第10章能量法

第十章能量法

10-1 图示桁架，已知各杆的EA 相等，试求在载荷F 作用下桁架的应变能。解：

1．支反力

∑=0x F ：0=-Ax F F F F Ax =

∑=0B M ：02=?-?l F l F Ay ，

2F F Ay =

∑=0y F ：0=-By Ay F F ，

2F F By = 2．各杆的轴力

由结点A 的平衡可求得 2N F

F AC =，2N F F AD =

由结点B 的平衡可求得

2N F F BC -=，2N F F BD = 由结点D 的平衡可求得 0N =CD F

3．桁架的应变能

[]

()

l F l l F l F l F l F EA l F l F l F l F l F EA

EA l F U CD

CD BD BD AD AD BC BC AC AC i

i 122

022222221 21 2222222

N 2N 2N 2N 2N 2N +=

???

??????+???? ??+???? ??+????? ??-+????? ??=++++==

∑

10-2 图示传动轴，已知轴的直径m m 40=d ，材料的弹性模量GPa 210=E

GPa 80=G 解：

4444p cm 8cm 32432πππ=?==d I 4p cm 42π==I I

作用在轮上的合力为：kN 06.1kN 36.0122=+=F

()()m N m 4.02.0 4.0530m

2.00 035???

?≤≤-≤≤=x x x x x M ()m N m 4.02.0 80m

2.00 0??

?<<<≤=x x x T ()()m m N 8.31m N 108108022.04.080 d 8021

2d 892

.40 .20 2p p

2?=?????-?===-?

?πx

GI GI x x T U l T

()()m m N 4.28m N 10

4102103

2.0530 d 53012d 8

2.2

0 0

2 2?=?????==

=-?

?πx x EI EI x x M U l M

10-3 图示桁架，各杆的EA 相等。试求结点C 的水平位移和垂

解：

用单位载荷法求解。如图所示，在结点C 分别沿水平和垂直方向作用单位力，列表计算如下：

杆件

杆长i l 由F 、所引起的轴力i F N 由单位水平力所引起的轴力i F N 由单位竖直力所引起的轴力i F N ' AB l F 2-

0 0 BC l F 0

CD l

AD l

0 AC

l 2 F 2- 2

结点C ()

1N N EA

EA i i i i CH = 垂直位移：)( 5

N ↑='=

∑

=EA

Fl EA l F F i i i i CV δ

EI 为常数）。

解：

用卡氏定理求解

1．求截面B 的挠度，在截面B 作用零值附加力s F

当0≤x ≤a ，()()()x l F x a q x M ----

=s 2

，()()x l F x M --=??s 当a ≤x ≤l ，()()x l F x M --=s ， ()()x l F x M --=??s

()()()EI

a l qa dx x l x a EI q x F x M x M EI

F U y a l F F B 244)()(2 d 1

02 0 0s 0s s

s -=

--=??????

??=?

??? ????=?

2．求截面B 的转角，在截面B 作用零值附加力偶es M

当0≤x ≤a ，()()es 2

M x a q x M ---

=，()1es -=??M x M 当a ≤x ≤l ，()es M x M -=，

()1es

-=??M x M ()()EI qa x M x M x M EI M U l M M B 6d 13

0 0es 0es =????????=???? ????=?==θ

解：用单位载荷法求解

如图所示，在截面A处分别作用一水平方向单位力、铅垂方向单

位力和一顺时针方向单位力偶，并分别求出由荷载F以及单位力和单

位力偶所引起的内力，列表计算如下：

杆段

由载荷F所

引起的弯矩

()

由水平单位力

所引起的弯矩

()

由铅垂单位力

所引起的弯矩

()

由单位力偶所

引起的弯矩

()

AB 1

-01x-1-

BC Fl

-2x-l-1-

截面A的水平位移：

2EI

Flh

Flx

截面A的竖直位移：

()

1EI

l h

=??

截面A转角：

()

l h

002

=??

