3)2(ln 2,112
1
),(lim 0
2），（e e 。e e
y c y ce ce y 。xoy y y x f x
x
x x
x
x
x ∞+∴∞=-+-+=
=-=-+=-=+→
12、将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题 x
）
（4+x=te t ,x(0)=1, x ‘(0)=-1,x ’‘(0)=2,x ‘’
‘(0)=0
解 令1x ＝x 2x ＝'x 3x ＝''x 4x ＝'''x 则得：
__________________学院__________级___________班 姓名_______________ 学号_______________
………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………
密 封 线 内 答 题 无 效
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???????+-=+-=======t t te
x te x x x x x x x x x x x 1'44
'
'''33
'
''22''1 2分 且 1x (0)=x(0)=1, 2x ='x (0)=-1, 3x (0)= ''x (0)=2, 4x (0)= '
''x (0)=0
于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：
'
x =?????
?
??????????????????t te 000x 00
01
100001000010＋－ 4分 x(0)=????
??
??????0211－, 其中 x=????????????432
1x x x x . 5分
13、试验证=-x dt x d 220的基本解组为t
t e e -,，并求方程=-x dt
x d 22t cos 的通解。
证明：由题将t e 代入方程=-x dt
x d 22
0得：t e -t e =0,即t e 是该方程的解，
同理求得t
e -也是该方程的解
又显然t t e e -,线形无关，故t t e e -,是=-x dt
x d 22
0的基本解组。 2分
由题可设所求通解为：()=t x ()()t
t
e t c e t c -+21，则有：
解之得：()()()()2211sin cos 4
1
;sin cos 41c t t e t c c t t e t c t t ++-=+--
=- 故所求通解为：()t e c e c t x t
t cos 2
121-+=- 5分
14、
四、计算题：(20分每小题10分)
()()()()?????='-'='+'--t
e t c e t c e t c e t c t t t t cos 0
2121
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15、y=x
e +
()x
y t dt ?
()x dy
e y x dx =+ x dy
y e dx
=+ 3分 P(x)=1 Q(x)=x
e 由一阶线性方程的求解公式
11()dx dx
x y e e e dx c -??=+? =()x x x
e e e dx c -+?
=()x e x c + 8分
()()x
x x
x e x c e e x c dx +=++?
c=1
y=()x e x c + 10分 16、2xydx+( x 2
+1)dy=0
解：2xydx+ x 2dy+dy=0 4分
d( x 2
y)+dy=0 即d(x 2
y+y)=0
故方程的解为x 2
y+y=C 6分
17、022
=-+??
?
??y dx dy x dx dy
解：令p dx
dy =，则22p xp y +=， 2分
两边对x 求导，得 dx
dp
p dx dp x p p 222++= 4分 2
2
--=x p dp dx ，
解之得 23
2
-+-=cp p x ， 8分 所以 12
3
1-+-=cp p y ， 10分
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18、t e
x x x t
cos 32-=+'-''
解：特征方程0322
=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 2分
故齐线性方程的通解为
t e c t e c x t
t 2sin 2cos 21+= 4分 i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~
6分
代入原方程解得A=
41
4
,415-=B 8分 故通解为t e c t e c x t
t
2sin 2cos 21+=+t
e t t --)sin 414
cos 415(
10分
五、证明题：(20分每小题10分)
19、设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程
y x x
y
sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
证明 由已知条件可知，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ,2,1,0,
±±==k k y π． 4分
对平面内任一点),(00y x ，若πk y =0，则过该点的解是πk y =，显然是在),(∞+-∞上有定义． 5分
若πk y ≠0,则))1(,(0ππ+∈k k y ,记过该点的解为)(x y y =，那么一方面解)(x y y =可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域k y k x y x (,),({<<π+∞<<∞-
})1π+内)(x y 不能上、下穿过解π)1(+=k y 和πk y =，否则与解的惟一性矛盾．因此解的
存在区间必为),(∞+-∞． 10分
20、假设()01≠t x 是二阶齐线形方程()()021=+'+''x t a x t a x （*）的解，这里()()t a t a 21和
在区间
[]
b a ,上连续，试证：方程的通解可以表示为：
()???
?????+??? ??-=??2121110e x p 1c dt ds s a x c x x t t ,
其中21,c c 为常数,[]b a t t ,,0∈
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证：
因为21,x x 为方程的解，则由刘维尔公式
()()()()?='
-'
?=''-
-t
t t
t ds
s a ds s a e
t w x x x x e t w x x x x 0
10
10212102
1
2
1:即, 4分
两边都乘以
2
1
1x 则有：
()()?=
???
? ??-
t
t ds
s a e
x t w dt
x x d 012
1
012，于是： 6分
()()分
即：分
10181122112221
1120
101x c dt e x c x c dt e x c x x t
t t
t ds s a ds
s a ???
? ??+?=+?=-
-
??