北京交通大学2009_-2010第二学期随机数学期末试题答案56A

北京交通大学

2009-2010学年第二学期《概率论与数理统计（B）》期末考试试卷（A）学院_____________ 专业___________________ 班级____________

学号_______________ 姓名_____________

一.（满分6分）已知()

P A=1

4

，()

P B A

1

3

=，()

P A B

1

2

=，求()

P A B

?。

解：由概率加法公式()

P()()()

A B P A P B P AB

?=+-

由概率乘法公式()

P()()

1 12

A B P A P B A

==----3分

()() P

()1 6

P AB

B

P A B

==

()

P()()()1111 46123

A B P A P B P A B

?=+-=+-=----3分

二. （满分8分）根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有90%的可能考试及格，不努力学习的学生中有90%的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问： ⑴ 考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？ ⑵ 考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？ 解：

设{}习的被调查的学生是努力学

=A ，

{}被调查的学生考试及格=B ．

由题设，有 ()9.0=A P ，()1.0=A P ；()9.0=A B P ，()

9.0=A B P ． 要求的概率为()

B A P 和()B A P ．由Bayes 公式，有

⑴ ()

()()()()()()

()()

012195.09.011.09.09.09.011.0=-?+?-?=

+=

A B P A P A B P A P A B P A P B A P ．----4分

⑵ ()()()()()(()()5.09

.01.09.019.09.019.0=?+-?-?=

+=A

B P A P A B P A P A

B P A P B A P ----4分

三. （满分8分）设二维正态随机变量()Y X ,的边缘分布()4,1~N X ，()1,0~N Y ，且相关

系数0,=Y

X ρ．求概率{}1<+Y X P ．

解： 由于()Y X ,

服从二元正态分布，且X 与Y 的相关系数0,

=Y

X ρ，得X 与Y 相互独立．所

以Y X Z +=也服从正态分布． ————2分

()()()()101=+=+=+=Y E X E Y X E Z E ，()()()()514=+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，—

——2分

所以，()5,1~N Y X Z +=．{}()2100511=Φ=?

??

??

?<-+=<+Y X P Y X P ． ———4分

四(满分8分) 设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为

()1,

010,

<

?，

其他，

X x f x (),0,0,

-?>=?

?其他.

y Y

e y

f y

求Z X Y =+的概率密度。 解：

----2分

()01,0

(,)()0

y X Y e x y f x y f x f y -?<<>==?

?其它()()0

00z x Y e z x f z x z x --?->-=?

-≤?()()(),3+∞

-∞

=------?分

Z X Y f z f x f z x dx ()()01,0

()0

z x X Y e x z x f x f z x --?<<->-=?

?其它0z ≤⑴．若，()0Z f z =01z <≤⑵．若，()()01z z x Z f z e dx --=??0

z

z x

e e dx -=?1z >⑶．若，()1()

z x Z f z e

dx --=?13-+-=-----分z z e e ()100

10121

--+-≤??=-<≤----??->?

分z

Z z z z f z e

z e e z

五(满分10分)设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为

()?????≤≤=其它

，0

14

212

2y x y

x y x f

⑴．求()X E ，()Y E 及()XY E ； ⑵．分别求出X 与Y 的边缘密度函数；

⑶．判断随机变量X 与Y 是否相关？是否相互独立？ 解：

⑴．()()()018

214

21,

1

1

4

3

1

3

112

=-=

=

=

?????--+∞

∞

-+∞

∞-dx

x x ydy x

dx dxdy y x xf X E x

()()()()9

712

7

14

7

4

21,

1

6

2

1

1

6

2

1

2

21

1

2

=

-=

-=

=

=

???

??

?--+∞

∞

-+∞

∞-dx x x dx x x dy y x dx

dxdy y x yf Y E x

()()()014

7

4

21,

1

1

6

3

1

2

3

1

1

2

=-=

=

=

?????--+∞

∞

-+∞

∞-dx

x x dy y x

dx dxdy y x xyf XY E x

——4分

⑵．当11≤≤-x 时，

()()()4

2

1

2

18

214

212

x

x ydy x dy y x f x f x

X -=

=

=

?

?

+∞

∞

-，

所以，随机变量X 的边缘密度函数为

()()??

???≤≤--=其它

011182142x x x x f X ；

当10≤≤y 时，

()()25

32

2

72

74

21y yx

ydx x

dx

y x f x f y

y

y

Y =

=

=

=

??-

+∞

∞

-，

所以，随机变量X 的边缘密度函数为

()?????≤≤==其它

102

72

5y y y f Y

——4分 ⑶．由于()()()()0,cov =-=Y E X E XY E Y X ，所以X 与Y 不相关．

()()()y f x f y x f Y X ≠,

，所以X 与Y 不独立．——2分

六（满分8分）设袋中有4只球，2红，1白，1黑。从中任取2只，以X 表示取出红球数，以Y 表

示取出白球数，||Y X Z

-=，

求（1）X 和Z 的联合分布律，（2）（X ，Z ）的边缘分布律，（3）Cov （X ，Z ）. 解: .2,1,0,

1,0,

2,1,0===Z Y X

,0}0,0{}0,0{======Y X P Z X P

,6/1}1,0{}1,0{======Y X P Z X P

,0}{}2,0{====φP Z X P

,6/2}1,1{}0,1{======Y X P Z X P

,6/2}0,1{}1,1{======Y X P Z X P

,0}{}2,1{====φP Z X P

,0}{}0,2{====φP Z X P

,0}{}1,2{====φP Z X P

,6/1}0,2{}1,2{======Y X P Z X P

---6分

,),(EXEZ EXZ Z X Cov -=

1=EXZ , ,1=EX ,6/5=EZ 所以.6/1),(=-=EXEZ EXZ Z X Cov

---2分

七．（满分8分）某商店按季节出售某种应时商品，每出售1公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量X （单位：公斤）是一个随机变量，且X 服从区间()2000,1000上的均匀分布．为使商店所获利润的数学期望为最大，问该

商店应进多少货？

解： 随机变量X 的密度函数为

()???