EI相等。试求截面A和B的位移。

解：用单位载荷法求解

在A、B点分别作用一铅垂方向与水平方向的单位力，如图所示，

并分别求出由荷载q以及单位力所引起的内力，列表计算如下：

杆段

由q所引起的

弯矩()i x

由A竖直单位力所

引起的弯矩()i x

由B水平单位力所引

起的弯矩()i x

DE 001x

qlx

x h

利用对称性

截面A的竖铅垂位移：)

(

384

2↓

qlx

截面B的水平位移：)

(

2→

qlx

截面A的水平位移：)

(

→

10-7 图示刚架，各杆的EI 相等。试求在一对力F 的作用下截面A 和B 之间的相对位移和相对转角。

解：用单位载荷法求解

由于结构和载荷的对称性，取刚架对称轴的一侧来求解AB δ和

AB θ在A 截面分别作用一水平单位力和一单位力偶，如图所示，列表

计算如下：

杆段由载荷F 所引起的弯矩()i x M

由水平单位力所引

起的弯矩()i x M 由单位力偶所引起

的弯矩()i x M '

AC 1Fx - 1x - -1 CE

Fh -

h -

-1

A 、

B 两点之间的相对位移：

???

??+=???

? ?

?+=

=??

a h EI Fh x Fh x Fx EI h a A AB 32d d 222 0

0 22

121δδ A 、B 两截面的相对转角：

()a h EI Fh x Fh x Fx EI h a A AB +=???

? ??+==?? 0 2 0

211d d 22θθ 10-8 图示细圆环，平均半径为R ，抗弯刚度为EI ，在切口处嵌

解：

在块体嵌入后，块体与切口截面之间产生水平作用力F ，两切口截面之间产生水平相对位移e 任意一θ截面的弯矩为 ()()θθcos 1-=FR M

()()θθcos 1-=??R F

M 根据卡氏定理切口处两截面之间的水平相对位移

()()()EI

FR EI FR s F M EI M e l 32

0 3 3d cos 12d πθθθθπ=-=??=?

由此可求得

3R eEI

F π=

∴ ()2

max 322R eEI FR M M ππ===

10-9 图示外伸梁，抗弯刚度为EI 。不计弯曲剪力的影响，试用

解：

用叠加法作梁在F 和q 共同作用下的M 图，并作梁仅在A 、C 处

分别作用一竖直单位力和一单位力偶时的的M 和'

M 图，如图所示。由图乘法求得

()

()()

???

? ??-+=

??? ??-???+?????

? ??-??-?+??? ??-??-?=++=832832 32213221113232223

32211l l a a EI qa a l ql a l qa a a qa EI M M M EI y C C C A ωωω()

()

EI l a ql l ql l qa EI M M EI

C C C 2442183231211 1

2222

3322-=????????? ??-???

+??? ??-??-?=+=

ωωθ

可以忽略。

解：

为二次超静定问题。由对称性可得：2

F F By Ay =

=，B A M M = 化为一次超静定问题。

以A M 为多余约束，取静定基如图所示

()A

Ay M

x lx q M qx x F x M --=--=)(2

()1-=??A M x M 由卡氏定理

()

()0121 d )(21

d 13

0 2

=???

? ??--=??

???

?---=??=

A l

l A A M ql EI x M x lx q

x x x M x M EI

可得：12

ql M A =

解：

为一次超静定问题。

1．用卡氏定理求多余约束力，以C 截面处的约束为多余约束

AB 段：()11x F x M C =，

()11x F x M C =?? BC 段：()22Fx a F x M C -=，

()a F x M C =??2 由卡氏定理

()()

()0234 d d 1 d d 3 0 22 0 12

1 0

22 0

111=??

? ??-=??????-+=

??+??=??=

???

?F F EI a x a Fx a F x x F EI x F x M EI

x M

x F x M EI

x M F U y C a

C a

C a C

a C

可求得：8

F C =

2．作刚架的内力图

10-12 图示杆系，各杆的EA 相等。试用力法求各杆的内力。

(a)

(d)

解：

为一次超静定问题。

1．求多余约束力

以C处约束为多余约束，得到静定基，如图(b)所示，力法正则

方程为

分别求出静定基在F作用下（图(c)）在单位力作用下（图(d)）

各杆的内力

F N和

F N，列表计算如下（根据对称性，3

F=）

i i N i N

①l01

②③α

cos

α3

1cos

2EA

i i

?∑

=∑

cos

11α

i i

∴

δ3

cos

F F

2．求各杆的内力

α3

N cos

F C

取结点D为研究对象（图(a)）

∑y F：0

cos

22N

Fα

由此求得

α3

N cos

cos

10-13 图示结构，AB 梁和梁CD 的抗弯刚度均为26m N 1024??=EI ，2mm =a 。两梁用长m 5=l 、抗拉刚度为

N 106722?=A E 的钢杆连接，弹性模量GPa 200=E 。若kN 50=F ，试求梁AB 的B 点挠度。

解：

为一次超静定问题。 1．求杆BE 的轴力

设杆BE 的轴力为N F ，梁AB 和CD 的弯矩及其偏导数为

AB 段：()1N 1x F x M -=，

()1N 1x F x M -=?? CE 段：()()a x F x F x M +-=22N 2，

()2N 2x F x M =?? ED 段：()33Fx x M -=，

()0N 3=??F x M 由卡氏定理

()()1

N 1

21N 11 0 1N 1

113d 1d I E a F x x F I E x F x M I E x M y a

a B ==??=

()()()()()[]1

N 2 0 222N 11 0

3113 0

21126)5(20d 1

d d I E a F F x x a x F x F I E x F x M I E x M x F x M I E x M y a

E -=++-=

??+??=?

2N A E l F l BE

=? 变形协调条件为 E BE B y l y -=?+

即 1

N 22N 113N 6)5(23I E a F F A E l F I E a F --=+ 解得：kN 5.45kN 21065102461650

5453

7632211N =?????+

?=+=a A E F F 2．求悬臂梁AB 在B 点的挠度

m m 1.5m 102432105.4536

33N =????==EI a F y B

10-

解：

1．求支反力，为一次超静定问题，对AB梁段，由对称性可求得

F Ey

=，以Dy

F为多余约束力

考虑ED梁段的平衡：

∑B M：0

即qa

D y

+2（1）

∑y F：0

+qa

F Dy

即

5qa

F Dy

+（2）

FD段：()1

M Dy

=，

()

CF段：()()2

2qax

M D y-

=，

()

BC段：()()3

32x

M Dy

=，

()

EB段：()

M Ey-

=，

()

由卡氏定理

()

[]()

()

qax

求得

108

35qa

F Dy=代入（1）（2）求得

19qa

F Cy=，

108

197qa

F By=

2．作梁的剪力图和弯矩图。

第十章能量法承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能减少。如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。据此，通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。能量法既可用于计算构件或结构位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。 §10.1 杆件的应变能计算前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储藏有应变能。若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能V ε，即V ε =W。在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下拉伸（压缩）时 2 1 22 N P F l V F l EA ε =?=此处F N=F P（10-1）

50 第十一章能量法第十一章能量方法第十一章答案 11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架的变形能。 F 2 F F F , 3 F N 1 N 2 N 2 F 2 A 1 2 3 B l 2 2 2 F 2 2 2 F l l 2 2 F (x) 2 N V dx 2EA 2EA 2EA l l 2 2 3F l 4EA . 11.2计算图示各杆的应变能。 M e A 2A A A EI A A EI A F C A C B l/3 2l/3 B l l x1x2 (a) (b) M e/l M e/l (a) V 2 2 3 2 F l F l F l 2EA 4EA 4EA .

(b) 2 2 M M e e x x 1 2 l l l /3 2l /3 V dx dx 1 2 0 2EI 0 2EI l /3 2l /3 2 2 2 2 M x x M l e 1 2 e 2 2EIl 3 3 18EI 0 0 .