??<<=其它

2000

10001000

1

x x f X

设该商店进货s 公斤，Y 是该商店所得利润，则有

()()

??

?

>--≤==X

s X

s X X

s s X H Y 60100100

即

()??

?

>-≤==X

s s

X X s s X H Y 60160100

----4分

所以， ()()[]()()?+∞

∞

-==dx

x f x H X

H E Y E X

()??+-=

2000

1000

10010001

601601000

1s

s

sdx

dx s x

()()()s s s s s

-+

--

-=

20001000

100

10001000

6080000000

801000

12

令：()()()()s s s s s s g -+

--

-=

20001000100

1000100060

80000000

8010001

2

则()s s s s s g 25

4

260210001002006021000602100080-=?-++?-?=

' 令()0='s g ，得驻点16250=s ，并且可以判别16250=s 是函数()s g 的最大值点，因此当该商店进货16250=s 公斤时，商店所得利润的数学期望为最大．----4分

八．（满分5分）设X 1,X 2, ，X 20为总体1

(1,)4

X b 的样本。

（1）求()E D ()X X 与；

（2）20

2=1

1E ()20

??

-

???

∑

i i X X

解：（1）()()1E E X 4

X ==

()13D X 34

4D ()20

320

?===

X n

-----3分

（2）()20

2=1

119191357E ()D X 20

20

2044320??

-==??=

???∑i

i X

X -----2分

九．（满分8分）设有同类仪器1000台，各仪器的工作是相互独立的，每台仪器发生故障的概率都是0.01，假定1台仪器的故障只能由1个人来排除。问至少需要配备多少名维修工人，才能保证仪器发生故障时不能及时排除的概率小于0.05？ ()1.6450.95Φ=

解：设X 表示出现故障的仪器个数，需要配备m 名维修工人。()1000,0.01X B 由中心极限定理

()1()11P X m P X m P >=-≤≈-≤

?=-Φ ?

----4分

()0.05P X m ><

10.05?-Φ< ?

0.95?Φ> ? ()1.6450.95Φ=

1.645>

15.17m >， 16m = ----4分

十(满分8分) 设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为

()()1,

,0,.

--??≥=???

x c e x c f x θθ

其他

其中,(,0)>c c θθ为未知参数。自一批这种元件中随机取n 件进行寿命试验。设它们的失效时间依次为12≤≤≤ n x x x ,求参数c θ与的最大似然估计值。 解： 似然函数为

()n

1i 1

1c 1n 11L c =1i n

i i 1(x c )

n i 1(x )

e

,x c(i 1,2,,n ),f (x )0,x c

e

x c(i 1,2,,n )0,x c θ

θ

θθ

θ=--=--?≥=?=??

?∑??≥==??

∏∏

，

----3分

1c x ≥

两边取对数

()L θ是θ的单调增加函数，由于必须满足1c ,≤x

于是最大似然估计值为 1?c

=x ----2分 最大似然估计值为

----3分

211ln (,)()0 n

i i n L c x c θθθθ=?=-+-=?∑令1

1

ln (,)ln ()

n

i

i L c n x

c θθθ

==--

-∑ln (,)0

n

L c c

θθ

?=

>? 1111

11??()()n n

i i i i x c

x x x x n n θ===-=-=-∑∑1

?x x θ=-

十一.（满分8分）设某厂生产的零件重量服从正态分布()2

N ,μσ

，现从该厂生产的零件中随机抽

取16个，得样本标准差s 6.2022=，求σ的置信水平为0.95的置信区间。 (已知()20025

1527488..χ

=，()20975156262..χ=)

解：

()2

2

2

(1)n 1-- n S

χ

σ

σ的置信水平为α-1的置信区间

) ----4分

n=16, α-1=0.95, 2/α=0.025, ()2

00251527488..χ

=,(

)2

0975156262..χ=计算得： σ的置信水平为0.95的置信区间为()4.58,9.60

----4分

2

2

2

1/2

/2

2

(1) {(n 1)(n 1)}1n S

P ααχ

χ

ασ

---≤≤-=-有，

十二（满分10分）

设12n X ,X ,X 为取自总体X 的样本，X 服从指数分布，

其概率密度为()1,0,0,.

-?>?

=???

其他x

e x

f x θ

θ

()12n 1X =min(X ,X ,X ), 令：求 ()1E[X ]。

解：因为12n X ,X ,X 独立同分布， ()12n 1X =min(X ,X ,X ), 的分布函数为

()(){}

{}()12n X 11

F P X 1P X ,X ,X 1[1F ]

1,00,0i n

i nx

x x x x x x e x x θ=-=≤=->>>=--??

->=??≤?

∏

-----4分

(),00,nx n e x f x x θ

θ

-?>?

=??≤?

0 -----2分

()()10

E[X ]d d =

nx

n

xf x x x

e

x n

θ

θθ

-

+∞∞-∞

=

=

?

?

-----4分

十三. （满分5分）1234,,,X X X X 是来自正态总体()04,X N 的样本， 证明：随机变量()

()2

2

12341123420

100

Y X X X X =

-+

-服从()22χ分布。

证明：1234,,,X X X X 相互独立，且都服从()04,N ，所以

和

34

3410

X X -也相互独立服从正态分布，

0,1

E D ==；34

34

3434[

]0,[

]110

10

X X X X E D --==；

()

0,1

N ()34

340,110

X X N -

所以()

()

()2

2

2

12341

1234220

100

Y X X X X χ

=

-+

-