第十一章能量法51 11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm，材料为45钢，E = 210GPa， G = 80GPa。试计算轴的应变能。 0.36kN (b) 1kN 0.8kN ·m 由扭转引起的应变能： 2 80 0.2 V dx 2 0 2 p GI 0.32 200 200 由弯曲引起的应变能： 2 0.2 (531.4x) V 2 dx 0.029 1 2EI V V 1 V 2 0.061J. 11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。 Me=Fl F 2 2 3 l (Fl Fx) F l V dx 0 2 6 EI EI EI x 而 2 2 3 l (Fl ) F l V dx 1 0 2EI 2EI l 2 2 3 l ( Fx) F l V dx 2 0 2EI 6EI . 不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。

73 第10章习题解答 10-1 两根材料相同的圆截面直杆，其形状和尺寸如图所示。试比较两杆的变形能。解：22222d E l F EA l F U a a π== 2222222287283241286d E l F d E l F d E l F EA l F EA l F U a b b π=π+π=?+?= 7 16 8 72==b a U U 10-2 已知图示等截面外伸梁的抗弯刚度EI ，试求梁的变形能及A 截面的转角。解：1. 支反力 l M F F C B 0 2== 2. 弯矩 AB 段：01 M x M =）（（0≤x 1≤l /2） CB 段：20 22x l M x M =）（（0≤x 2≤l /2） 3. 变形能 EI l M dx x l M dx M EI U l l 34212 020 2222 20 20 1 20= ?? ? ? ? ? ? ?+ = ? ? 4. 位移 EI l M U M A 321 200==θ ，EI l M A 320=θ（） 10-3 图示桁架各杆抗拉压刚度EA 均相等，试求桁架的变形能及C 点的水平位移。（a ）（b ）（a ）（b ） 3 （c ） B F D B

74 解：1. 支反力 F F Ax = ，2 F F F B Ay = = 2. 各杆长度 l l l 231== ，l l l l ===542 3. 各杆轴力由节点B 的平衡条件得F N 223=（压），2 5F N =（拉）；由节点 D 的平衡条件得02=N ，2 4F N = （拉）；由节点C 的平衡条件得F N 221=（拉）。 4. 变形能 EA l F EA l F l F l F EA U 2222957 .0412222222221=???? ? ?+=???????????? ??+????? ???= 5. 位移 EA l F F CH 2957.021=? ，EA Fl CH 914.1=?（→） 10-4 图示等截面曲杆为1/4圆周，其抗弯刚度EI 已知，试求曲杆的变形能及B 点的铅垂位移。解：1 弯矩 θ=θs i n FR M ）（（0≤θ≤π/2）变形能 ? ππ= θ?θ= 20 3 22 2 2 8sin 21 EI R F Rd R F EI U 位移 EI R F F BV 8213 2π=? EI FR BV 43 π=?（↓） 10-5 图示阶梯形变截面圆轴两端承受扭矩M n 作用，d 2 = 1.5d 1，材料的切变模量G 已知，试求圆轴的变形能及圆轴两端的相对扭转角。解：1. 圆轴扭矩 M n = T 2. 变形能 ?=2011 221l P n dx I M G U ? + 2022221l P n dx I M G 124P GI l T =224P GI l T +4 1281776Gd l T π= 3. 位移 ?T 21 4 1281776Gd l T π= ， 41811552Gd Tl π?=

第10章能量法思考题 1.计算构件的变形能，在什么情况下能叠加、在什么情况下不能叠加？试举例说明。在产生不同种类变形的外力作用下弹性体的应变能可由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。例如在轴向力和横向力作用下产生的拉弯组合变形中，就可以分别计算轴向力和横向力的应变能，总的应变能可以由这两个应变能叠加求得。在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。例如在横向力和集中力偶产生的弯曲变形中，总的应变能就不能由这横向力和集中力偶单独产生的应变能叠加求得。 2.设一梁在n 个广义力n P P P P ,,,321 共同作用下的外力功i n i i P W ?= ∑=1 21，如何理解i ?的含义？ i ?是在n P P P P ,,,321 共同作用下在i P 作用处沿i P 作用方向的位移。 3.图乘法是怎样建立的？其应用条件是什么？图乘法是在莫尔积分的基础上针对均质等直截面杆建立的。其应用条件为：（）均质等直截面杆；（2）在图乘法应用区段，M 图和()M x 必须是连续光滑曲线或直线；（3）M 图为抛物线时，抛物线顶点的切线与基线平行或与基线重合。

10.1 计算图示各杆的应变能解：（a ）AB 段与BC 段的轴力都是F ，所以 EA l F A E l F EA l F U 43)2(22222= += （a ）（b ） 2221233 12 0222331122002()()d d 221218l l l l M x M x U x x EI EI M M x dx x dx EI l l M l EI =+?????? =+?? ? ?????????= ???? （b ） 10.2试用卡氏定理求解如图所示梁截面B 的挠度和转角。EI 为常数。 (a) 解：由平衡条件可以计算出 2002 1qa l F M qa F F A RA + =+=，欲求B 点挠度，须在B 点加一虚力F 0（=0），如图(a 1)所示。AC 段任一截面上有 ()()2221110110111 222 RA A M x F x qx M F qa x qx F l qa =--=+--- () ()110 M x x l F ?=-? CB 段任一截面有

第十章能量法 10-1 图示桁架，已知各杆的EA 相等，试求在载荷F 作用下桁架的应变能。解： 1．支反力 ∑=0x F ：0=-Ax F F F F Ax = ∑=0B M ：02=?-?l F l F Ay ， 2F F Ay = ∑=0y F ：0=-By Ay F F ， 2F F By = 2．各杆的轴力由结点A 的平衡可求得 2N F F AC =，2N F F AD = 由结点B 的平衡可求得 2N F F BC -=，2N F F BD = 由结点D 的平衡可求得 0N =CD F 3．桁架的应变能 [] () EA l F l l F l F l F l F EA l F l F l F l F l F EA EA l F U CD CD BD BD AD AD BC BC AC AC i i 4122 022222221 21 2222222 N 2N 2N 2N 2N 2N += ??? ??????+???? ??+???? ??+????? ??-+????? ??=++++== ∑ 10-2 图示传动轴，已知轴的直径m m 40=d ，材料的弹性模量GPa 210=E ，切变模量GPa 80=G 。试求轴的应变能。解： 4444p cm 8cm 32432πππ=?==d I 4p cm 42π==I I 作用在轮上的合力为：kN 06.1kN 36.0122=+=F ()()m N m 4.02.0 4.0530m 2.00 035??? ?≤≤-≤≤=x x x x x M ()m N m 4.02.0 80m 2.00 0?? ? ?<<<≤=x x x T ()()m m N 8.31m N 108108022.04.080 d 8021 2d 8 92 .40 .20 2p p 2?=?????-?===-? ?πx GI GI x x T U l T

第十一章能量方法第十一章答案 11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在F 力作用下，桁架的变形能。 12 ,N N F F == 32 N F F = 2 2 22222()2222N F F l l F x V dx EA EA EA ε???? ? ?????==+? 2234F l EA =. 11.2计算图示各杆的应变能。 (a)

2223244F l F l F l V EA EA EA ε=+=. (b) 22 12/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EI ε???? ? ?????=+?? /32/322221220023318l l e e M M l x x EIl EI ?????? ?=+= ? ? ??????? . 11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm ，材料为45钢，E = 210GPa ， G = 80GPa 。试计算轴的应变能。由扭转引起的应变能： 2 0.2 20 80 0.0322p V dx GI ε==? 由弯曲引起的应变能： 2 0.2 10 (531.4)20.0292x V dx EI ε==? 120.061J V V V εεε=+=. 11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。 223 0()26l Fl Fx F l V dx EI EI ε-==? 0.36kN (b) 1kN 200 200 EI Me=Fl F x

而 223 10()22l Fl F l V dx EI EI ε==? 223 20()26l Fx F l V dx EI EI ε-==?. 不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。 11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩跨度中点C 的挠度w c 。（见课本下册p40例12-4） 11.6 图示刚架的各杆的EI 皆相等，试求截面A 、B 的位移和截面C 的转角。 (a) A 点：在A 点加一个向下的单位力。M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=Fb

一、是非题 10.1 杆系结构的变形能，等于各杆变形能之和。（） 10.2 弹性体变形能与加力次序无关，只与最后受力有关。（） 10.3 结构上的外力作功可能为正或负，因而结构的变形能有正负之分。（） 10.4 线性弹性结构的变形能可以叠加而非弹性结构的变形能不能叠加。（） 10.5 载荷与变形能之间必为非线形关系。（） 10.6以莫尔积分求各种结构在载荷作用下的位移时都可以采用图形互乘法。（） 10.7应用单位力法计算出结构在某处的位移值时在数值上就等于该单位力所做的虚功。（） 10.8若由载荷引起之弯矩图面积的代数和为零（=0 ），则不论其形心所对应的单位力弯矩图之值Mc 为何值，图乘所得必为零。（） 10.9超静定结构的多余约束数即等于建立力法方程的变形条件数。（） 10.10结构中的内力与应力只与结构受力和结构尺寸有关，与材料无关。（） 10.11变形协调法在本质上也是力法。（） 10.12力法的基本未知量均不能用静力平衡条件求得。（） 10.13温度变化和支座位移不会引起静定结构的内力，但一般会引起超静定结构的内力。（） 10.14力法基本方程均是根据结构支座处的位移约束条件建立的。（） 10.15n 次超静定结构的静定基可由解除结构任意n 个约束而得。（） 10.16力法正则方程适用于任何材料制成的小变形超静定结构。（） 10.17外力超静定结构必须解除外部多余约束而得到静定基。（） 10.18以力法求解超静定结构后经力平衡方程验算无误，说明结果正确。（）二、选择题

10.19设一梁在n 个广义力F 1 ，F 2 ，……，F n 共同作用下的外力功，则式中为（）。 A. 广义力F i 在其作用处产生的挠度 B. 广义力F i 在其作用处产生的相应广义位移 C. n 个广义力在F i 作用处产生的挠度 D. n 个广义力在F i 作用处产生的广义位移 10.20一根梁处于不同的载荷或约束状态，则（） A. 梁的弯矩图相同，其变形能也一定相同 B. 梁的弯矩图不同，其变形能也一定不同 C. 梁的变形能相同，其弯矩图也一定相同 D. 梁的弯矩图相同，而约束状态不同，其变形能也不同 10.21一梁在集中力F 作用下，其应变能为V e 。若将力F 改为 2 F ，其他条件不变，则其应变能为（）。 A. 2 V e B. 4 V e C. 8 V e D. 16 V e 10.22当结构上作用多个载荷时，其变形能（）。 A. 可以叠加 B. 不可以叠加 C. 再某些情况下可以叠加 D. 产生不同种应力的才可以叠加 10.23变形体虚功原理的应用条件是（）

第十章能量法目的与要求: 1．熟练掌握杆件在基本变形和组合变形下的变形能计算。 2．理解功互等定理和位移互等定理。 3．掌握卡氏定理计算位移的方法。 4．熟练掌握莫尔定理计算位移的方法。概念题 1. 设一梁在广义力1P 、2P 共同作用下的外力功为2211δδ?+?=P P W 。若1P 为集中力， 2P 为集中力偶，则1δ、2δ（）。 (A)分别为转角和挠度； (B)分别为挠度和转角； (C)均为转角； (D)均为挠度。 2. 图示悬臂梁，当单独作用力P ，截面B 的转角为。若先加M 0 ，后加P ，则在加P 的过程中，力偶M 0 ( )。 (A)不做功； (B)做负功，其值为； (C)做正功； (D)做负功，其值为。图10—1 3. 图10—2所示拉杆．在截面B 、C 上分别作用有集中力P 和2P 。在下列关于该梁变形能的说法中，（）是正确的。 (A)先加P 、再加2P 时，杆的变形能最大； (B)先加2P 再加P 时，杆的变形能最大； (C)同时按比例加P 和2P 时，杆的变形能最大； (D)按不同次序加P 和2P 时，杆的变形能一样大。图10—2 图10—3 4. 物体内储藏的变形能与载荷的( )。 (A)最终值和加载次序均无关； (B)最终值无关，与加载次序有关； (C)最终值和加载次序均有关； (D)最终值有关，与加载次序无关。 5. 简支梁的受力变形情况如图所示， θθ0M θ021M

设梁的总变形能为U ，则P U ??等于（）。 (A)C f ； (A)D f ； (C)D C f f +； (D)D C f f - 6. 一刚架受载情况如图10—4所示．设其变形能为U ，则P U ??等于 (A)水平位移和竖直位移的代数和； (B)水平位移和竖直位移的矢量和； (C)总位移； (D)沿45度(合力)方向的线位移．图10—4 7.用莫尔积分法计算梁的位移时．需先建立载荷和单位力引起的弯矩方程)()(x M x M 和，此时要求（）。 (A)选取的坐标x 要—致，而划分的梁段可以不—致； (B)划分的梁段要—致，而选取的坐标x 可以不—致； (C)选取的坐标x 和划分的梁段都必须完全—致； (D)选取的坐标x 和划分的梁段都可以不—致。 8. 应用莫尔定理计算梁的挠度时，若结果为正，则说明该挠度一定( )。 (A)向上； (B)向下； (C)与单位力方向—致； (D)与单位力方向相反。计算题 1.简单桁架各杆的抗拉(压)刚度均为EA ，承受集中力P 作用，如图10—5所示，试用卡氏图10—5 图10—6

材料力学答案第十一章

第十一章能量方法第十一章答案 11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在F 力作用下，桁架的变形能。 12,2N N F F F == 32 N F F = 2 22222()2222N F F l l F x V dx EA EA EA ε???? ?????==+? 2234F l EA =. 11.2计算图示各杆的应变能。 (a) 2223244F l F l F l V EA EA EA ε=+=. (b) 22 12/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EI ε???? ? ?????=+??

/32/322221220023318l l e e M M l x x EIl EI ?????? ?=+= ? ? ??????? . 11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm ，材料为45钢，E = 210GPa ，G = 80GPa 。试计算轴的应变能。由扭转引起的应变能： 2 0.2 20 800.0322p V dx GI ε==? 由弯曲引起的应变能： 2 0.2 10 (531.4)20.0292x V dx EI ε==? 120.061J V V V εεε=+=. 11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。 2 23 0()26l Fl Fx F l V dx EI EI ε-==? 而 223 10()22l Fl F l V dx EI EI ε==? 223 20()26l Fx F l V dx EI EI ε-==?. 不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。 1k 2 2 EI Me=Fl F l x

第十章动载荷一、选择题 1、在用能量法计算冲击应力问题时，以下假设中（ D ）是不必要的。 A 冲击物的变形很小，可将其视为刚体； B 被冲击物的质量可以忽略，变形是线弹性的； C 冲击过程中只有应变能、势能和动能的变化，无其它能量损失； D 被冲击物只能是杆件。 2．在冲击应力和变形实用计算的能量法中，因不计被冲击物的质量，所以计算结果与实际情况相比（ D ）。 A 冲击应力偏大，冲击变形偏小； B 冲击应力偏小，冲击变形偏大；， C 冲击应力和冲击变形均偏大； D 冲击应力和冲击变形均偏小。 3．四种圆柱及其冲击载荷情况如图所示，柱C上端有一橡胶垫。其中柱（ D ）内的最大动应力最大。 A B C D 二、计算题 1、重量为P的重物从高度H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准则写出危险点的相当应力。

解：在C 点作用静载荷P 时，BC 段产生弯曲变形，AB 段产生弯扭组合变形，C 点的静位移： \ a GI Pal EI Pl EI Pa a f f PAB AB BC AB B C st ?++=?++=?3333? st d H K ?++=211 式中，b h I BC 123=，644d I AB π=，32 4d I PAB π= 危险点在A 截面的上下端，静应力为： Z Z r W l a P W T M 2 2223+=+=σ 式中，323 d W Z π= 则动应力为： Z d r d d W l a P K K 223+=?=σσ 2、图示横截面为mm 25mm 75?=?h b 的铝合金简支梁，在跨中增加一刚度kN/m 18=K 的弹簧支座，重量为N 250=P 的重物从高度mm 50=H 自由下落到梁的中点C 处。若铝合金的弹性模量GPa 70=E ，试求冲击时梁内的最大正应力。 \

第10章 能量法

第10章能量法